基于小波分析的电能质量谐波仿真分析--毕业论文

本科毕业论文(设计)

题 目： 基于小波分析的电能质量谐波仿真分析 学 院： 自动化工程学院 专 业： 级自动化 班 姓 名： 指导教师：

2012年 6 月 2 日

青岛大学本科生毕业论文（设计）

Electric Power Quality Harmonic Simulation Analysis

Based On The Wavelet Analysis

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摘 要

近几年来,随着电网中元件复杂、结构繁琐、大量增加非线性负载、广泛应用的敏感电子设备等, 使得电能质量问题日趋严重，造成三相电压的不对称性、谐波污染，以及电压波动和闪变，谐波问题成为干扰电能质量的主要因素。

本文在提出了目前电力系统中谐波问题的出现和危害的基础上，学习了小波变换理论，与窗口傅里叶变换不同的是，小波变换的时间－频率窗口不是固定不变的，克服了快速傅里叶变换和短时傅里叶变换的缺点，特别适合于突变信号和不平稳信号的分析，适合于提取电力信号中的暂态信号。借助于matlab中的小波工具箱，通过构造谐波电压信号，然后对此谐波信号进行仿真分析，较为清晰的得到了谐波在原信号中的影响度。该仿真基本实现了对电能质量中的谐波分析和电耗分析。 关键词 电力系统 谐波 小波变换

Abstract

The power system harmonic pollution is serious, because the harm of harmonic have seriously affected on the normal operation of the power system.In order to maintain the normal operation of the power system’s security, analysis and measurement harmonic is imperative. The harmonic detection is the foundation of the harmonic treatment, it is also one of the active power filter’s key technicals. Because of the wavelet transform has high precision, not only can the steady-state signal analysis, can also analysis the time-varying transient signal advantage, therefore has become the new research direction of power system harmonic detection.

And window Fourier transform is different, the wavelet transformation of the time-frequency window is not fixed, overcoming the fast Fourier transform and short-time Fourier transform faults, particularly suitable for mutations signal and not stationary signal analysis, can grasp the signal local details, this also is wavelet transform and Fourier transform the biggest advantage compared. So wavelet transform is very suitable for extraction of electric power signal transient signal, for complex signal and time-varying signal also can more accurately its information extraction.

Key words electric power system harmonic wavelet wavelet transform

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目 录

前 言 .......................................................................................................................................... 1 第一章 绪论 .............................................................................................................................2

1.1 电能质量中谐波问题 ....................................................................................... 2 1.1.1谐波问题的提出及危害 .......................................................................................... 2 1.1.2 谐波问题的基本原理 .................................................................................. 3 1.2 小波分析在电力系统中的应用 ....................................................................... 5 1.2.1小波分析的发展历史 ................................................................................... 5 1.2.2电力系统谐波分析 ....................................................................................... 6 1.2.3电力系统暂态稳定 ....................................................................................... 7 1.2.4电力系统的动态安全分析 ........................................................................... 7 1.3 傅里叶变换的局限性 ....................................................................................... 8

第二章 小波变换理论 ........................................................................................................9

2.1 小波基础知识 ..................................................................................................................9 2.1.1认识小波 ....................................................................................................... 9 2.1.2 L2(R)空间的正交分解和变换 ................................................................... 9 2.2 小波变化的定义 .......................................................................................................... 10 2.2.1 定义1 ....................................................................................................... 10 2.2.2 定义2 ....................................................................................................... 13 2.3 小波运算 ........................................................................................................................ 13 2.3.1小波运算的基本步骤 ................................................................................. 13 2.3.2 尺度与频率的关系 .................................................................................... 15 2.4 小波变换的特点 .......................................................................................................... 15

第三章 小波的分类 ............................................................................................................17

3.1 经典类小波.....................................................................................................................17 3.2 正交小波 ........................................................................................................................ 19

第四章 小波分析的应用 ................................................................................................ 21 第五章 仿真 ........................................................................................................................ 22

5.1 Matlab 小波工具箱（wavelet） ............................................................................. 22 5.2 仿真 ................................................................................................................................. 23

