勾股定理的方程思想1

《勾股定理的方程思想》 教案

德化六中 张丽华

【授课内容】勾股定理的方程思想 【适用年级】八年级上

【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。

师：我们总结一下步骤： 在直角三角形中(已知两边的数量关系) 设其中一边为 x 利用勾股定理列方程 解方程 求各边长 这就是我们今天所学习的《勾股定理的方程思想求边长》 ,你 掌握了吗？ 讲解例 2 师：我们再来看一个例子。请同学们先读一下题目。 例 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=900, AC=1, E BC=3. AB 的中垂线 DE 交 BC 于点 D, 连 结 AD,求 AD 的长. B DA

出示流程 图

读题思考

幻灯片： 出示例 2 题目

C

师：首先我们来分析一下条件.已知 AB 的中垂线 DE 交 BC 于 点 D,即 D 在线段 AB 的中垂线上，则有 AD=BD.根据 BC=3 可 得到 BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看 Rt△ACD,AC 的 长已知， CD 满足和等于 3, AD、 那么我们不妨设 AD=x,则 CD=3x,根据勾股定理列方程就可以求出 AD 的长. 师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。 解：∵D 在线段 AB 的中垂线上 ∴AD=BD ∵BC=3 ∴BD+CD=AD+CD=3 设 AD=x,则 CD=3- x, 由勾股定理得

:x2= (3-x)2+12 解得: x= ∴AD=

依次出现 两个结论

出示解答 过程

5 3

5 3

师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两 边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得 到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集 中到一个直角三角形中，就可以转化成例 1 中的类型了。 讲解例 3 师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。 读题思考 例 3 在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一 丈，葭生其中央，出水一尺。 引葭赴岸， 始与岸齐， 问水深、 葭长各几何？”这道题的意思 是说： 有一个边长为 1 丈的正 方形水池， 在池的正中央长着 幻灯片： 出示例 3 题目

一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦 苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道 题。 师：首先我们根据题意画出示意图。芦苇可以用线段 AD 来表 示， 其中 BD 表示露出水面的部分， 拉动 D 芦苇后的位置用线段 AC 来表示。 根据拉 动后 芦苇的顶 端恰好到达水 面 可以 知 B C 道，若连结 BC,则有 BC⊥AD. 根据题 意，BD=1 尺，BC=0.5 丈=5 尺，特别地， 在芦苇拉动过程中长度不改变，即 AC=AD. 这个时候我们来看 Rt△ABC, BC 的长已知，AC 比 AB 长 1 尺，那么 我们不妨设 AB=x 尺,则 AC=(x+1) 尺， A 根据勾股定理列方程就可以求出 x 的值. 师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。 解：设水深有 x 尺，则芦苇长(x+1) 尺。由题意，得 x2+52=(x+1)2 解得： x=12 答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺。 随堂解题 师：刚才老师举了几个例子，同学们是否都掌握了呢？下面请 大家做一个随堂练习。 练习 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm, BC=8cm, 现将直角边沿直线 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点 E,求 CD 的长.C D

出示示意 图

出示解答 过程

学生读题 解题

出示练习

B

E

A

师：请同学们先独立思考完成。 (停顿) 师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE=AC=6cm, CD=DE,∠C= ∠AED=90°。在 Rt△BDE 中，BE=AB AE 10 6=4cm, 而 BD+DE=BD+CD= BC=8cm,这样我们可以从这 个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。 解：在 Rt△ABC 中, AC=6cm,BC=8cm ∴ AB=10cm 由折叠可知 AE=AC=6cm,CD=DE, ∠C= ∠AED=90° ∴BE=10-6=4cm, ∠BED=90°

学生读题 解题 出示解答 过程

设 CD=DE=xcm,则 BD=(8-x)cm 在 Rt△BDE 中,由勾股定理可得(8-x)2 =x2+42 解得 x=3 ∴ CD=DE=3cm 小结 今天我们学习了已知直角三角形一边及另两边的数量关系求 各边长的这类问题，解决这类问题的关键是先从数量

关系入手 设未知数，再根据勾股定理列方程，从而求出各边的长。同学 们你们学会了吗？

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