四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义：第11讲 圆的有关概念

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状元廊数学思维方法讲义之十一 年级：九年级

3.⊙O的半径为5cm，一点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为 。 变式训练:

1．有4个命题: ①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是 。

2．矩形ABCD中，AB＝8，BC?35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．

(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；

(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内． 考点2 垂径定理的理解

【例2】下列命题正确的有 。 （1）过弦的中点的直径平分弦所对弧；

（2）过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心； （3）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧； （4）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧； （5）经过弦的中点的直径一定垂直于弦； （6）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 考点3 垂径定理的基本运用(基本计算题型)

【例3】如图，已知在⊙O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4cm和10cm两段，求： （1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长。

CAE10cm 4cm§第11讲 圆的有关概念

“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，

它属于“提高阶段”。在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题。另外，圆的许多性质，在理论上和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位。

【知识引导】

§Ⅰ 圆的有关概念

1．圆：平面上到__ 的距离等于__ 的所有点组成的图形叫做圆，其中，__ 为圆心，__ 为半径．__________确定圆的位置，__________确定圆的大小。

2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__ ，简称弧，大于__ 的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__ ，经过圆心的弦叫做__ 。

4．能够重合的两个圆叫做__ ，同圆或等圆的__ ，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__ 。

5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，

（1）点在圆外，即d___r ；(2) 点在圆上，即d____r；(3) 点在圆内，即d____r. §Ⅱ圆的有关性质：

1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．

BOD【精彩知识】

考点1: 圆的有关概念

【例1】1. 有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个

2.若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）

A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O外或⊙O上

【例4】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝（1）BC的长；

（2）AB边上高的长。

1。求： 3ACOB- 1 -

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【例5】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300， 求：（1）CD的长；（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。

变式训练:

1、如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是 ．

2、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,CD?42,则∠AED= .

考点4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型)

【例5】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上， CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．

（1）求证：CM=DN；

（2）若OA＝3，AC＝2，tan?C?

【例6】如图, ⊙O的直径为MN=20cm, 弦AB=16cm, MC⊥AB于C, ND⊥AB于D. (1) 求证：AC=BD； (2) 求ND–CM的值。

1，求弦MN的长． 2第1题图 第2题图 第3题图

变式训练:

已知如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F交⊙O于点N，且BE=FN，连结OE，OF.

求证：⑴OE＝OF； ⑵ CE＝DF。

3、如图，Rt△ABC中，?C?90，AC=2，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP= 。

4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，求⊙O的直径。

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【思维拓展】

【例7】如图，AB是⊙O的直径，P为AB上的一点，弦MN过点P, ∠NPB=45°， （1）若AP=2，BP=6，求MN的长；

【例8】如图，已知：直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c 经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y??x?3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

、

PM2?PN2（2）当P在AB上运动时，保持∠NPB的度数不变，试问：的值是否改变？若不2AB变，请求其值；若改变，请求出其值的取值范围。

N

变式训练:

如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙O1交于M，与⊙O2交于N. (1) 问什么时候MN最长？为什么？

(2) 再过A作直线EF与⊙O1交于E，与⊙O2交于F，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为25，AE=6，AF=8，求MN的长。

O1BO2MAMPOBEANF- 3 -

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【课后测试】

1、把一小球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．

9、如图，⊙O直径为25，点P为弦AB的中点，弦CD过点P，且AB=20，CD=24，求cos∠APC 的值。 2、如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则 弦AB 的长为________cm．

3、如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP 的长为 ．

O

BAP

10、如图，⊙O中EF过圆心O，且垂直于弦AD，B、C两点在直线DE上，且AD平分∠BAC．

1题图 2题图 3题图 求证：DE2?BE?CE

14、如图，⊙O的半径为2，弦AB=23，点C在弦AB上，AC?AB，则OC的长为 ．

4

5、如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm， 则AD的长为 。

4题图 5题图 6题图 5、半径为4的⊙O中有弦AB，如右图，以AB为折痕．劣弧恰好经过圆心O，则弦AB的长11、如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形JKLM的顶点K、L在一个半径为5的⊙O上，点为 。 J、M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长。

6、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于 M，且AB=8cm，则AC的长

DA为 ． 7、P是⊙O内的一点，⊙O的半径为15，P点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的

条数共有 .

8、一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m，桥拱最高处离水面4m．

（1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少．

OBJMCKL- 4 -

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