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结束语 .........................................................................................................................................25 谢辞 ..............................................................................................................................................26 参考文献 ................................................................................................................................... 27

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前 言

电能是目前人类生活中最重要的能源。随着当前我国国民经济的发展和科学技术的进步，微电子器件的广泛应用与电力电子技术的不断提高，人们对电能质量的要求也越来越高；同时由于以非线性、冲击性或不对称负荷为代表的扰动负荷接入电力系统，或系统短路故障以及其他扰动源的存在，造成了大量的电能质量问题。电能质量问题危害很多，它不但影响到公用电网的安全运行，还直接与间接的对用户的用电过程造成不可忽视的危害。影响电能质量主要原因是存在电力网络上的电气信号骚扰，主要指电压骤增和跌落、电压波动、电压的谐波分量、三相不平衡等。本文主要进行电网谐波分析。

随着电力电子设备的引入，电力系统的不断发展，但同时使得电力系统的谐波危害日益严重。谐波的出现不仅给终端设备和用户造成不良影响，而且增加了一定的线路损耗，从而干扰通信信号，降低了线路的传输能力等。因此，有效治理电力系统的谐波，具有明显的社会经济效益。

因小波变换具有良好的时频局部化特性，克服了傅立叶变换时域无局部化特性的缺点，适用于非整次谐波的分离和突变谐波的检测，是一种良好的时频分析工具。本研究尝试将小波变换应用电网的谐波分析与处理。

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第一章 绪论

1.1 电能质量中谐波问题

1.1.1 谐波问题的提出及危害

电力系统中的谐波的产生，其根本原因是一些用电设备和输配电具有非线性的伏安特性。对于这些设备，即使是施加标准的正谐波电压信号，其对应的电流波形也会有畸变现象。现在谐波问题越来越引起人们的重视，主要由于：

(1)伴随着当前半导体技术以及电力电子技术的发展，尤其是大功率晶闸管的空前发展，其价格低廉实惠、运行安全可靠、效率更高等一系列优点，使大功率晶闸管在很多的大中型企业中得到了广泛的使用。

(2)由于大型晶闸管整流装置在运行过程中会消耗大量的无功功率，会引起电网电压的波动，为了获得较高的电网功率因数，调整电网电压，目前来讲，都通过并联电容器的方法进行无功功率的补偿，这会导致电容器与系统本身产生并联谐振，会对流入该系统的某些次谐波电流产生放大作用，从而加重了谐波对电网的污染。

(3)过去更多的采用额定情况以下工作时或余量大时的设计。现在为了适应激烈的竞争环境，对电工设备的设计更多的倾向于采用在临界情况下。由于电力系统的安全运行与波形畸变严重密切相关，因而世界各国、各行各业都在谐波问题上给予了充分的关注。

谐波对用电系统（公用电网和其他系统）的危害和影响主要有以下几个方面： (1)首先，谐波的出现会使公用电网中的元件产生附加的谐波损耗，发电、输配电及用电设备的效率相应降低，大量的3次谐波通过过三相系统的中性线时会使线路过热，严重时甚至发生火灾。

(2)谐波会影响各种电力设备的正常运行。对于电机，谐波能引起附加损耗外，同时还会产生过电压、噪声、机械振动等一系列附加问题，使变压器产生局部严重过热现象。电容器、电缆等设备过热、绝缘老化、寿命缩短，以至损坏等问题都与谐波关系密切。

(3)谐波的存在引起了公用电网中的并联谐振和串联谐振，从而放大了谐波作用，这就使上述两点的危害进一步增加，严重时会引起安全事故。

(4)谐波会对继电保护装置和自动化装置发出错误信号，引起误动作，对于电气测量仪表，谐波会使其测量值产生一定偏差。

(5) 对邻近的通信系统，谐波会对其产生干扰，轻时产生噪声干扰信号，降低了通信信号质量；严重时能丢失信息，严重干扰通信系统的正常工作。

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目前，对谐波的研究仍然是一个非常活跃、非常有发展潜力的领域，而且对谐波的研究已不仅仅限制于电力系统习惯上的范畴，它已经渗透到了电网络理论、控制理论、系统仿真技术、数字信号处理、计算机技术、电力电子学、电工理论、测试计量技术及仪器等其他学术领域，并逐渐形成了特有的理论体系和较为严谨的研究方法。

