数学解题思维障碍的突破技巧

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数学解题思维障碍的突破技巧[全国通用]

摘要：数学解题能力是衡量学生数学能力高低的一个重要指标，当前高考的能力立意命题也说明高中数学教学要更多的关注学生的数学能力． 本次讲座我们研究下面三个问题 1高中数学解题的思维策略2.数学思维障碍的成因与突破3.高中数学复习的几点建议 正文： 高中数学解题的思维策略

数学思维的变通性―― 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案．

（1）善于观察 )若a,b,c?0且a(a?b?c)?bc?4?23,则2a?b?c的最小值为（ ）

A．3?1 B．3?1 C．23?2 D．23?2

【分析】看到给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值，但变形过程受阻，得不到待求的结构． 【点拨】由a,b,c?0且a(a?b?c)?bc?4?23,得： a2?ab?ac?bc?4?23．

111a2?ab?ac?bc?(4a2?4ab?4ac?2bc?2bc) ≤(4a2?4ab?4ac?2bc?b2?c2) ?(2a?b?c)2

444∴ (23?2)2≤(2a?b?c)2，则(2a?b?c)≥23?2．

或者由a(a?b?c)?bc?4?23得(a?c)(a?b)?4?23．

2a?b?c2)当且仅当b?c时取等号． 又a,b,c?0，∴ (a?c)(a?b)?(2∴ 2a?b?c?24?23?2(3?1)．解题的关键是发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系． 【答案】D

心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉．观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前

提． 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系．要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法．

x2（2）善于联想 (2002天津理科16) 已知函数f?x??，那么 21?x?1??1??1?f?1??f?2??f???f?3??f???f?4??f???▁▁▁▁▁▁。

?2??3??4?【分析】由于设定的问题较简单，可以直接分别求值，再求和；但问题是，如果待求的和式较复杂怎么办？

17【点拨】联想数列的求和方法，不难发现该式隐藏的秘密所在：f(x)?f()?1。 【答案】。

x2联想是问题转化的桥梁．稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的．因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入．

（3）善于将问题进行转化 已知a2?b2?1,b2?c2?2,c2?a2?2,则ab?bc?ca的最小值为（ ）

1111 A．3－ B．－3 C．－－3 D．+3

2222【分析】由于受给定条件的暗示，考生多第一感觉选择利用重要不等式求最值． 于是联想到

ab?bc?ca?a2?b2?c2，只能得到ab?bc?ca的最大值，似乎求最小值还需更进一步变形，结果走上不归路，求解失败．

【点拨】再次研究给定的条件，发现由a2?b2?1,b2?c2?2,c2?a2?2可以得到a、b、c的值，即待求目标只能取有限个值，从其中挑选最大的得到最大值，挑选最小的得到最小值． 【答案】B

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G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换．可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的．转化是解数学题的一种十分重要的思维方法．那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题．在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系．

思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势．思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题．它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服． 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现．要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练．

数学思维的反思性――提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信

x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的(2004) 已知椭圆

169997三个顶点，则点P到x轴的距离为 （A） （B）3 （C） （D）

579 4?【分析】学生一般会认为P为直角顶点，从而公式S?b2tan求解得到答案C；

2【点拨】通过选项分析，若直角顶点不确定，则应有多个值可选择，而答案没有提供多值选项，因此，直角顶点是确定的．从图形分析可知，必为焦点，因为有的椭圆并不存在张角为直角的点，于是得到正确答案半个通径． 【答案】D

(2004湖南理20)直线l：y?kx?1与双曲线C：2x2?y2?1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围；

【解析】将直线l的方程y?kx?1代入双曲线C的方程2x2?y2?1后，整理得: (k2?2)x2?2kx?2?0． 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，注意到x?达定理求解．

?k2?2?0?2???(2k)?8(2k?2)?0,解得k的取值范围为?2?k??2． ?2k??2?0?k?2?2?0?2?k?22，应该利用根的分布求解．而我们多利用韦2数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信．在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关．本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维．

受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性．因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维．

