2015-2016学年河南省信阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详细解

2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

xx

1．（5分）命题“?x∈R，3＞2”的否定是（ ）

xxxx

A．?x∈R，3≤2 B．?x?R，3＜2

x0x0x0x0

C．?x0∈R，3≤2 D．?x0?R，3＜2

62

2．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=2x﹣x+2在x=2015时的值，需要进行乘法运算和加减法次数分别是（ ）

A．6，2 B．5，3 C．4，2 D．8，2

3．（5分）“x≠1”是“x+2x﹣3≠0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）如果甲、乙在围棋比赛中，甲不输的概率为60%，甲获胜的概率为50%，则甲、乙和棋的概率为（ ）

A．50% B．40% C．20% D．10% 5．（5分）已知双曲线线的离心率为（ ） A．

*

2

﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲

B．2 C．或2 D．或2

6．（5分）“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（ ）

A．0 B．1 C．9 D．18

2

7．（5分）抛物线C：y=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点K，点A在C上，若△AFK的面积为4，则|A．6

B．5

|=（ ） C．4

D．3

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8．（5分）已知一组数据2（x1﹣1），2（x2﹣1），…，2（x2015﹣1）的平均数为6，标准差为4，则新数据x1，x2，…，x2015的平均数与标准差分别为（ ） A．4，1 B．3，2 C．4，2 D．3，1 9．（5分）运行下面程序，输出的结果是（ ）

A．47 B．48 C．102 D．123 10．（5分）在学校组织的“国学经典”朗诵比赛中，5位评委对甲、乙两名同学的评分如茎叶图所示（满分100分），若甲同学所得评分的众数为84，则甲同学所得评分的平均数不大于乙同学所得评分的平均数的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

11．（5分）如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设M是底面正方形ABCD内的一个动点，且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30°，则以下说法正确的是（ ）

A．点M的轨迹是圆的一部分 B．点M的轨迹是椭圆的一部分 C．点M的轨迹是双曲线的一部分 D．点M的轨迹是抛物线的一部分 12．（5分）点B，F分别是椭圆

+

=1（a＞b＞0）的上顶点与左焦点，过F作x轴的

垂线与椭圆交于第二象限的一点P，H（点），则椭圆的离心率为（ ） A．

，0）（c为半焦距），若OP∥BH（O为坐标原

B． C． D．

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二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置 13．（5分）先对112名学生随机地从1～112编号，用系统抽样方法抽取一个容量为16的样本，按编号平均分成16组（1～7，8～14，15～21，…，106～112），若第12组抽到的编号为82，则第4组中抽出的编号为 ．

14．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点F与双曲线E：

2

﹣=1（a＞0，b＞0）的一个

焦点重合，C的准线与E交于A，B，若|15．（5分）若八进制数

等于二进制数

|=6，则E的方程为 ．

，则a= ，b= ．

16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，从区域Ω：内随机抽取一点P，则P

点到坐标原点的距离大于的概率为 ．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

17．（12分）命题p：对任意实数x，都有x+2ax+a≥0恒成立；命题q：x﹣4y﹣a=0与抛物

2

线x=4y有交点，若“￢（p∨q）”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 18．（12分）登山运动是一项有益身心健康的活动，但它受山上气温的限制．某登山爱好者为了了解某山上气温y（℃）与相应山高x（km）之间的关系，随机统计了5次山上气温与相应山高，如下表： 2 气温y（℃） 18 16 10 4 山高（km） 2.6 3 3.4 4.2 4.8 （1）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程：=bx+；

（2）若该名登山者携带物品足以应对山上﹣2.4℃的环境，试根据（1）中求出的线性回归方程预测，这名登山者最高可以攀登到多少千米处？

（参考公式：=，=﹣）

19．（12分）如图，在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，点P为CC1的中点． （1）求证：A1C⊥平面ABP；

（2）求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．

，BC=2，

第3页（共22页）

20．（12分）某校为了调查学生身体生长发育情况，随机抽取200名学生测得它们的身高（单位：cm），并按照区间[155，160），[160，165），[165，170），[170，175），[175，180）分组，得到样本的频率分布直方图．由于操作不慎，区间[165，170），[170，175），[175，180）的频率分布直方图被破坏了，如图所示．已知频率分布直方图中[165，170），[170，175），[175，180）间的矩形的高依次成等差数列，并且身高在[170，175）内的人数是身高在[175，180）的人数的2倍．

（1）求身高分别在区间[165，170），[170，175），[175，180）的人数，并将频率分布直方图补充完整；

（2）用分层抽样的方法从身高在区间[155，160），[170，175），[175，180）中抽取7人，现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，求身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．