1.1.2 谐波问题的基本原理

1.谐波的基本概念[1]

根据GB/T14549-93.公用电网谐波[S]，谐波定义为：谐波是一个周期电气量的正弦波分量，其频率为基波频率的整数倍。

谐波次数的定义为：以谐波频率和基波频率之比表达的整数，一般用h表示。上述定义说明谐波频率与该周期量基波频率之比应为正整数。

电力系统中某些设备或器件在工频正弦电压供电时，必然要产生的谐波称为该设备或器件的特征谐波，而把在电压不平衡．相位或触发不对称时，以及在其他非正常工作条件下产生的谐波称为该设备非特征谐波。

2.谐波产生的基本原理

电网在正常情况下，电压U随时间t作周期性变化，呈正弦规律，函数关系为：

U?t??2Usin??t???; ??2?f波的三要素。sin?t称为基波。

由于非线性负荷的影响，使正弦波形发生畸变．其形状可用一系列频率与基波频率成整数倍的不同的正弦波形叠加而成。这些为基波频率整数倍的高次频率波，统称为谐波。

谐波产生的基本原理如下： (1)非线性负荷

非线性特性的负载是引起交流电网谐波的主要原因。若供电给线性的纯阻性负载R，在正常情况下，则：

式中，U——电压的有效值；f——电网电压频率；?——角频率。此三者称为正弦

U?Asin?t,I??A/R?sin?t

式中，A/R为一常量，因此，U、I具有相同的正弦波形。

若为非线性纯阻性负载。即R=f(t)，这样，电阻将随时间变化，则

I=?A/R?sin?t?g?t?sin?t

由于函数g(t)对函数进行了调制．使得电流的波形发生了畸变，如果将非线性负荷的波形进行傅立叶分解。可得到一系列的谐波与正弦基波。

(2)整流性负荷

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整流电路是进行电能交换的装置，主要由半导体非线性元件组成，其轮回导通和关断，尽管由于电感的存在使这一开关过程并未产生突变，但造成了交流电源电流回路波形发生了变化，使得正弦波形产生畸变。

标准正弦波电压通过晶闸管供电给电感性负载，其中

u?2Usin?t,Z?R?j?L

晶闸管导通时的触发角为?，导通角为?。导通角与触发角以及负载阻抗角的关系，分为以下三种情况：

a.电阻负荷Z=R，电流可突变，则：? =?一?； b.纯电感性负载Z=X，电流不能突变，则：?=2(?一? ) c.负载Z =R+j?L，电流不能突变，导通角由下式确定：

通过以上各种情况导通角的分析，可以知道交流电源侧将会产生大量谐波电流成分。对于其他各种整流性负荷，均可按上述方式进行分析，产生谐波的机理也基本相同。

3．抑制电网谐波的方法

由于谐波对通信和电网几乎所有设备都会带来不良影响，因此，消除谐波是目前急需解决的问题。抑制电网谐波有如下两种方法：

(1)对电力电子装置本身进行改进，使其不产生谐波，甚至少产生谐波，例如增加变流装置的脉动数。增加变流装置一个周期的脉动数，可以有效地消除幅值很大的低次特征谐波。理想情况下，对于P个脉冲的变流器，它产生的特征次谐波为h=KP±l(K为正整数)，h次谐波电流幅值与基波电流幅值之比，1／h所以增加脉动数可以使最低次谐波次数升高，幅值减小。在有些情况下，只需改变变压器的连接方式。就可以增加装置的脉动数，因而比较经济和方便。

