2015年高考数学(文科)试题分类与解析15个专题

2015年高考数学（文科）试题分类汇编（15个专题）

目录

专题一集合2

专题二函数6

专题三三角函数13

专题四解三角形19

专题五平面向量23

专题六数列26

专题七不等式39

专题八复数45

专题九框图51

专题十导数及其应用55

专题十一推理与证明概率统计63

专题十二推理与证明76

专题十三立体几何78

专题十四平面几何94

专题十五圆锥曲线98

1

2015年高考数学（文科）试题分类汇编（15个专题）

目录

专题一集合2

专题二函数6

专题三三角函数13

专题四解三角形19

专题五平面向量23

专题六数列26

专题七不等式39

专题八复数45

专题九框图51

专题十导数及其应用55

专题十一推理与证明概率统计63

专题十二推理与证明76

专题十三立体几何78

专题十四平面几何94

专题十五圆锥曲线98

2

3 2015高考数学（文科---集合）试题汇编及答案

专题一 集合

1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A

B =（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<

C ．{}33x x -<<

D ．{}

53x x -<<

【答案】

A

考点：集合的交集运算.

2.(15陕西文科) 集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M

N =（ ）

A ．[0,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．(,1]-∞

【答案】A

考点：集合间的运算.

4 3.(15年广东文科) 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）

A ．{}0,1-

B ．{}0

C ．{}1

D ．{}1,1-

【答案】C

【解析】

试题分析：{}1M N =，故选C ．

考点：集合的交集运算．

4.（15年广东文科）若集合

(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，

(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的

元素个数，则

()()card card F E +=（ ）

A ．50

B ．100

C ．150

D ．200

【答案】

D

考点：推理与证明．

5 5.（15年安徽文科）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =( )

（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，

【答案】B

【解析】

试题分析：∵{}6,5,1=B C U ∴()U A

C B ={}

1 ∴选B 考点：集合的运算.[学优高考网gkstk] 6.（15年福建文科）若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ）

A ．{}0

B ．{}1

C ．{}0,1,2

D {}0,1

【答案】

D

考点：集合的运算．

7.(15年新课标1文科)

8.(15年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A

B =（ ）

A ．()1,3-

B ．()1,0-

C ．()0,2

D ．()2,3

【答案】A

6

考点：集合运算

9.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.

【答案】5

【解析】

试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==，，，，，，，，，个元素

考点：集合运算

7 2015高考数学（文科---2函数）试题汇编及答案

1.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）

A ．2sin y x x =

B ．2cos y x x =

C ．ln y x =

D ．2x y -=

【答案】B

【解析】

试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.

2.(15年北京文科) 32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ．

【答案】2log 5

【解析】 试题分析：3

1218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>，所以2log 5最大. 考点：比较大小.

3.（15年广东文科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A ．2sin y x x =+

B ．2cos y x x =-

C ．122

x x y =+

D ．sin 2y x x =+

【答案】A

【解析】

试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为

()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122

x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122

x x f x =+是偶函数；函数

8 ()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为

()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．

考点：函数的奇偶性．

4.（15年安徽文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

（A ）y=lnx （B ）21y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx

【答案】D

考点：1.函数的奇偶性；2.零点.

5.（15年安徽文科）函数()32

f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是(

)

（A ）a>0，b<0，c>0，d>0

（B ）a>0，b<0，c<0，d>0

（C ）a<0，b<0，c<0，d>0

（D ）a>0，b>0，c>0，d<0

【答案】A

9

考点：函数图象与性质.

[学优高考网] 6.（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg 225lg

。 【答案】-1

【解析】

试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-

考点：1.指数幂运算；2.对数运算.

7．（15年安徽文科）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 。 【答案】12

-

【解析】 试题分析：在同一直角坐株系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知 2

112-=?-=a a 考点：函数与方程.

8.（15年福建文科）下列函数为奇函数的是( )

A ．y x =

B ．x y e =

C ．cos y x =

D ．x x y e e -=- 【答案】D

【解析】

试题分析：函数y x =

和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇

10 函数，故选D ．

考点：函数的奇偶性．

9.（15年福建文科）若函数()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，

且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．

【答案】1

【解析】

试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，

由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．

10.（15年新课标2文科）如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

11

考点：函数图像

11.（15年新课标2文科）设函数21()ln(1||)1f x x x =+-

+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）

A ．1,13?? ???

B ．()1,1,3??-∞+∞ ?