21．（12分）已知点A（1，0），点P是圆F：（x+1）+y=20上一动点，线段AP的垂直平分线交FP于点M，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）已知点B（0，），D（﹣4，0），若直线l：y=kx+与曲线C有两个不同的交点G和H，是否存在常数k，使得向量（

+

）⊥

（O为坐标原点）？如果存在，求出k

2

2

的值；如果不存在，请说明理由．

请考生在22题、23题、24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几几何证明选讲] 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线，与CD，DB的延长线分别交于点P，Q．

2

（1）证明：AD=AB?DP；

（2）若PD=3AB=3，BQ=，求弦CD的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为

+y=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为

2

极轴，并取相同的单位长度建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ=sinθ．

第4页（共22页）

（1）写出曲线C1的参数方程，并求出C2的直角坐标方程； （2）若P，Q分别是曲线C1，C2上的动点，求|

|的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，a＞0． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤1的解集；

（2）若不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，求a的取值范围．

第5页（共22页）

解：（2）由（1）知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，

以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，

=（1，0，0），

设平面A1B1P的法向量为=（x，y，z），

），C（0，，

，0），P（0，

，

），

则，

令y=1，得=（0，1，），

=（0，﹣

，

），

由（1）知平面ABP的一个法向量为

∴cos＜＞===，

∴sin＜＞==．

．

即平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值为

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 20．（12分）（2015秋?信阳期末）某校为了调查学生身体生长发育情况，随机抽取200名学生测得它们的身高（单位：cm），并按照区间[155，160），[160，165），[165，170），[170，175），[175，180）分组，得到样本的频率分布直方图．由于操作不慎，区间[165，170），[170，175），[175，180）的频率分布直方图被破坏了，如图所示．已知频率分布直方图中[165，170），[170，175），[175，180）间的矩形的高依次成等差数列，并且身高在[170，175）内的人数是身高在[175，180）的人数的2倍． （1）求身高分别在区间[165，170），[170，175），[175，180）的人数，并将频率分布直方图补充完整；

第16页（共22页）

（2）用分层抽样的方法从身高在区间[155，160），[170，175），[175，180）中抽取7人，现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，求身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．

【分析】（Ⅰ）先求出身高在区间[165，180]的频率，由此能求出身高分别在[165，170），[170，175），[175，180]的人数，并能将频率分布直方图补充完整． （Ⅱ）应从区间[155，160），[170，175），[175，180]内分别抽取的人数分别为1人，4人，2人，身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的对立事件是身高在区间[170，175）中没有人进行问卷调查，由此利用对立事件概率计算公式能求出身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率． 【解答】解：（Ⅰ）身高在区间[165，180]的频率为1﹣5×（0.01+0.07）=0.6， 设身高在区间[165，170），[170，175），[175，180）内的频率分别为a，b，c， 由题意得

，解得a=0.3，b=0.2，c=0.1，

∴身高分别在[165，170），[170，175），[175，180]的人数为60，40，20． 将频率分布直方图补充完整，如右图． （Ⅱ）身高在[155，160），[170，175），[175，180]的人数分别为10，40，20， ∴应从区间[155，160），[170，175），[175，180]内分别抽取的人数分别为1人，4人，2人，

现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，基本事件总数n=

=21，

身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的对立事件是身高在区间[170，175）中没有人进行问卷调查，

∴身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率： p=1﹣

=．

第17页（共22页）

【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、分层抽样、列举法等知识点的合理运用．

21．（12分）（2015秋?信阳期末）已知点A（1，0），点P是圆F：（x+1）+y=20上一动点，线段AP的垂直平分线交FP于点M，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）已知点B（0，），D（﹣4，0），若直线l：y=kx+与曲线C有两个不同的交点G和H，是否存在常数k，使得向量（

+

）⊥

（O为坐标原点）？如果存在，求出k

2

2

的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）求得F（﹣1，0），圆F的半径，运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程；

22

（2）将直线y=kx+代入椭圆4x+5y=20，设G（x1，y1），H（x2，y2），运用韦达定理和判别式，假设（

+

）⊥

，运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得k，即可判

断．

【解答】解：（1）由题意可得F（﹣1，0），圆F的半径为2， |MF|+|MA|=|MF|+|MP|=|FP|=2＞|FA|=2，

由椭圆的定义可得，M的轨迹为以F，A为焦点，长轴长为2的椭圆， 即有a=

，c=1，b=

=2，

则曲线C的方程为+=1；

2

2

（2）将直线y=kx+代入椭圆4x+5y=20，可得

22

（4+5k）x+10kx+5=0，①

设G（x1，y1），H（x2，y2），可得x1+x2=﹣

，

+

=（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2

=，

由B（0，若（

），D（﹣4，0），可得）⊥

，即有（

+

=（﹣4，﹣=0，

），

+）?