(2)装设谐波补偿装置来补偿谐波，这对各种谐波源都是适用的。主要是以下两种做法：

a.并联电容器回路中串联电抗器。这样做能够避免在某个特征频率上与感性系统发生并联谐振。不仅能在基波时输出无功，还能限制合闸冲击电流和抑制电容器对外部短路的放电电流。缺点是在于仍有可能在低次谐波上发生并联谐振，需选用耐压更高的电容器。

b. 装设谐波滤波器。电力滤波器分为有源电力滤波器(APF)和无源滤波器(PF)两种类型。其中APF的优点是对频率和大小都变化的谐波以及变化的无功功率同时进行补偿；可连续调节且响应迅速；不易发生过载，并能正常发挥补偿作用，受电网阻抗的影响不大，不容易和电网阻抗发生谐振，能跟踪电网频率的变化；既可对一个谐波和无功单独补偿，也可对多个谐波源集中补偿，体积小。

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1.1 小波分析在电力系统中的应用

因为小波变换在时域和频域上都有很好的局部性质，可以对不一样的频率成分采用渐细化的采样步长，聚焦到相应信号的任何细节，这就对于高频信号和低频信号的检测都有良好的效果，尤其适合应用于分析奇异信号，而且可以分辨奇异的大小。此外，小波分析还可以较为准确的反应故障可能发生的时间和位置信息，从而对设施和整个系统的状态监视、故障诊断具有实时性和有效性。

1.2.1 小波分析的发展历史

1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成，Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。但频域分辨率非常差。

1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。

1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。

1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。

1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。

1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。

1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。

1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。

1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。

1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。它标志着第一代小波的开始。快速小波变换的主要方法是先滤波，再进行抽二采样。Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。

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但Mallat算法以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。

1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮，并于1992年，扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。

1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。

1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。同年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。

1992年，Zou等提出了多带小波（M-band Wavelet）理论，将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。

1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波（Multi-Wavelet）理论框架。

1994年，Geronimo等提出了多小波变换（Multi-Wavelet Transform，MWT），将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换，在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、利普希茨Lipschitz连续性（消失矩）等特性。

1995年，Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案（Lifting Scheme）。它标志着第二代小波的开始。

1.2.2 电力系统谐波分析

谐波产生的根本原因是非线性负载如高压直流输电系统、变频器、电弧炉、电动机车等的应用,造成电网中的谐波污染、三相电压的不对称性。由于上述负荷的存在,使得电力系统中的供电电压即便是正弦波形,其电流波形也将偏离正弦波形而发生畸变。当非正弦波形的电流在供电系统中传输时,将迫使沿途电压下降,其电压波形也将受其影响而产生不同程度的畸变,这种电能质量的下降会给电力系统和用电设备带来严重的危害。

电力系统运行时, 理想情况下它应以额定功率和额定电压向用户供电, 但在实际运行中, 由于变频器、变流器、开关电源和电抗器等非线性设备的广泛应用, 向电网注入了大量的谐波电流, 造成电力系统电力系统运行时, 理想情况下它应以额定功率和额定电压向用户供电, 但在实际运行中, 由于变频器、变流器、开关电源和电抗器等非线性设备的广泛应用, 向电网注入了大量的谐波电流, 造成电力系统电压、电流严重畸变, 影响仪表的正常工作, 增加电力元件的损耗, 同时也给电力系统中其他的一些设备运行带来很大危害。为了防止谐波危害系统安全运行, 就必须确切掌握电力系统中畸变波形含有谐波的实际情况, 采取相应措施对其进行抑制或补偿。

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快速傅里叶变换( FFT)算法是常用的谐波检测方法，但FFT算法对非整数次谐波的检测存在栅栏效应和频谱泄露现象, 从而使检测出来的谐波幅值、频率和相位有较大误差。小波分析作为一种先进的信号处理工具, 它具有对非平稳信号的分析和处理能力及多分辨率的特性。小波分析将不良的谐波信号变换投影到了有一定差距的尺度上，这样会比较明显的表现出高频和奇异高频信号的特点，尤其是小波包具有将频率空间细化的特点。

现在小波变换在电力系统故障检测、分类、谐波分析上有广泛的应用, 是一些波动谐波和快速变化谐波的重要和主要检测方法。运用小波变换理论分析电能谐波，有很好的精度和分辨率，为更进一步的分析和抑制不良谐波，提供了可靠根据。而且，小波分析为电力系统的非整次谐波分析和研究创造了更好的条件。