数学思维的严密性――考察问题严格、准确，运算和推理精确无误

(2004，全国一，15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+?+(n－1)an－1(n≥2)，求{an}的通项公式． 【分析】对a1+2a2+3a3+?+(n－1)an－1认识不清，看不到本质，没法进行下去；

利用条件an=a1+2a2+3a3+?+(n－1)an－1①， 得到an－1=a1+2a2+3a3+?+(n－2)an－2②，

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anaaaa ?n③ ， 再由迭乘法2?3?4???n?2?3?4???n， 于是an?n!．

an?1a1a2a3an?1【点拨】数列是一类特殊的函数，研究数列也应有定义域优先意识，利用给定的条件

an=a1+2a2+3a3+?+(n－1)an－1 ①，得到an－1=a1+2a2+3a3+?+(n－2)an－2 ②，它们都是有条件的，并不是对所有的正自然数都成立的．对数列而言，一般要考虑小项数从1开始，因此①、②、③的成立条件分别是n≥2、n≥3、n≥3．忽视对项数的限制，必然得到错误的结果． 【答两式相减得到an?nan?1，即

?n?2． 案】a??2?n??1n?1n!在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运

算和推理时精确无误．数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一．但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：

概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分．它是构成判断、推理的要素．因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础．概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误．

判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式．数学中的判

1断通常称为命题．在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误．例如，“函数y?()?x是一个减函数”

3就是一个错误判断．

推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式．它是判断和判断的联合．任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密．

数学思维的开拓性――对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法

设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0．如果向量b1、b2、b3，满足bi?2ai，且ai顺时针旋转30o后与其中i?1,2,3，则 ( ) A．?b1?b2?b3?0 B．b1?b2?b3?0 C．b1?b2?b3?0 D．b1?b2?b3?0 bi同向，

【分析】向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0．向量a1、a2、a3顺时针旋转30?后与b1、b2、b3同向，且bi?2ai，得不到b1、b2、b3的具体表示．∴ b1?b2?b3?0．

【点拨】其实，考查选项发现：减号的位置放到哪？为什么会出现减号？力的合成问题！ 【答案】D （2006全国卷一理科11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( ) A．85cm2 B．610cm2C．355cm2D．20cm2

【分析】我们知道，当周长一定时，三边越接近，其面积越大，这是等周问题中的一个基本结论。

【点拨】实际上，根据海伦公式，可以证明上述结论。用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为610cm2，选B.显然，这并不是规定的考试内容，也就是说，并没有确定的知识用于本题的解答。它谁说不是课本中的定理，却是定理的背景，是定理产生的实践基础，在书上的阅读材料“算术－几何平均不等式”中，就不难看到上述事实。 【答案】B

2007考试大纲，在知识要求中，增加了知识相关背景的认识，要求学生学习数学知识的同时，应了解知识的背景。

数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解． “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系．我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的．通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的．从而培养创新精神和创造能力．

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法．

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数学思维的开拓性主要体现在：

(1) 一题的多种解法 2.一题的多种解释 二．数学思维障碍的成因与突破

1．由于数学思维的肤浅性所致 三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．

【分析】本题的出现使人耳目一新，特给出问题的解决过程，就解题的直觉而言，解一道题应有多种思路，其中有效的做法是什么？简洁的做法是什么？这就需要从感性到理性，做出正确的判断。如果学生对给出的问题认识不清，自然就不会得出正确的判断，从而胡乱的按照某人的解法从事。

【点拨】认真研究，不难发现甲的解题思路不对，因为甲给出的是充分条件，不是必要条件。如果按照甲的思路，可能会缩小a的范围； 丙的解题思路正确，是充要条件，不会改变a的范围。但实施起来非常麻烦，可能需要更长的解题时间；

