7.8机械能守恒定律的应用

机械能守恒定律的应用

机械能守恒定律的应用

机械能守恒定律的应用

1. 在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下，物体的动能 在只有重力和弹簧的弹力做功的情况下， 和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 2.系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能。 系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能。 系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能 即 E1 = E2

(1)机械能守恒定律的内容。 (1)机械能守恒定律的内容。 机械能守恒定律的内容 (2)机械能守恒定律的表达式。 (2)机械能守恒定律的表达式 机械能守恒定律的表达式。 (3)机械能守恒的条件。 (3)机械能守恒的条件 机械能守恒的条件。 (4)应用机械能守恒定律解题的一般步骤。 (4)应用机械能守恒定律解题的一般步骤 应用机械能守恒定律解题的一般步骤。

3.只有重力和弹簧的弹力做功的情况下 只有重力和弹簧的弹力做功的情况下 明确研究对象( )、确定研究过程 4.明确研究对象(系统)、确定研究过程、受力分析 明确研究对象 系统)、确定研究过程、 检验条件、确定零势能面、列出方程、求解未知量。 检验条件、确定零势能面、列出方程、求解未知量。

1 1 2 2 mgh + mv = mgh + mv2 1 1 2 2 2

机械能守恒定律的应用

问题1 如图所示.一根长L 问题1:如图所示.一根长L的轻绳，绳一端 固定在O 另一端系一质量为m的小球。 固定在O点，另一端系一质量为m的小球。 起初将轻绳水平拉直使小球至A 起初将轻绳水平拉直使小球至A点。求小球 点由静止释放后到达最低点C 从A点由静止释放后到达最低点C时绳子的 O 拉力？ 拉力？ 的过程有 解：由A到C的过程有： 的过程 A 1 2 ① mgL = mv 2 2 v点有： 在C点有：T mg = m 点有T 整理① 、②得： = 3mg

L

②

C

本题讨论：若轻绳的长度改为 ，其它条件不变， 本题讨论：若轻绳的长度改为2L,其它条件不变， 小球过C点时绳子的拉力多大 点时绳子的拉力多大？ 小球过 点时绳子的拉力多大？

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分析及解答： 分析及解答： 仍照问题1, 仍照问题 ，可得结果1 2 mgL(1 sin θ ) = mv 2

问题2: 在上例中， 问题2: 在上例中，将小球自水平稍向 下移， 绳拉直至与水平方向成θ 下移，使轻绳拉直至与水平方向成θ 如图所示。求小球从A 角，如图所示。求小球从A点由静止 释放后到达最低点C 释放后到达最低点C绳子的拉力θ ?Oθ

①2

A C

v 点有： 在C点有： 点有 T mg = m ② L 整理① 、②得：

T = mg(3 2sin θ )

本题讨论： 角变化的问题 本题讨论：θ角变化的问题

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问题3: 现将问题1 问题3: 现将问题1中的小球自水平稍 向上移， 向上移，使轻绳拉直至与水平方向 如图所示

.求小球从A 成θ角，如图所示.求小球从A点由 静止释放后到达最低点C的速度。 静止释放后到达最低点C的速度。O θ

A

C

机械能守恒定律的应用

分析解答：仿照问题1和问题2的分析. 分析解答：仿照问题1和问题2的分析. 小球由A点沿圆弧AC运动到 运动到C 小球由A点沿圆弧AC运动到C点的过程 只有重力做功， 中，只有重力做功，满足机械能守 取小球在最低点C 恒.取小球在最低点C时重力势能为零 A 根据机械能守恒定律，可列出方程： 根据机械能守恒定律，可列出方程：

v = 2gL(1+ sin θ)

1 2 mgL(1+ sin θ ) = mv 2

O

θ

小球从A到 的整个过程 小球从 到C的整个过程 都做圆周运动吗？ 都做圆周运动吗？ 如何判断物体的运动情况？ 如何判断物体的运动情况？

C

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问题3: 现将问题1中的小球自水平稍向上移， 问题3: 现将问题1中的小球自水平稍向上移， 使轻绳拉直至与水平方向成θ 使轻绳拉直至与水平方向成θ角.如图所 求小球从A点由静止释放后到达最低点C 示.求小球从A点由静止释放后到达最低点C 的速度. 的速度. 小球在A点的受力情况怎样 点的受力情况怎样？ 小球在 点的受力情况怎样？ 小球在A点 绳未拉紧， 小球在 点，绳未拉紧， 只受重力作用 做自由落体运动，到达 点 做自由落体运动，到达B点， 绳被拉紧， 绳被拉紧，改做圆周运动 C O θ mg