对电网谐波进行分析研究，其难点是对暂态的、突变的、非平稳扰动信号的检测与分析。在算法分析上，文献[10][13]都采用了以FFT为核心的电能质量分析方法。其中文献[10]将128个采样点作FFT运算，根据用户操作来计算相关参数；文献[13]采用加窗插值快速傅里叶变换算法（FFT）进行数据分析，通过调节采样长度。 文献[23][24][25]采用了小波变换的理论分析方法。其中文献[24]运用小波包变换分析了电网系统谐波信号，根据信号特性，选取合适的小波函数，确定了小波包变换的分解层数，并通过仿真实验验证了小波包分析方法在电网谐波检测中的正确性和实用性；文献[25]利用快速傅里叶算法FFT和小波分析法WT对谐波进行分析，克服了FFT的缺点，并通过仿真证明了FFT和WT算法相结合的方法的合理性和有效性。

1.2.3 电力系统暂态稳定

在电力系统受到较大扰动后，系统运行状态的大部分电磁信号参数都会因此发生急剧的变化和震荡。因为小波分析捕捉、处理突变信号有较强的优势，对处理这一类的突变情况选用小波变换理论处理是最好的选择。小波分析有局部细化或放大的特点，可以辨别和追踪系统中的微弱突变变量，从而能够精确的推断引起突变的故障地点和时间，进而可以提高电力系统的暂态预测预测的准确性、实时性。

1.2.4 电力系统的动态安全分析

在电力系统遭到干扰后，会相应的造成电压、电流波动，影响到系统运行的稳定，甚至可能会造成电压雪崩，利用小波变换分析，研究电力系统的动态电压响应，能够将电力系统因为受到干扰而出现的电压突变信号分解到有一定差异的尺度上，以此分别分析突变信号的相位与幅值，进一步判别电力系统的动态的安全运行情况。

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1.2 傅里叶变换的局限性

分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是傅里叶分析。傅里叶变换建立信号从时( 间) 域到频( 率)域的变换桥梁, 而傅里叶反变换则建立了从频域到时域的变换桥梁, 这两个域的变换为一对一映射:

??S?fS?f???S?t?e?j2?ftdt （1）

???????S?t?ej2?ftdt （2）

?? 式(1) 为时域到频域的变换, 称为傅里叶变换。式(2)为频域到时域的变换, 称为傅里叶反变换。时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。傅里叶变换是在整体上将信号分解为不同频率分量, 而缺乏局域性信息, 即它并不能告诉人们某个频率分量发生在哪些时间内。

由式(1) 可以看出, 频谱S ( f ) 等于信号与无穷区间正弦波基函数的内积, 即:

S?f???S?t?e?j2?ftdt??S?t?,ej2?ft????? （3）

因此, 基于无穷区间的平稳基函数不可能表现出非平稳信号的S ( t ) 的局域性。为了研究非平稳信号在局部范围的频域特征, 1946年Garbor提出了加窗傅里叶变换( 也称为Garbor 变换) 。基本思想是, 取时间函数

??g?t???1/4e?t2/2作为窗口函数,用

g(t-?) 同待分析信号f(t)相乘, 然后再进行傅里叶变换

S?f,???

???j2?ftj2?ftStgt??edt??St,gt??e?????????? （4）

对于要分析的非平稳信号来说, 也许某一小时间段上是以高频信息为主,因希望用小时间窗口进行分析, 而在紧跟着的一个长时间段上是一些低频信息,希望用一个大时间窗口进行分析。因此,对一个时变的非平稳信号, 很难找到一个好的时间窗口来适合不同的时间段, 这就是STFT的不足之处。

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第二章 小波变换理论

2.1 小波基础知识

2.1.1 认识小波

从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数变换等的基础知识。

从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识。一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函数f(t)。因为信号是能量有限的，即

?????f(t)dt?0

2满足上式条件的所有函数的集合就形成L2(R)

图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。

2.1.2 L2(R)空间的正交分解和变换

对f(t)?L2(R)，存在L2(R) 的一组标准正交基gi(t)，t ?R，i=1,2,…使得

f(t)??cigi(t)i?1??