再看乙的解题思路，符合分离变量的解题技巧，得到的是充要条件，因此应该按照乙的解题思路进行解题。由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1?x?12?a?x?25?|x2?5x|，1?x?12。

x25 设f(x)?x??|x2?5x|，1?x?12。只需求得函数f(x)的最小值即可。

x【答案】下面考虑常规解法，去绝对值，利用导数求得最小值等等。

注意到x?25?2x?25?10，等号当且仅当x?5?[1,12]时成立； 且|x2?5x|?0，等号当且仅当x?5?[1,12]时

xx成立；

所以，a?[x?25?|x2?5x|]min?10，等号当且仅当x?5?[1,12]时成立； 故a?(??,10]；

x25 当x?取最小值时，|x2?5x|也恰好取得最小值，这种解题的方法到底是通法，还是技巧呢？是提倡，

x还是不提倡呢？2由于数学思维的差异性所致 例 设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

【分析】在命制导数问题中，既没有“导数”字样或符号的直接提示，也没有“切线”、“单调性”、“极值、最值”等的间接提示，使得思维的方向一时不能明朗，给解题带来一些障碍。可以看到，近几年考查导数的解答题，对学生的审题能力的要求更高，呈现能力立意的味道更浓。

解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，只需函数g(x) 在x≥0上的最小值≥0即可。

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a， 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，不知如何操作以求得函数g(x) 的最小值，解题受阻。 【点拨】(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax． (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)， 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是(－∞，1]．

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，注意到g(0)＝0， 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，不知如何操作，解题受阻。

【点拨】令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，转化为研究函数g(x)的单调性问题。 当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

a－1

当－1＜x＜e－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为

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ea－1－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．

另解：当x＝0时，f(0)＝0，对任意的a?R，都有f(x)≥ax成立；

f(x)f(x)(x?1)ln(x?1)?,x?0。 当x >0时，f(x)≥ax等价于a?，构造函数g(x)?xxxx?ln(x?1)下面求函数g(x)在x >0上的值域。 g?(x)?，令g′(x)＝0，不会解方程！ 构造函数

x2h(x)?x?ln(x?1),x?0，

1x??0，∴ h(x)为(0,??)上的单调增函数， ∵ h?(x)?1?x?1x?1注意到h(0)?0，∴ h(x)?0对x >0恒成立。因此，g?(x)?0对x >0恒成立，即函数g(x)为(0,??)上的单调增函数。

如何求函数g(x)的“最小值”呢，g(x)在x＝0处没有定义，怎么办？

(x?1)ln(x?1)f(x)?f(0)?lim?f?(x)|x?0?1， ∴ g(x)?1对x >0恒成立。 ∵ limg(x)?limx?0x?0x?0xx?0f(x)∴ a≤1，a?对x >0恒成立。 综上所述，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，a的取值范围是(－

x∞，1]．

(2007全国卷一理科20) 设函数f(x)?ex?e?x．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2； （Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． 【解】f(x)的导数f?(x)?ex?e?x． 由于ex?e-x≥2ex?（当且仅当x?0时，等号成e?x?2，故f?(x)≥2．立）． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则 g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a， （ⅰ）若a≤2，当x?0时，

?)上为增函数， 所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即g?(x)?ex?e?x?a?2?a≥0， 故g(x)在(0，∞f(x)≥ax．

a?a2?4（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为x1?ln， 此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该

2区间为减函数． 所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?．

【解析】解：?对任意x?0，都有f(x)?ax，即ex?e?x?ax成立. ① 当x?0时，0?0成立

f(x)ex?e?xex?e?xex(x?)1?(e?x)1x??② 当x?0时，f(x)?ax恒成立，即a?恒成立 令μ?，则μ??xxx2x11⑴当x?1时，μ??0,?μ(x)为(0,1)上增函数.?a?μ(x)min?μ(1)?e?， 即a?e?

ee⑵当0?x?1时，令t?ex(x?1)?e?x(x?1)，则t??x(ex?e?x)

?x?(0,1),?ex?e?x，即t??0，即t(x)为(0,1)增函数.?tmin?t(0)?0，即t?0(x?(0,1)). ?μ??0，即μ(x)为(0,1)上增函数.? μ(x)min?μ(0)

ex?e?x(ex?e?x)?(e0?e?0)ex?e?xx?x0?lim?(e?e)?|x?0?2e?2， 所以使a?又?limμ(x)?lim恒成

x?0x?0x?0xx?0x立，即a?2 ?由⑴⑵可知a?2. 综上所述，a?2

(2006，重庆，理，20) 已知函数f(x)??x2?bx?c?ex，其中b,c?R为常数。

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