A

B

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问题3: 现将问题1中的小球自水平稍向上移， 问题3: 现将问题1中的小球自水平稍向上移，使轻绳 拉直至与水平方向成θ 如图所示.求小球从A 拉直至与水平方向成θ角.如图所示.求小球从A点 由静止释放后到达最低点C的速度。 由静止释放后到达最低点C的速度。

B点的位置与 点的关系： 点的位置与A点的关系 点的位置与 点的关系： 关于水平线对称。 关于水平线对称。 请重新求解问题。 请重新求解问题。

A O θ θ B

1 2 2mgLsin θ + mgL(1 sin θ ) = mv 2

C 小球做自由落体运动到达B点时速度的方向怎样 点时速度的方向怎样？ 小球做自由落体运动到达 点时速度的方向怎样？ 绳被拉紧改做圆周运动时速度的方向怎样？ 绳被拉紧改做圆周运动时速度的方向怎样？

v = 2gL(1+ sin θ)

机械能守恒定律的应用

小球做自由落体运动到达B 小球做自由落体运动到达 点时速度的方向怎样？ 点时速度的方向怎样？ 绳被拉紧改做圆周运动时速 度的方向怎样？ 度的方向怎样？

O

θ θ B

A

这两个速度之间有什么关系吗？ 这两个速度之间有什么关系吗？

C

vB⊥ ⊥

vB

机械能守恒定律的应用

小球到达B点 绳突然被拉紧， 小球到达 点，绳突然被拉紧，在这瞬间由 于绳的拉力作用，小球沿绳方向的分速度v ∥ 于绳的拉力作用，小球沿绳方向的分速度 B∥ 减为零，垂直绳的分速度v ⊥

不变。 减为零，垂直绳的分速度 B⊥不变。 A O vB与vB⊥的关系怎样？ ⊥的关系怎样？ vB∥ B ∥

vB⊥ = vB cosθ

请重新求解问题。 请重新求解问题。 C vB⊥ ⊥ vB

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小球的运动有三个过程(见图4): 小球的运动有三个过程(见图4):(1)从A到B,小球只受重力作用，做自由落体运动，机械能 (1)从 小球只受重力作用，做自由落体运动， 守恒.到达B点时，悬线转过2θ° 守恒.到达B点时，悬线转过2θ°角，小球下落高度为 2Lsinθ, 2Lsinθ,取B点重力势能为零.根据机械能守恒定律 点重力势能为零.

(2)小球到达 点，绳突然 小球到达B点 小球到达被拉紧， 被拉紧，在这瞬间由于绳 的拉力作用， 的拉力作用，小球沿绳方 向的分速度vB∥减为零， 向的分速度 ∥减为零， 垂直绳的分速度v ⊥不变， 垂直绳的分速度 B⊥不变， 即 vB⊥ = vB cosθ

1 2 mg2Lsin θ = mvB 2

① A Oθ θ

B

vB∥ ∥

②

θ

vB⊥ ⊥ vB

机械能守恒定律的应用

(3)小球由 到C受绳的拉力和重力作用，做初速 小球由B到 受绳的拉力和重力作用 受绳的拉力和重力作用， 小球由 度为v ⊥的圆周运动，只有重力做功，机械能守恒， 度为 B⊥的圆周运动，只有重力做功，机械能守恒， 有： 1 2 1 2 1 2 1 mgL(1 sin θ ) = mvc mvB⊥ = mvc m(vB cosθ )2③2 2 2 2

联立① 联立①、②、③式可解得vC. 式可解得

vc = gL(1 sin θ ) + (vB cosθ )

2

机械能守恒定律的应用

本题小结： 本题小结： 1、应用机械能守恒定律的过程应注意对物 体的运动过程作出正确的分析； 体的运动过程作出正确的分析； 2、注意研究对象连续参与两个以上的运动 过程中机械能是否守恒； 过程中机械能是否守恒； 3、有些过程极短 (如 ：碰撞 、轻绳绷紧 ) 往往是两种运动的转折点), ),发生时大都 (往往是两种运动的转折点),发生时大都 有机械能损失。 有机械能损失。 对于包含这些极短过程问题， 4、对于包含这些极短过程问题，若以物体 运动的全过程为研究对象， 运动的全过程为研究对象，机械能可能不守 阶段为研究对象， 恒。但以其中的某一 阶段为研究对象，机械 能却可能是守恒的。 能却可能是守恒的。