其中

ci??f(t),gi(t)????gk(t),gl(t)???????????f(t)gi(t)dt

gk(t)gl(t)dt??kl，k,l?Z对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。常用的变换有：

(1) K-L变换 (2) Walsh变换 (3) 傅立叶变换 (4) 小波变换

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可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特殊信号： (1)小波必须时振荡的；

(2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。

2.2 小波变化的定义

2.2.1 定义1

函数?(t)?L2(R) 称为基本小波，如果它满足以下的“允许”条件：

?(t)?C???d?????? （2.1）

??如果

?(?)是连续的，易得： ??(0)?0???(t)dt?0????12?? （2.2）

?(t)又称为母小波，因为其伸缩、平移可构成L2(R)的一个标准正交基：

?t?b???a,b(t)?a???，a?R,b?R?a? （2.3）

同傅立叶变换一样，连续小波变换可定义为函数与小波基的内积：

?W?f?(a,b)??f(t),?将a,b离散化，令

a,b(t)? （2.4）

a?2?j，b?2?jk，j,k?Z （2.5）

可得离散小波变换：

(DW?f)(j,k)??f(t),?j,k(t)?j2 （2.6）

?j,k(t)?2?(2jt?k)，j,k?Z （2.7）

小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”，也即支流分量为零。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。

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小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域

小波变换有以下特点：

(1)多尺度/多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号；

(2)可以看成用基本频率特性为?(ω)的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。

(3)适当地选择小波，使ψ(t)在时域上为有限支撑,?(ω)在频域上也比较集中，就可以使WT在时、频域都具有表征信号局部特征的能力。

小波变换的思想来源于伸缩和平移方法： 1.尺度伸缩

对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展，如图所示。

图2.1 尺度伸缩图

对应函数表达式分别为：

f(t)?sin(t);a?1

f(t)?sin(2t);a?1

2f(t)?sin(4t);a?1

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图2.2

对应的函数表达式分别为：

f(t)??(t);a?1

f(t)??(2t);a?1

2f(t)??(4t);a?1

42.时间平移

时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如图所示。

图2.3

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2.2.2 定义2

给定一个基本函数

??t?，令

?a,b?t??式中a,b都为常数且a>0.显然，

1?t?b????a?a? （2.8）

是基本函数

?a,b?t???t?先作移位再作伸缩以后得

到的。若a,b不断地变化，我们可得到一族函数即

?a,b?t?。给定平方可积的信号x(t)，

x?t??L2?R?，则x(t)的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为

1*?t?b?*WTx?a,b??xt?dt?xt?????a,b?t?dt??x?t?,?a,b?t??????aa??

（2.9）

式中a,b和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从?∞到+∞。信号x(t)的小波变换WT (a,b) x 是a和b的函数，b是时移，a是尺度因子。ψ(t)又称为基本小波，或母小波。

?a,b?t?是母

小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（2.9）式的WT又可解释为信号x(t)和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波ψ(t)作伸缩。这样，a和b联合越来确定了对x(t)分析的中心位置及分析的时间宽度。这样，（2.9）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x(t)作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。

由 Parsevals 定理，上式可重新表为：

1a*j?bWTx?a,b???X???,?a,b?????X??a?ed??????2?2??? （2.10）

??2.3 小波运算

2.3.1 小波运算的基本步骤

(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐；

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(2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。

图2.4

(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长度，如图所示；

图2.5

(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；

图2.6

(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。

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2.3.2 尺度与频率的关系

图2.7

尺度与频率的关系如下：

小尺度a ?压缩的小波?快速变换的细节?高频部分 大尺度a ?拉伸的小波?缓慢变换的粗部?低频部分

2.4 小波变换的特点

下面，我们从小波变换的恒Q 性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的

对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。

比较（2.9）（2.10）两式式对小波变换的两个定义可以看出，如果

?a,b?t?在时域

是有限支撑的，那么它和x(t)作内积后将保证WTx(a,b) 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即WTx(a,b) 反映的是x(t)在b附近的性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波ψ(t)，使其在时域和频域都是有限支撑的。

