说题十一中学鹿丽艳 Microsoft Word 文档

说 题 稿

沈阳市第十一中学 鹿丽艳

问题出处：2014年高考数学辽宁理科第21题

初见这道题目，我想大家和我的感受是一样的，耳目一新，眼前一亮，继而是痛苦、惊诧、深思。下面我们重温一下这道题目。 21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?(cosx?x)(??2x)?(sinx?1)，83g(x)?3(x??)cosx?4(1?sinx)ln(3?证明：

（1）存在唯一x0?(0,（2）存在唯一x1?(2x?). ?2)，使f(x0)?0； ?2,?)，使g(x1)?0，且对（1）中的x0?x1??. 一、说题干内容：

如果说在2013年三角函数在导数的题目中出现还犹抱琵琶半遮面，那么到2014年它就正式的登堂入室了。回顾2009至2013年的题目，题干多以c,x,lnx,e为主，从2013年和2014年的高考题目中可以看出，三角函数正逐渐占据主体地位。 例如（2013年辽宁理科）21．（本小题满分12分） 已知函数f?x???1?x?e?2xnxx3,g?x??ax??1?2xcosx.当x??0,1?时， 2（I）求证：1-x?f?x??1; 1?x求实数a的取值范围. （II）若f?x??g?x?恒成立，到了2014年，以三角函数为题干的题目就铺天盖地而来。

例如：（2014年辽宁文）f(x)??(x?cosx)?2sinx?2,g(x)?(x??)求证：（1）存在唯一x0?(0, （2）存在唯一x1?(1?sinx2x??1 1?sinx??2)，使f(x0)?0

?2,?)，使g(x1)?0,且对（）中的1x0,有x0?x1??.

sinx(x?0).设fn(x)为fn?1(x)的导数，n?N* x1

（2014江苏理科）已知函数f0(x)?

（1）求2f1()???2f2()的值； 22?（2）证明：?n?N?,等式nfn?1()???4?2fn()?. 442???. ?2??（2014北京理科）已知函数f(x)?xcosx?sinx,x??0,（1）求证：f(x)?0; （2）若a?sinx??b对x?(0,)恒成立，求a的最大值与b的最小值. x2（2014湖南文科）已知函数f(x)?xcosx?sinx?1(x?0). （1）求函数f(x)的单调区间；

?（2）记xi为函数f(x)的从小到大的第i(i?N)个零点，证明：对一切n?N，有

?11?2?2x1x2?12?. 2xn3而从纵向来看，从09年到14年，辽宁省的高考数学导数题的题干中多以一次函数，二次函数，幂函数，c,x,lnx,e为主，加上今年频繁出现的三角函数，那么在求导公式中只有

nxy?logax,y?ax还不曾出现过，我们大家可以拭目以待。

二、说题目意图：

本题主要考查利用导数研究函数的性质、函数的零点以及不等式的证明等基础知识，考查考生的推理论证能力.. 附加.高数零点定理：

设函数f(x)对于闭区间?a,b?上的任意两点x,y恒有f(x)?f(y)?Lx?y，其中L为正常数，且f(a)?f(b)?0，则至少有一点??(a,b)，使得f(?)?0. 证明：因为f(a)?f(b)?0所以要用零点定理只需证明f(x)是否连续 因为

f(x)?f(y)?Lx?y 假设y?x??x 原式?f(x)?f(x??x)≤Lx?(x??x)?L?x. 因此当△x趋向0时，0≤｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜△x｜ ｜f（x）－f（x+△x）｜=0（两边夹定理） 所以f(x)连续且f（a）·f（b）＜0 所以f（ξ）＝0

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三、说解法:

解：（1）当x?(0,?2)时， （定义域优先原则）

f?(x)??(1?sinx)(??2x)?2x?所以函数f(x)在(0,又f(0)???2cosx?0（常见函数的导数公式及导数的四则运算） 3?2)上为减函数， （利用导数研究函数单调性）

8?16?0,f()???2??0 （利用二分法定理） 323?所以存在唯一零点 x0?(0,)，使f(x0)?0

2

归纳小结：本小问属导数中常规问题，容易出现错误的地方在于没有研究函数的单调性而直接用二分法，还有求导的计算错误直接影响解题思路. （2）分析：要证明g(x)?3(x??)cosx?4(1?sinx)ln(3?2x?)存在唯一x1?(,?)，使

2?g(x1)?0，且对（1）中的x0?x1??.