机械能守恒定律的应用

练习1 如图所示, 练习1:如图所示,半径R =0.8m的光滑1/4圆弧轨道固定在 =0.8m的光滑 圆弧轨道固定在 的光滑1/4 光滑水平面上, 光滑水平面上,轨道上方的A点有一个可视为质点的质量m =1kg的小物块 =1kg的小物块.小物块由静止开始下落后打在圆弧轨道上 的小物块. 点但未反弹,在该瞬间碰撞过程中, 的B点但未反弹,在该瞬间碰撞过程中,小物块沿半径方向 的分速度即刻减为零,而沿切线方向的分速度不变, 的分速度即刻减为零,而沿切线方向的分速度不变,此后小 物块将沿着圆

弧轨道滑下, 物块将沿着圆弧轨道滑下,已知A点与轨道的圆心O的连线 连线与水平方向的夹角为30° 长也为R,且AO连线与水平方向的夹角为30°,C点为圆弧 轨道的末端。 轨道的末端。 g取10m/s2.求: 小物块沿圆弧轨道到达C点 R 的大小. 时对轨道的压力FC的大小. A30° 30°

O R C

B

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由几何关系可知, 由几何关系可知,AB间的距离为R 做自由落体运动, 小物块从A到B做自由落体运动,根据运动学公式有 vB2=2gR ① 代入数据解得vB=4m/s,方向竖直向下 =4m/s,方向竖直向下 设小物块沿轨道切线方向的分速度为vBC, 连线与竖直方向的夹角为60° 因OB连线与竖直方向的夹角为60°故 vBC=vBsin60° sin60° ② 只有重力做功, 从B到C,只有重力做功,根据机械能守恒守律有 mgR(1-cos60°)=mvC2/2-mvB2/2 ③ (1-cos60° /2当物体运动到C点时,由牛顿第二定律有: 当物体运动到C点时,由牛顿第二定律有: FC-mg =mvC2/R ④ 代入数据解得FC=35N 根据牛顿第三定律可知小物块到达C点时 对轨道的压力FC‘=35N

机械能守恒定律的应用

一质量为m的质点，系于长为R 一质量为m的质点，系于长为R的轻 绳的一端， 绳的一端，绳的另一端固定在空间的 O点，假定绳是不可伸长的、柔软且 假定绳是不可伸长的、 无弹性的。今把质点从O 无弹性的。今把质点从O点的正上方 8 离O点的距离为 9 R的O1点以水平的 3 抛出。试求: 速度v = 4 gR抛出。试求:0

1)轻绳即将伸直时， 轻绳即将伸直时， O1 绳与竖直方向的夹角为多少？ 绳与竖直方向的夹角为多少？ 2)当质点到达O点的正 当质点到达O 下方时，绳对质点的拉力为多大？ 下方时，绳对质点的拉力为多大？

v0

O

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O1 V0 质点的运动可分为三个过程： 质点的运动可分为三个过程： 第一过程：质点做平抛运动。 第一过程：质点做平抛运动。 设绳即将伸直时， 设绳即将伸直时，绳与 竖直方向的夹角为 θ θ R n 如图所示， ,如图所示，则 V0t = Rsi θ O图5

1 2 8 gt = R Rcosθ,其中 V0 = 3 4 2 9

gR 联立解得

第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。 第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。 设质点到达O点正下方时 点正下方时， 设质点到达 点正下方时，速度为V′, , 根据机械能守恒守律有： 根据机械能守恒守律有：

第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平， 第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平， 如图所示.由于绳不可伸长 故绳绷直时， 损失， 由于绳不可伸长， 如图所示 由于绳不可伸长，故绳绷直时，V0损失， 质点仅有速度V 质点仅有速度 ⊥,且 V⊥ = gt = 4 gR O 3

4 R θ = ,t = 2 3 g

π

V0 V⊥ V

1 1 2 /2 mV = mV⊥ + mg R 2 2

V/图6

机械能守恒定律的应用

设此时绳对质点的拉力为T, 设此时绳对质点的拉力为 ，则。

V T

mg = m R,联立解得：

/2

O

V0 V⊥ V

43 T = mg 9V/图6

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本节小结1、复习过程注意对所完成的 题目的进一步的思考， 题目的进一步的思考，不要做 完就算； 完就算； 2、完成题目要注重分析，不 完成题目要注重分析， 要想当然，例如题目3 要想当然，例如题目3中的绳 子的拉力有做功。 子的拉力有做功。

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