博弈论基础作业及答案

博弈论基础作业

一、名词解释

纳什均衡 占优战略均衡 纯战略 混合战略 子博弈精炼纳什均衡 贝叶斯纳什均衡 精炼贝叶斯纳什均衡 共同知识 见PPT 二、问答题

1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。

囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等；

以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。

请用同样的方法分析其他例子。

智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略

以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。

请用同样的方法分析其他例子。

2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。

破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。

3.当求职者向企业声明自己能力强时，企业未必相信。但如果求职者拿出自己的各种获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。这是为什么？

由于口头声明几乎没有成本，因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。当然能力强的人也会声明自己的能力强。也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出同样的声明。这样口头声明就不能有效的传递信息，因此企业不会轻易相信。而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。由于获得证书是要付出代价的，但代价却引人而异。能力强的个人可以相对轻易获得证书，而能力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书，从而获得企业的职位是不划算的，因此干脆就不要获奖证书。因此获奖证书就成为个人能力的信号。

4.五个海盗抢得100颗钻石,他们为分赃发生了争议,最后达成协议,由抓阄确定出分赃顺序，然后按照民主程序进行分赃。首先由1号海盗提出分赃方案,五人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按1号提出的方案分赃,否则1号将被扔到海里喂鲨鱼。接着由2号提出方案, 四人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按2号提出的方案分赃,否则2号将被扔到海里喂鲨鱼,依此类推。如果你是1号海盗,你该提什么样的方案?说明理由。

假设（1）五个强盗都很聪明，而且大家知道大家很聪明，大家知道大家知道大家很聪明，如此等等。

（2）每个海盗都很贪婪，希望获得尽可能多的钻石，但是又不想为了钻石丢掉性命。

（3）给定一个方案，只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时，海盗才选择赞成。

第一个海盗的提议应该是：五个海盗分别获得的钻石数目为97，0，1，0，2，或者97，0，1，2，0。

具体理由自己思考，方法是倒推法。

三、计算题

1.试计算表1中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡。

表1 一个战略式表述博弈

A

对B而言，战略M严格劣于R；（因为1<4, 1<6,0<8），因此剔除B的战略M；构成新的博弈如下

U M D

L 1,2 5,6 3,1 B M 3,1 7,1 2,0 R 2,4 2,6 7,8

A

在新的博弈中，

对于A而言，战略U严格劣于D(因为1<3,2<7)，因此剔除A的战略U，构成新的博弈如下：

A

对于新的博弈中，已经没有严格的劣战略，因此没有严格的劣战略可以剔除。所以该博弈不是重复剔除严格劣战略可解的。

但是存在弱劣战略。对于B而言，战略L弱劣于R（因为6=6，1<8）,因此剔除B的弱劣战略L，构成新的博弈如下：

A

M

B

R 2,6 M D

B L 5,6 3,1 R 2,6 7,8 U M D

B L 1,2 5,6 3,1 R 2,4 2,6 7,8 D 7,8 在新的博弈中，对于A而言，战略M严格劣于D（因为2<7）,因此剔除A的战略M，构成新的博弈如下：

A

因此，重复剔除（弱）劣战略均衡为（D，R）

（ps: 如果同学们用划线的方法求纳什均衡，就可以发现纯战略nash均衡有两个：（M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣战略的方法，把其中一个纳什均衡剔除掉了）

D

B R 7,8 2. 试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。

2

L

U

2,2 R 3,3 D 4,4 1,2 给定1选择U，2的最佳选择是R(因为2<3)，在相应位置划线 给定1选择D，2的最佳选择是L（因为4>2），在相应位置划线 给定2选择L，1的最佳选择是D（理由自己写），在相应位置划线 给定2选择R，1的最佳选择是U（理由自己写），在相应位置划线 找两个数字下都划线的，显然有两个纯战略纳什均衡：(U,R)和(D,L) 据Wilson的奇数定理，可能有一个混合战略均衡。 设1选U的概率为?，那么选D的概率为1?? 设2选L的概率为?，那么选R的概率为1??，

如果存在混合战略，那么2选战略L和R的期望收益应该应该相等，因此应有UL?2??4(1??)?UR?3??2(1??)

??? 自己求解 （2分） 同样，1选战略U和D的期望收益应该应该相等

1

UU?2??3(1??)?UD?4??1(1??) ??? 得混合均衡：?

