《高等数学》复习题库及答案

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《高等数学》练习测试题库

一．选择题

1.函数y=

1

12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数

2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2

3．下列数列为单调递增数列的有（）

A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999

B ．23，32，45，5

4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n

n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（）

A ．充分条件 B. 必要条件

C.充要条件 D 既非充分也非必要

5．下列命题正确的是（）

A ．发散数列必无界

B ．两无界数列之和必无界

C ．两发散数列之和必发散

D ．两收敛数列之和必收敛

6．=--→1

)1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2

7．设=+∞→x x x

k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6

8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）

A.x 2-1

B. x 3-1

C.(x-1)2

D.sin(x-1)

9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件

B.充分条件

C.充分必要条件

D.无关条件

10、当|x|<1时，y= （ ）

A 、是连续的

B 、无界函数

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C、有最大值与最小值

D、无最小值

11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）

A、B、e C、-e D、-e-1

12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）

A、 xarctan1/x

B、arctan1/x

C、tan1/x

D、cos1/x

13、设f(x)在点x

0连续，g(x)在点x

不连续，则下列结论成立是（）

A、f(x)+g(x)在点x

必不连续

B、f(x)×g(x)在点x

必不连续须有

C、复合函数f[g(x)]在点x

必不连续

D、在点x0必不连续

在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=

（）

A、a＞0,b＞0

B、a＞0,b＜0

C、a＜0,b＞0

D、a＜0,b＜0

15、若函数f(x)在点x

0连续，则下列复合函数在x

也连续的有（）

A、 B、

C、tan[f(x)]

D、f[f(x)]

16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）

A、[0,л]

B、（0,л）

C、[-л/4,л/4]

D、（-л/4,л/4）

17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、无关条件

18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）

《高等数学》复习题库及答案

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、无关条件

19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）

A、f(x)=x+1

B、f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1

D、f(x)=5x4-4x+1

20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）

A、k=0

B、k=1

C、k=2

D、-1/2

21、若直线y=x与对数曲线y=log

a

x相切，则（）

A、e

B、1/e

C、e x

D、e1/e

22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）

A、x-y-1=0

B、x-y+3e-2=0

C、x-y-3e-2=0

D、-x-y+3e-2=0

23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）

A、±1

B、±л/2

C、±(л/2+1)

D、±(л/2-1)

24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x

0)=a，则f`(-x

)=（）

A、a

B、-a

C、|a|

D、0

25、设y=㏑，则y’|x=0=（）

A、-1/2

B、1/2

C、-1

D、0

26、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）

A、-1

B、0

C、1

D、不存在

27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）

A、0

B、1/ ㏑2

C、1

D、㏑2

28、已知y=sinx，则y(10)=（）

A、sinx

B、cosx

C、-sinx

D、-cosx

29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）

A、-1/x9

B、1/ x9

C、8.1/x9

D、 -8.1/x9

30、若函数f(x)=xsin|x|，则（）

A、f``(0)不存在

B、f``(0)=0

C、f``(0) =∞

D、 f``(0)= л

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31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）

A 、-1

B 、0

C 、л/2

D 、 2

32、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、 2

33、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、无关条件

35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）

A 、0

B 、-dx

C 、dx

D 、不存在

36、极限)ln 11(lim 1x

x x x --→的未定式类型是（ ）

A 、0/0型

B 、∞/∞型

C 、∞ -∞

D 、∞型

37、极限 01

2)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞

型 D 、∞0型 38、极限x x x x sin 1sin

lim 20→=（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不存在

39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0的（ ）

A 、（n+1）阶无穷小

B 、n 阶无穷小

C 、同阶无穷小

D 、高阶无穷小

40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）

A 、唯一的零点

B 、至少存在有一个零点

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C、没有零点

D、不能确定有无零点

41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）

A、2

B、1/2

C、1

D、0

42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）

A、0

B、1/2

C、1

D、2

43、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）

A、一个

B、两个

C、无穷多个

D、都不对

44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）

A、2e x/2

B、4 e x/2

C、e x/2+C

D、e x/2

45、∫xe-x dx =（ D ）

A、xe-x-e-x +C

B、-xe-x+e-x +C

C、xe-x+e-x +C

D、-xe-x-e-x +C

46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）

A、不含有对数函数

B、含有反三角函数

C、一定是初等函数

D、一定是有理函数

0|3x+1|dx=（）

47、∫

-1

A、5/6

B、1/2

C、-1/2

D、1

48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）

A、л

B、2л

C、4л

D、6л

49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）

A、л

B、6л/15

C、16л/15

D、32л/15

50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）

A、 B、2 C、31/2 D、 21/2

51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）

A、Z=4

B、Z=0

C、Z=-2

D、x=2

52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）

A、椭圆

B、双曲线

C、抛物线

D、两相交直线

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53、方程=0所表示的图形为（ ）

A 、原点（0，0，0）

B 、三坐标轴

C 、三坐标轴

D 、曲面，但不可能为平面

54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）

A 、X 轴

B 、Y 轴

C 、Z 轴

D 、任一条直线

55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）

A 、双叶双曲面

B 、单叶双曲面

C 、椭圆抛物面

D 、圆锥曲面

二、填空题

1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）

2、求极限0lim →x [(x 3

-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）

3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）

4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x

=（ ）

5、求极限0lim →x (1-x)1/x

=（ ）

6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）

7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ|ψ=л/6=（ ）

8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）

9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）

10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）

11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）

12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）

13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）

14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）

15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ）

c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）

17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)=（ ）

18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )

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19、d/dx ∫a b arctantdt =（ ）

20、已知函数f(x)=??