只需证

g(x)3(x??)cosx2x??4ln(3?)有零点. （等价转化）

1?sinx1?sinx?解：令h(x)?3(x??)cosx2x??? ?4ln(3?),x??,?? （构造函数）

1?sinx??2???????x??,??,?t??0,? （换元法）

?2??2?令t???x,（作用1、保证构造的新函数单调，2、创造（1）（2）两个小问题之间的联系，从而为后面

用第一个问的结论解决第二个问打下基础） 设u(t)?h(??t)?3tcost2t?4ln(1?) （进一步构造新函数，化简解析式）

1?sint?u?(t)?3f(t) （计算量偏大，整理起来有点费劲）

(??2t)(1?sint)u?(t)?0，由（1）中可得，当t??0,x0?时，所以u(t)是增函数,又u(0)?0，从而当t??0,x0?时，u(t)>0,所以函数u(t)在?0,x0?上无零点； 当t?(x0,?)时，u?(t)?0，所以u(t)是减函数，由u(x0)?0,u()??4ln2?0，知存在

22?唯一t1?(x0,?2)，使u(t1)?0.

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所以存在唯一的x1???t1?????， ,??，使h(x1)?h(??t1)?u(t1)?0，?2?因为当x?????,??时,1?sinx?0,故g(x)?h(x)(1?sinx)与h(x)有相同的零点，所以存2?????,??，使得g(x1)?0. ?2?在唯一的x1??因为x1???t1?x0,?x0?x1??.

归纳小结：研究函数的零点问题实质上首先要研究函数的单调性，因此通过等价转化从新构造一个在区间上的单调函数是此题目的难点。好多同学无法再次突破，进而放弃此问，另外此文计算量偏大，对于大部分同学来说，时间太紧了。

四、说试题背景来源：

1、物理意义：有点类似于物理中交流电的解析式，体现了数学来源于生活，应用于生活的实际意义。

2、题目的几何背景：

任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景

变式与拓展：

1.f(x)?xe（渐进线问题）

x

4

ex2.f(x)?

x

3.f(x)?xlnx

4.f(x)?

lnx x

5

5.f(x)?xsinx

6.f(x)?sinx x

回到本题：

f(x)?cosx?x

6

f(x)?(cosx?x)(??2x)

8f(x)?(cosx?x)(??2x)?(sinx?1)

3

五、说数学思想方法：

数学思想：（1）等价转化思想 （2）数形结合思想 数学方法 ：（1）导数法确定函数单调性 （2）构造函数法 （3）二分法研究函数的零点 （4）换元法 （一）等价转化思想 1.（2014辽宁理科）

要证明g(x)?3(x??)cosx?4(1?sinx)ln(3?且对（1）中的x0?x1??. 只需证

2x?)存在唯一x1?(,?)，使g(x1)?0，

2?g(x)3(x??)cosx2x??4ln(3?)有零点. （等价转化）

1?sinx1?sinx?2.（2014四川理科）

已知函数f(x)?ex?ax2?bx?1,其中a,b?R. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间?0,1?上的最小值；（2)若f(1)?0,函数f(x)在区间?0,1?内有零点，求a的取值范围.在第（2）个问的处理上把求函数f(x)的零点问题转化为求函数g(x)在区间?0,1?上有两

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个零点的问题。 3.（2014天津）

设函数f(x)?x?aex(a?R),x?R.已知函数f(x)有两个零点x1,x2,且x1?x2.(1)求a的取值范围；x（2）证明：2随着a的减小而增大；x1（3）证明：x1?x2随着a的减小而增大.在研究第一个问的时候把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题。 4.（2014全国Ⅰ）

bex?1设函数f(x)?aelnx?,曲线y?f(x)在点（，1f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.x(1)求a,b;x(2)证明：f(x)?1.在第二个问的证明中，把证明f(x)?1的问题转化为证明xlnx?为分别求两个函数的最值问题。 （二）.关于函数的零点问题

1.二分法：对于区间?a,b?上连续不断，且满足f(a)f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.用二分法求函数的变号零点：f(a)f(b)?0. 2.等价转化法：把函数的零点问题转化为两个函数的交点问题.

例1、已知函数

x2?问题，进一步转化xeef(x)?x,函数g(x)??f(x)?sinx是区间??1,1?上的减函数.

（1）求?的最大值； （2）讨论关于x的方程lnx?x2?2ex?m的根的个数. f(x)例2、已知函数f(x)?lnx?12ax?2x(a?0). 21x?b在?1,4?上恰有两个不等的实数根，求实数b2（1）若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围； （2）若a??且关于x的方程f(x)??的取值范围. 例3、设函数

12f(x)?2lnx?(x?1)2.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

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（2）若关于x的方程

f(x)?x2?3x?a?0在区间?1,3?内恰好有两个相异的实根，求实数a

的取值范围.

以上是我通过2014年辽宁高考题的研究得到的一些粗浅的认识，希望能够起到抛砖引玉的作用，和大家共勉。谢谢！

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