3.市场里有两个企业1和2。每个企业的成本都为0。市场的逆需求函数为P=16-Q。其中P是市场价格，Q为市场总产量。

（1）求古诺（Cournot）均衡产量和利润。

（2）求斯坦克尔伯格（Stackelberg）均衡产量和利润。

(1)设两个企业的产量分别为q1，q2，有Q?q1?q2，因此利润函数分别为：

?1?(16?q1?q2)q1?16q1?q12?q1q2

2?2?(16?q1?q2)q2?16q2?q2?q1q2

利润最大化的一阶条件分别为：

??1?16?2q1?q2?0 ?q1??2?16?2q2?q1?0 ?q2因此企业1和企业2的反应函数分别为：

q1?16?q2 216?q1 2q2?联立，得到q1?q2??。自己求解

（2）设企业1先行，企业2跟进。两个企业的产量分别为q1，q2，因此利润函数分别为：

?1?(16?q1?q2)q1?16q1?q12?q1q2

2?2?(16?q1?q2)q2?16q2?q2?q1q2

由逆向归纳法，在第二阶段，企业2在已知企业1的产量的情况下，最优化自己的产量，从而得到企业2的反应函数：

??2?16?2q2?q1?0 ?q2因此企业2的反应函数为：q2?16?q1 2在第一阶段，企业1考虑到企业2的反应，从而自己的利润函数为：

?1?(16?q1?q2)q1?16q1?q12?q1q2?16q1?q12?q1(??1?0 ?q116?q1) （2分） 2要使企业1的利润最大，应满足一阶条件：

得到q1??。

所以q2??。

（PS: 古诺模型是完全信息静态博弈，求的是纳什均衡；斯坦伯格模型是完全信息动态博弈，求的是子博弈精炼纳什均衡）

4.（1）试给出图1中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结果。

（2）倘若2告诉1：2的战略是(c,i,j)，问此时1的最优战略是什么？（3）在（2）中，1和2的战略组合构成一个纳什均衡吗？均衡结果是什么？（4）（3）中的纳什均衡不是子博弈精炼的，原因是什么？

1

a b

2 2

c d e j

(1,2) (2,1) 1 (6,3)

f g 2 (3,2) l i

(4,6) (0,2)

答： （1）

1

a b

2 2

c d e j

(1,2) (2,1) 1 (6,3)

（2分） f g 2 (3,2) l i

(4,6) (0,2) 由逆向归纳法，子博弈精炼均衡为[(b,g),(c,e,l)]，均衡结果为（4，6）。 （2）若2的战略为(c,i,j)，则1的最优战略为(b,f)。

（3）给定2的战略为(c,i,j)，1的最优战略为(b,f)；反之，给定1的战略

(b,f)，战略(c,i,j)是2的一个最优战略。所以它们构成一个纳什均衡，均衡结

果为（6,3）。

（4）因为2的战略(c,i,j)中含有不可置信的威胁i，使1在f和g之间不敢选g。当博弈进行到2在l与i之间进行选择的时候，2必会选l，给定如此，1选g而不是f，此时2会选e，这就是子博弈精炼均衡。

5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。

1 R

(1,2)

L L?

2

l r l r

(2,4) (0,1) (3,1) (7,2)

当“2”看见“1”未选R时，设他认为“1”选L的概率为P， “1”选L?的概率为1－P，则“2”选l的期望支付为：

4P?1?(1?P)?1?3P

“2”选r的期望支付为

1?P?2(1?P)?2?P

当1?3P?2?P，即P?1时，“2”选l，而给定“2”选l，“1”选L收4益为2，选L?的收益为3，选R的收益为1，因此“1”会选L?。而给定“1”11选L?，“2”认为P?0?（注意：P是“1”选L的概率），与P?矛盾。故

441P?不会有均衡；

41当1?3P?2?P，即P?时，“2”选r，给定“2”选r，“1”选L收益

4为0，选L?的收益为7，选R的收益为1，因此“1”会选L?。而给定“1”选L?，

1“2”认为P?0，与P?吻合。于是，得到均衡战略：?L?,P?0,r?，即“1”4在第一阶段选择L?，“2”虽然看不到“1”的选择，但“2”认为“1”选择L的概率为0，所以“2”在第二阶段选择r，这样的战略构成了一个贝叶斯精炼

纳什均衡。均衡结果为（7，2）。

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