由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中0 2Ω 处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中Ω0 / 2处）频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的a 值下，图中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频

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率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a 对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。

小波分析是建立在时域--频域上的分析，它在时域、频域上同时具有不错的局部化的性质。因为对频域成分采用逐渐精细化的时域、空域取样步长，所以它可以聚焦到一些对象（函数、信号等）的任意细节，在此基础上加以分析。小波分析在信号的分解与重构上、信号和噪声的分离上、特征提取上、数据压缩上等工程应用中，显出很好的优越性。

综上所述，小波分析是近代应用数学中一个迅速发展的新领域,它汲取了现代分析学中泛函分析、数值分析、傅里叶分析、样条分析、调和分析等众多分支的精华。小波分析具有伸缩、平移和放大特性。它可以对信号进行多尺度分析, 有效地从信号中提取所需信息, 实现既在时域又在频域的高分辨局部定位。因此小波分析被誉为数学显微镜。法国数学家Y.Meyer，地质物理学.Morlet 和理论物理学家A.Grossman对小波理论作出了突出的贡献。法国学者Daubechies 和S.Mallat 在将小波理论引入工程应用，特别是信号处理领域起到了重要的作用。

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第三章 小波的分类

作为一个小波的函数ψ(t)，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波ψ(x)形成的

?a,b?t? 是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望ψ(x)有高阶的

消失矩，希望与ψ(x)相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经典小波”，在MATLAB 中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis 构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波。

3.1 经典类小波

1. Haar 小波

Haar 小波来自于数学家Haar 于1910 年提出的Haar 正交函数集，其定义是：

?1,0?t?1/2?????t????1,1/2?t?1??0,其它???

其傅里叶变换形式是：

????=j4???sin2??e?j?/2??a?

2.Morlet 小波

Morlet 小波定义为：

??t??e?t/2ej?t 其傅里叶变换为：

它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB 中将定义式改造为：

?????2?e?????0?/222??t??e?t

2/2cos?0t

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Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。

图3.1 Morlet小波时域波形

3 .Mexican hat小波

该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称 Marr 小波。它定义为：

??t??c?1?t2?e?tc?2/2

式中

21/4?3，其傅里叶变换为：

?????2?c?2e??2/2

该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在Ω = 0 处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983 年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测。

图3.2 Mexican Hat小波时域波形

4.高斯小波

高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：

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dk?t2/2??t??cke,k?1,2,...,8dt

该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。

3.2 正交小波

目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets

小波和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出ψ(t)，而是通过一个叫做“尺度函数（Scalling function）”的φ(t)的加权组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下一章的讨论可知，小波函数ψ(t)，尺度函数φ(t)同时和一个低通滤波器H0(z)及高通滤波器

H1?z?相关连，H0(z)和

H1?z?可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小

波变换的多分辨率分析的理论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数φ(t)，分析滤波器组H0(z)，

1．Daubechies 小波

Daubechies 小波简称db 小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies 于90 年代初提出并构造的。Daubechies 对小波变换的理论做出了突出的贡献。

H1?z?及综合滤波器组H0(z) ，

H1?z?。MATLAB 中的

Wavelet Toolbox中有相关的软件来产生各类正交小波及其相应的滤波器。

图3.3 Daubechies 小波

2. 对称小波

对称小波简记为symN，N = 2,3,…,8，它是db小波的改进，也是由Daubechies 提出并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是ψ(t)是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。

3．Meyer 小波

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Meyer 小波简记为meyr，它是由Meyer 于1986 年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。图9.6.8给出了Meyer小波的尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)。

图3.4 Meyer小波

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第四章 小波分析的应用

小波的应用主要是信号的处理，其中最典型的应用是小波图象压缩。另外，小波在诸如信号去噪、特征提取等多方面均有成功的应用。下面以图象去噪为例说明小波应用策略。小波的各种应用均可分为以下三步：