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即有﹣4（x2+x1）﹣可得﹣4?（﹣

（y1+y2）=0， ）﹣

=0，

解得k=当k=

，

时，方程①的判别式为500k﹣20（4+5k）=0不满足题意．

+

）⊥

．

2

2

故不存在这样的常数k，使得（

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件：数量积为0，化简整理的运算能力，属于中档题．

请考生在22题、23题、24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几几何证明选讲] 22．（10分）（2015秋?信阳期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线，与CD，DB的延长线分别交于点P，Q．

2

（1）证明：AD=AB?DP；

（2）若PD=3AB=3，BQ=，求弦CD的长．

【分析】（1）由已知条件推导出△DAP∽△ABD，从而

，由此能证明AD=AB?DP．

2

（2）推导出DQ=3，QA=，PA=2，由此能求出CD． 【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠QAB=∠ADB， ∵QA是⊙O的切线，∴∠QAB=∠ADB， ∴∠APD=∠ADB，

又PA是⊙O的切线，∴∠PAD=∠DBA， ∴△DAP∽△ABD，∴∴AD=AB?DP．

解：（2）∵AB∥CD，且PD=2AB，∴由BQ=，知DQ=3，

2

∵QA是⊙O的切线，∴QA=QB由

，知PA=2

，

2

2

，

，

=6，∴QA=，

又PA是⊙O的切线，∴PA=PD?PC， 即24=3PC，解得PC=8， ∴CD=8﹣3=5．

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【点评】本题考查等式的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、切线性质、弦切角定理的合理运用．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2015秋?信阳期末）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为

+y=1，以坐标原点为

2

极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ=sinθ． （1）写出曲线C1的参数方程，并求出C2的直角坐标方程； （2）若P，Q分别是曲线C1，C2上的动点，求|

|的取值范围．

2

2

2

【分析】（1）由椭圆性质能示出曲线C1的参数方程；由ρ=x+y，y=ρsinθ，能求出C2的直角坐标方程． （2）设P（

），曲线C2的圆心为C2，由C2（0，），由此利用两点间

距离公式能求出|PQ|的取值范围．

【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为∴曲线C1的参数方程为

∵曲线C2的极坐标方程为2ρ=sinθ， 由2ρ=sinθ，得2ρ=ρsinθ，∴

∴C2的直角坐标方程式x+（y﹣）=（2）设P（

由（1）知C2（0，）， ∴|PF2|==

=

=

， =，

2

2

2

+y=1，

2

，α为参数，

， ．

），曲线C2的圆心为C2，

当sinα=1时，|PC2|取最小值，此时|PQ|min=当sinα=﹣时，|PC2|取得最大值此时|PQ|max=

+=

，

]． ，

综上知，|PQ|的取值范围为[，

【点评】本题考查曲线的参数方程和直角坐标方程的求法，考查线段的取值范围的求法，是

中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．

[选修4-5：不等式选讲] 24．（2015秋?信阳期末）已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，a＞0．

第20页（共22页）

（1）当a=2时，求不等式f（x）≤1的解集；

（2）若不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，求a的取值范围． 【分析】（1）通过讨论x的范围得到不等式组，解出即可；（2）法一：求出f（x）的分段函数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；

法二：求出f（x）的分段函数，通过讨论x的范围得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．

【解答】解：（1）a=2时，f（x）≤1可化为2|x+1|﹣|x﹣2|﹣1≤0， ∴

或

或

，

解得：﹣5≤x≤，

故不等式的解集是：{x|﹣5≤x≤}；

（2）法一：由a＞0，得f（x）=，

要使不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，

则f（x）在区间[2，+∞）上的最小值f（x）min≤5， 当0＜a＜2时，f（x）min=4+a≤5，解得：0＜a≤1， a≥2时，f（x）min=8﹣a≤5，解得：a≥3， ∴a的范围是（0，1]∪[3，+∞）；

法二：由a＞0，得f（x）=，

要使不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，

只需3x+2﹣a≤5，﹣1＜x＜a①或x+2+a≤5，x≥a②在[2，+∞）有解， 由①得：x≤1+，﹣1＜x＜a，即

，即a≥3，

由②式得：x≤3﹣a，x≥a，要使②式在区间[2，+∞）有解， 则

，即0＜a≤1，

综上，a的范围是（0，1]∪[3，+∞）．

【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查分段函数问题，考查函数的最值以及分类讨论思想，是一道中档题．

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参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；豫汝王世崇；沂蒙松；caoqz；w3239003；wkl197822；刘老师；742048；whgcn；刘长柏；sxs123；炫晨；maths；zhczcb；zlzhan；双曲线（排名不分先后） 菁优网

2016年12月29日

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5hi7.html