湖北省鄂州市2015届高三5月高考模拟试题(理)含答案

湖北省鄂州市2015届高三5月高考模拟试题(理)

湖北省2015届高三高考模拟试题

理科数学

第Ⅰ卷

1~10 BACDB BABDB 11．

17

, 12

3

4

14. (I) (0，2) (II) m 1, 16. 2,

2

14.【解析】(1)∵函数f（x）=x－mx－1是区间上的平均值函数， ∴关于x的方程x－mx－1=由x－mx－1=又1 （－1，1）

∴x=m－1必为均值点，即－1＜m－1＜1 0＜m＜2． ∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．

2

2

2

在（－1，1）内有实数根．

x－mx+m－1=0，解得x=m－1，x=1．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ）由题意得

=0

即

﹣5cos（A+B）+4cos（A﹣B）=0

，

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cosAcosB=9sinAsinB ∴tanA tanB=．

（2）由于tanA tanB=＞0，且A、B是△ABC的内角，∴tanA＞0，tanB＞

=

﹣ 当且仅当

取等号．∴c为最大边时，有

，tanC=﹣，

∴sinC=，sinA=

由正弦定理得：

absinAsinB5

。 c2sin2C18

18. 解：（1）令n=1，得 a1 2S1 2a1，a1( a1 2) 0

2

an （0n 1） 若a1 0则Sn 0，当n 2时，an Sn Sn-1 0， 若a1 0，则a1

2

，当n 2时2an

2

Sn，2an-1

2

Sn-1

an 2an（）两式相减得2an-2an-1 an，从而数列 an 为等比数列 -1n 2所以an a1 2

n-1

2n

2n

综上：当a1 0时，an 0，当a1 0时，an （2）当a1 0， 100时，令bn lg

……………………（6分）

1001

，由（1）知bn lgn 2-nlg2

2an

所以数列 bn 是单调递减的等差数列（公差为-lg2） 所以b1 b2 b6 lg当n 7时bn b7 lg

100100

lg lg1 0

6426

100

lg1 0 27

1

所以数列 lg 的前6项和最大。……………………（12分）

an

19、（1）略

（2）解法1：连接MO并延长交CD于G，连接PG

∵ON//平面PCD, ∴ON//PG

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在BAD中 ∵∴

BOBC1BM1

,又 ODAD2MA2

BOBM

∴MO//AD ………………………………………9分 ODMA

4

又在直角梯形ABCD中，MO=OG=，

3

PN1

………………12分 ∵ON//PG ∴PN=MN , ∴

PM2

解法2 A为坐标原点，AB、AD、AP为x.y,z轴建立如图所示直角坐标系， 则A（0，0，0）、B（3，0，0）、C（3，2，0）、D（0，4，0）、M（2，0，0）、P（0，0，4）、O（2，4/3,0）

设平面PCD的法向量 v'= (x’,y’,z’) ∵PC =(3,2,-4), PD=(0,4, -4)

3x' 2y' 4z' 0

∴ 令y' 3，则x' 2,z' 3

4y' 4z' 0

∴v' 2,3,3

设PN＝ PM，则∵PM＝（２，０，-４）∴PN＝（２ ，０，－４ ） ON= AN AO AP PN AO =（2 -2，-4/3,4-4 ） ∵ON⊥v' ∴4 -4-4+12-12 =0 ∴

20. 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的

人数为 ， 则 ~B(10，p)．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当

4

1PN1

…………………………………………12分 ,∴

2PM2

0， ································· 2分 P(A) 1 P(A) 1 P( 0) 1 (1 p)10，又P(A) 1 0.99910，故p 0.001．5分

4

4

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（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 10000 50000，

盈利 10000a (10000 50000)，

盈利的期望为 E 10000a 10000E 50000， ············· 9分 由 ~B(104，10 3)知，E 10000 10 3，

E 104a 104E 5 104

104a 104 104 10 3 5 104．

E ≥0 104a 104 10 5 104≥0

a 10 5≥0 a≥15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ··················· 12分 21．

c解：（1）依题意，得a

2，e a2

c 3,b a c 1；

x2

故椭圆C的方程为 y2 1 ．4

22

（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1,y1)，N(x1, y1)， 不妨设

y1 0．

x

由于点M在椭圆C上，所以y1 1 1． （*）

4

2

2

由已知T( 2,0)，则 (x1 2,y1)， (x1 2, y1)，

TM TN (x1 2,y1) (x1 2, y1) (x1 2)2 y1

2

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x52

(x1 2) (1 1) x1 4x1 3

44

2

2

581

(x1 )2 ． 455

81

由于 2 x1 2，故当x1 时，TM TN取得最小值为 ．

55

方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos ,sin ),N(2cos , sin )， 不妨设sin 0，由已知T( 2,0)，则

(2cos 2,sin ) (2cos 2, sin )

(2cos 2)2 sin2 5cos2 8cos 3

41

5(cos )2 ．

55

1483

故当cos 时，TM TN取得最小值为 ，此时M( ,)，

5555

(3) 方法一：设P(x0,y0)，则直线MP的方程为：y y0

y0 y1

(x x0)， x0 x1

令y 0，得xR

2

2

x1y0 x0y1xy x0y1

， 同理：xS 10，

y0 y1y0 y1

2

2

故xR xS

x1y0 x0y1

y0 y1

2

2

（**）

2

2

2

2

又点M与点P在椭圆上，故x0 4(1 y0)，x1 4(1 y1)， 代入（**）式，得： xR xS

4(1 y1)y0 4(1 y0)y1

y0 y1

2

2

2222

4(y0 y1)y0 y1

2

2

22

4．

所以OR OS xR xS xR xS 4，OR OS的最小值为4

22、解: (Ⅰ)令

g(x) f(x) lnx ax

a 1

1 2a lnx,x 1, ,x

a 11ax2 x (a 1)

g(1) 0,g'(x) a 2 2

xxx则

a(x 1)(x

x2

1 a

),

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11 aa 时, 1.

2a当

若x 1,则g'(x) 0,g(x)是增函数，所以g(x) g(1) 0, 即f(x) lnx,故当x 1时，f(x) lnx.

1

时，有f(x) lnx(x 1) 2

11111

x ) lnx 令a ,有f(x) (x ) lnx(x 1)且当x 122x2x

（II）由（I）可知：当a

令x

k 1k 11 k 1k 1 11

,有ln (1 ) (1 ) ， kk2 kk 1 2kk 1

111

( ),k 1,2,3,...n 2kk 1

即ln(k 1) lnk

将上述n个不等式依次相加得ln(n 1) 整理得

1

11111 ( ) 223n2(n 1)

111n

ln(n 1) .23n2(n 1)……（9分）

x11

ln(1 x)x lnn ln(n 1)

n 1，得n (Ⅲ)由重要不等式1 x,令， 111

通过累加可得1+2+3+…+n lnn 1，

n111

2n 1所以lnn 1>1+2+3+…+n＞㏑(n+1)+

1007

令n=2014,得8.6079 ln2014+1>S>ln2015+2015 8.1

所以S的整数部分为8 …… …… （14分）

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