?? C ．11,33??- ??? D ．11,,33????-∞-+∞ ? ????? 【答案】A

【解析】

试题分析：由2

1()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113

f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?<< .故选A. 考点：函数性质

12.（15年新课标2文科）已知函数()3

2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2

【解析】

试题分析：由()3

2f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=?=- . 考点：函数解析式

13.（15年陕西文科）设1,0()2,0x x x f x x ?-≥?=?

14 C ．12 D ．32

【答案】C

12

考点：1.分段函数；2.函数求值.

14.（15年陕西文科）设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）

A ．既是奇函数又是减函数

B ．既是奇函数又是增函数

C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

【答案】B

【解析】

试题分析：

()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-?-=---=-+=--=-

又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；

()1cos 0()f x x f x '=-≥?是增函数.

故答案选B

考点：函数的性质.

15.（15年陕西文科）设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2

a b q f +=，1(()())2

r f a f b =

+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 【答案】C

【解析】 试题分析：1()ln ln 2

p f ab ab ab ===；()ln 22a b a b q f ++==；11(()())ln 22

r f a f b ab =+= 因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2

a b f f ab +> 所以q p r >=，故答案选C

考点：函数单调性的应用.

13 16.（15年天津文科）已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）

(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<

【答案】B

【解析】

试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B.

考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.

17.（15年天津文科）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì- ?=í->??

,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为

(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5

【答案】

A

考点：函数与方程.

14 2015高考数学（文科---3三角函数）试题汇编及答案 1（15北京文科）已知函数()2

sin 23sin 2x f x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π??????

上的最小值． 【答案】（1）2π；（2）3-

.

考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.

2.（15年广东文科）已知tan 2α=．

()1求tan 4πα??

+ ??

?的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21

ααααα+--的值．

【答案】（1）3-；（2）1．

15

考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.

3.（15年安徽文科）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++

（1）求()f x 最小正周期；

（2）求()f x 在区间[0,]2

π上的最大值和最小值. 【答案】（1）π ；（2）最大值为12+，最小值为0

16

考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.

4.（15年福建文科）若5sin 13

α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512

- 【答案】D

【解析】

试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα= 512

=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．

17 5.（15年福建文科）已知函数()2103sin

cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6

π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．

（ⅰ）求函数()g x 的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．

【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为

()10s i n 56f x x π??=++ ??

?，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6

π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 试题解析：（I ）因为()2103sin cos 10cos 222

x x x f x =+ 53sin 5cos 5x x =++

10sin 56x π??=++ ??

?． 所以函数()f x 的最小正周期2πT =．

（II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6

π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．

又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．

18 所以()10sin 8g x x =-．

（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5

x >． 由4352

<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >

． 因为sin y x =的周期为2π，

所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >

． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k π

ππαπαπα+--+=->>，

所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >

． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．

考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．

6.（15年天津文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ． 【答案】

π2 【解析】

试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π

2ωω

≤ ,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω??=+=?+= ???, 所以2πππ.422

ωω+=?= 考点：三角函数的性质. 7.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=

，则tan β的值为_______. 【答案】3

19 【解析】 试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.2

1tan()tan 17

αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式

8.（15年江苏）在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB .

（1）求BC 的长；

（2）求C 2sin 的值.

【答案】（1）7（2）

437

【解析】

考点：余弦定理，二倍角公式

20 2015高考数学（文科---4解三角形）试题汇编及答案

1（15北京文科）在C ?AB 中，3a =，6b =，23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π

【解析】

试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，即36sin 32

B

=，所以2sin 2B =，所以4B π∠=. 考点：正弦定理.

2.（15年广东文科）设C ?AB 的内角A ，B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =

，且b c <，则b =（ ） A ．

3 B ．2 C ．22

D ．3

【答案】B

【解析】

试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232

b b =+-???，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b

c <，所以2b =，故选B ．

考点：余弦定理．

3.（15年安徽文科）在ABC ?中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC 。

【答案】2

【解析】

试题分析：由正弦定理可知：

45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245

sin 60sin 6=?=?AC AC 考点：正弦定理.

21 4.（15年福建文科）若ABC ?中，3AC =，045A =，075C =，则BC =_______． 【答案】2

【解析】

试题分析：由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则s i n s i n A C A BC B

=， 所以23223

2BC ?

==．

考点：正弦定理．

5.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .

（I ）求sin sin B C

∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.

【答案】（I ）12

；30.

考点：解三角形

6.（15年陕西文科）ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行.

(I)求A ；

(II)若7,2a b ==求ABC ?的面积.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5ggq.html