???=≠?-0,0,022)1(1

x a x x t dt e x 在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）

22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）

23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）

24、∫01dx/(4-x 2)1/2=（ ）

25、∫л/3л

sin (л/3+x)dx=（ ）

26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )

27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）

28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）

29、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）

30、∫49

x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 31、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）

32、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）

33、满足不等式|x-2|＜1的X 所在区间为 ( )

34、设f(x) = [x] +1，则f （л+10）=（ ）

35、函数Y=|sinx|的周期是 （ ）

36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是（ ）

37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是（ ）

38、心形线r=a(1+cos θ)的全长为（ ）

39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（ ）

40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是 （ ）

41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（ ）

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42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )

43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）

44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）

45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）

三、解答题

1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。

3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。

5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6、求y=e x，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。

11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。9/4

14、求对数螺线r=e aθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=e x下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

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22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。

27、求对数螺线r=e aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。

28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。

29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。

30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。

31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。

32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。

34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。

38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。

39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。

41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

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45、求过两点M （3，-2，1）和M （-1，0，2）的直线方程。

46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z 平行的直线方程。

47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。

48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

49、求点P （3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。

四、证明题

1．证明不等式：?

-≤+≤1143812dx x 2．证明不等式?>≤-≤210)2(,6

121n x dx n π 3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件

。为常数)()()(A A x f x f =-+证明：??=-a

a a dx x g A dx x g x f 0)()()( 4．设n 为正整数，证明??=202

0cos 21sin cos ππxdx xdx x n n n n

5．设)(t ?是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a

a ?则曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明：??+=+11

12211x x x dx x dx 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则 ?

?+=T a a T dx x f dx x f 0

)()( 8．若)(x f 是连续函数，则?

??-=??

????x x u du u f u x du dt t f 000)()()(

9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得

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??=ξ

ξξξa b dx x f g dx x g f )()()()(

10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：??-≤??? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，0)(=a f 证明： ?

-≤b a a b M dx x f 2)(2

)(

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《高等数学》练习测试题库参考答案

一． 选择题

1——10 ABABD CCDAA 11——20 ABABB CAADC 21——30 DCDAA BCCCA 31——40 BABDD CCAAD 41——50 ABCDD CACCA 51——55 DDCCA

二． 填空题

1．2

2．3/4

3．0

4．e -1

5．e -1

6．(31/2+1)/2

7．4

2（1+2π） 8．9/25

9．2π-1或1-2

π 10．2

11．-1，0

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12．-2

13．1/5

14．0

15．0，1

16. C ＋ 2 x 3/2

/5

17.F(x)＋C

18.2xe x 2(1+x)

19.0

20.0

21.21/8

22.271/6

23.π/3a

24.π/6

25.0

26.2(31/2-1)

27.π/2

28.2/3

29. 4/3

30. 21/2

31.0

32.3π/2

33. (1,3)

34.14

35.π

36.7/6

37. 32/3

38.8a

39. 等腰直角

40.4x+4y+10z-63=0

41.3x-7y+5z-4=0

42.(1,-1,3)

43.y+5=0

44.x+3y=0

45.9x-2y-2=0

三． 解答题 1. 当X=1/5时，有最大值1/5 2. X=-3时，函数有最小值27 3. R=1/2

4. 在点(

22,-22ln )处曲率半径有最小值3×31/2/2 5. 7/6

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6.e+1/e-2

7.x-3y-2z=0

8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9.（-5/3，2/3，2/3）

10.2(21/2-1)

11.32/3

12.4×21/2/3

13. 9/4 14.4

2

a (a π2-e π2-) 15. e/2

16.8a 2/3

17.3л/10 18.??

????-+-)(224222e e a a a π 19.160л2

20.2л2 a 2b 21.π3

616 22.7л2 a 3

23. 1+1/2㏑3/2

24.23-4/3 25.???

?????-??? ??1259823 26.p

y p y p p y p y 2222ln 22++++ 27.ψa e a

a 2

1+ 28.ln3/2+5/12

29.8a

30.5×21/2

31.（0，1，-2）

32.5a-11b+7c

33. 4x+4y+10z-63=0

34.y 2+z 2=5x

35.x+y 2+z 2=9

《高等数学》复习题库及答案

36.x 轴： 4x 2-9(y 2+z 2)=36 y 轴：4(x 2+z 2)-9y 2=36

37.x 2+y 2(1-x)2=9 z=0

38. x 2+y 2+(1-x)2≤9 z=0

39. 3x-7y+5z-4=0

40.2x+9y-6z-121=0

41. x-3y-2z=0

42.x+y-3z-4=0 43.331

44.

