3.3.2函数的极值与导数
更新时间:2024-04-22 02:56:01 阅读量: 综合文库 文档下载
3.3.2函数的极值与导数
班别:____ 组别:____ 姓名:____ 评价:____
【学习目标】
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).
☆预习案☆ (约 分钟)
依据课前预习案通读教材,进行知识梳理,完成预习自测题目,并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。
【知识要点】 (阅读课文93—96页,完成导学案) 1.极值点与极值 (1)极小值与极小值点
如图,若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0 , 而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值与极大值点
如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大 , f′(b)=0 ,而且在点x= b附近的左侧 ,右侧 ,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为 ,极大值和极小值统称为 . 想一想:(1)若求得某点处的导数值为0,此点一定是极值点吗?
(2)函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗?2.求函数f(x)极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f′(x) 0,右侧f′(x) 0,那么,f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x) 0,右侧f′(x) 0,那么,f(x0)是极小值.
【预习自测】
1.函数y=x2-4x+a的单调递增区间为________;单调递减区间为________.
2.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( ).
A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 3.函数y=1+3x-x3有( ). A.极小值-1,极大值1 C.极小值-2,极大值2
1
B.极小值-2,极大值3 D.极小值-1,极大值3
☆探究案☆ (约 分钟)
【典型例题】
【例题1】求函数f(x)?
13x?4x?4的极值。 3
☆训练案☆ (约 分钟)
【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单! 1.下列函数存在极值的是( ).
1
A.y= B.y=x-ex C.y=x3+x2+2x-3
x
D.y=x3
2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________. 3.求下列函数的极值.
3
(1) f(x)=2x3-6x2-18x+7; (2)f(x)=+3ln x
x
4.设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实数根,求实数a的取值范围.
【能力训练】——挑战高手,我能行!
5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1. (1)求常数a,b,c的值;
(2)判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值.
2
【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法……
1、学会了 2、掌握了 3、还有疑难
3.3.2函数的极值与导数答案
【知识要点】略 【预习自测】
1.答案:(2,+∞) (-∞,2)
2.解析 f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.答案 C
3.解析 f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3,极小值为f(-1)=1-3+1=-1,故选D.答 【典型例题】
【例题1】P94例4 【基础训练】
1
1.解析 A中f′(x)=-2,令f′(x)=0无解,且f(x)为双曲函数,∴A中函数无极值.B中f′(x)=1-ex,令f′
x(x)=0可得x=0.当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0.∴y=f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1.C中f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0.∴y=f(x)无极值,D也无极值.故选B. 答案 B
2.解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0,∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得a>2或a<-1.
答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)
3.解:(1)f′(x)=6x2-12x-18,令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) (-∞,-1) + -1 0 极大值 (-1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) + ∴当x=-1时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当x=3时,f(x)取得极小值,f(3)=-47. 3
(2)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞),
x333(x-1)
f′(x)=-2+=,
xxx2令f′(x)=0得x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
3
x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 极小值3 因此当x=1时,f(x)有极小值,并且f(1)=3.
4.解 (1)f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0, 解得x=-2或x=2.
因为当x>2或x<-2时,f′(x)>0; 当-2<x<2时,f′(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞);单调递减区间为(-2,2). 当x=-2时,f(x)有极大值5+42; 当x=2时,f(x)有极小值5-42.
(2)由(1)的分析知y=f(x)的大致走向 如图所示,当5-42<a<5+42时, 直线y=a与y=f(x)的图象有三个不 同的交点,即方程f(x)=a有三个不同 的实数根.
【能力训练】
5.解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=±1是函数f(x)的极值点, ∴x=±1是方程f′(x)=0的两根, 即3ax2+2bx+c=0的两根,
?-
2b
=0, 由根与系数的关系,得?3a
?
c
3a
=-1 ②又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.③ 由①②③解得a=12,b=0,c=-3
2. (2)f(x)=13
2x3-2
x,
∴f′(x)=32x2-32=3
2(x-1)(x+1),
当x<-1或x>1时,f′(x)>0,
4 ①
当-1 ∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, 在(-1,1)上是减函数, ∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1, 当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1. 5
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