24-x =11+y =5

3-z 45.43--x =22+y =1

1-z 46.2-x =32-y =1

4-z 47.8x-9y-22z-59=0

48.(-5/3,2/3,2/3) 49.2

23 50.?

??=-+-=--+0140117373117z y x z y x

四．证明题

1．证明不等式：?-≤+≤1

143

812dx x 证明：令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f

则4343

12124)(x x x x x f +=+='，

令,0)(='x f 得x=0

f(-1)=f(1)=2,f(0)=1

则2)(1≤≤x f

上式两边对x 在[]1,1-上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是

《高等数学》复习题库及答案

???---+≤+≤11

211411,)1(1dx x dx x dx 故 ?-≤+≤1

143

812dx x

2．证明不等式?>≤-≤21

0)2(,6

121n x dx n π 证明：显然当??????∈21,0x 时，（n>2）有 ??==-≤-≤?-≤-≤210210226021arcsin 112111

111πx x dx x dx x x n n 即，?>≤-≤21

0)2(,6

121n x dx n π

3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件

。为常数)()()(A A x f x f =-+证明：??=-a a a dx x g A dx x g x f 0)()()( 证明：

dx x g x f dx x g x f dx x g x f a a a a ???+=--00)()()()()()( dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a

a a

???-=---=-000)()()()()()(令 []?????=-+=+-=∴-a a a a a a dx x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0000)()()()()()()()()()(

4．设n 为正整数，证明??=202

0cos 21sin cos ππxdx xdx x n n n n

证明：令t=2x,有

???++==ππ

π012

0201sin 212)2(sin 21sin cos tdt x d x xdx x n n n n n n

,sin sin 212201???

? ??+=??+πππtdt tdt n n n 又，???=---=02202sin )(sin sin πππ

π

ππudu du u u t tdt n n n ，

《高等数学》复习题库及答案

所

以，

?

??

??

==+=

+ππ

π

π

π

π

2

2

20

2020

1s 2

1

s i 21)s i s i (2

1s

i n c

o s x t

d

t d t

d

x x x n

n n

n n

n

n n

n

又，

???

=--=

20

2

2

cos cos 2

sin π

πππ

π

xdx tdt t x xdx n n n

因此，??

=202

cos 2

1

sin cos π

π

xdx xdx x n n

n

n

5．设)(t ?是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a

a ?则曲线

)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

证明：?

?--+-=

x

a

a

x

dt t x t dt t t x x f )()()()()(??

????----+-=x

a

a

x

x

a

x

a

dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(????

????--+=-='x a

x

a

x a

a x

dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(????

0)(2)()()(>=+='x x x x f ???

故，曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明：??+=+1

1

122

11x x x dx x dx 证明：????=

+=+=-?++=

1

1

1111

1222

2

1

2

11)1(111

1x x x x u

x x dx u du du u u

x dx

令 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则

?

?+=T

a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

证明：?

??

?

=++=+=

+=+=

a

a

a

T x f x f T x f T

u x T

a T

dx x f dx

T x f du T u f dx

x f 0

)()

()()()()()(为周期以令

0)()(0

=+∴?

?+T a T

a

dx x f dx x f

《高等数学》复习题库及答案

在等式两端各加?T

dx x f 0)(，于是得??+=T a a T

dx x f dx x f 0)()(

8．若)(x f 是连续函数，则???-=??

????x x u du u f u x du dt t f 000)()()( 证明：?

???-=??????x u x u du u uf x dt t f u du dt t f 0000)(0)()( ??-=x

x du u uf dt t f x 00

)()( ?-=x

du u f u x 0)()(

9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ

ξξξa b dx x f g dx x g f )()()()( 证明：作辅助函数??=x a b

x dt t g dt t f x F )()()(，由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续，所以)(x F 在[]b a ,上连续，在（a,b ）内可导，并有0)()(==b F a F 由洛尔定理),(,0)(b a F ∈='ξξ 即ξξ==???????-='??????????x b x x a x x x a b x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()( ??-=b a dx x f g dx x g f ξξ

ξξ)()()()( ＝0

亦即，??=ξ

ξξξa b dx x f g dx x g f )()()()(

10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：??-≤??? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

证明：令??--??? ??=x a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22

[]?≤--='x

a dt x f t f x F 0)()()(2

故)(x f 是 []b a ,上的减函数，又0)(=a F ，0)()(=≤a F b F

《高等数学》复习题库及答案

故 ??-≤??? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，0)(=a f 证明： ?-≤b

a a

b M dx x f 2)(2

)( 证明：由题设对[],,b a x ∈?可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理，于是有

()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(，因而，)()(a x M x f -≤ 由定积分比较定理，有

??-=-≤b a b a a b M dx a x M dx x f 2)(2

)()(

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