1）对原始信号作小波变换，将信号由空域变换到频域； 2）对小波系数做相应处理；

3）对处理后的小波系数做小波逆变换，还原原信号。

图4.1 小波信号去噪一

图4.2 小波信号去噪二

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第五章 仿真

5.1 Matlab小波工具箱（wavelet）

小波变换的matlab工具箱有多种版本，具有强大的资料处理功能。Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研究和工程设计，方针和应用平台，特别适合信号和图像分析，综合，去噪，压缩等。

小波工具箱包含了图像化的工具和命令行函数，它可以实现如下功能： 1 测试、探索小波和小波包的特性 2 测试信号的统计特性和信号的组分 3 对一维信号执行连续小波变换

4 对一维、二维信号执行离散小波分析和综合

5 对一维、二维信号执行小波包分解（参见帮助Using Wavelet Packets） 6 对信号或图像进行压缩、去噪

图5.1 小波工具箱的菜单界面

如图5.1所示，matlab小波工具箱有多种方式：包括一维连续、一维离散，二维等几十种方式。

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5.2 仿真

1.电压谐波分解： 构造典型的谐波方程式：

1?1?1?y?380sin(10?t)?*380sin(30?t?)?*380sin(50?t?)?*380sin(70?t?)36547312??*380sin(90?t?)93其中：t从0到1.。

可以看出，此电压方程基波为幅值为380伏的正弦波，其中有三次、五次、七次和九次谐波，幅值和相位各不相同。

2.构造谐波的matlab程序为： t=0:0.01:1;

y1=380*sin(10*pi*t); %构造基波 y3=1/3*380*sin(3*10*pi*t+pi/6); %构造三次谐波 y5=1/5*380*sin(5*10*pi*t+pi/4); %构造五次谐波 y7=1/7*380*sin(7*10*pi*t+pi/3); %构造七次谐波 y9=1/9*380*sin(9*10*pi*t+2*pi/3); %构造九次谐波 y=y1+y3+y5+y7+y9; %合成总方程 plot(t,y); %输出电压波形

save('hhh.mat','y'); %将电压数值存储为.mat格式，以便matlab

小波工具箱调用

3.输出电压波形如图5.2：

4003002001000-100-200-300-40000.10.20.30.40.50.60.70.80.91

图5.2 谐波输出电压波形

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因为Daubechies小波性能优越，本仿真采用这种小波。

图5.3 仿真波形

4．下图仿真电能质量损耗，要仿真的为典型电能损耗。

图5.4 电能损耗仿真波形

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结束语

近几年来,随着电网中元件复杂、结构繁琐、大量增加非线性负载、广泛应用的敏感电子设备等, 使得电能质量问题日趋严重，造成三相电压的不对称性、谐波污染，以及电压波动和闪变，谐波问题仍然是当前干扰电能质量的主要因素。

本文在提出了目前电力系统中谐波问题的出现和危害的基础上，学习了小波变换理论，包含小波变换概念的引入、定义、分类、应用等，借助于matlab中的小波工具箱，通过构造谐波电压信号，然后对此谐波信号进行仿真分析，可以较为清晰的得到谐波在原信号中的影响度。从总体上讲，该仿真基本实现了对电能质量中的谐波分析和电耗分析。但由于时间关系和自己对小波知识学习不够深入，使本文存在较大的局限性，对谐波仿真上做的内容比较浅，只是简单的对构造的电压谐波信用性能上较优越Daubechies小波进行了简单的仿真分析，但其优越性值得我继续深入学习。

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谢 辞

本次毕业论文是在 老师的指导下完成的，在忙碌的工作之余，原老师以多种方式给与了应有的帮助和指导，非常感谢原老师的细心教导和耐心教诲！

非常感谢我的父母，大学四年给了我最无私的帮助、支持和理解。

感谢我的姐姐，在我的成长路上指引方向，在我得意、失意、困惑之时，都一直陪在我的身边。

感谢李秋双师姐，在这次毕业设计中不求回报的给予了我莫大的帮助，对于我提出的问题，师姐都非常耐心的予以解答，不管是知识上还是为人上，李秋双师姐都给了我很大的启示。

感谢我身边的朋友们，在四年的大学光阴里，让我收获了无数的感动和快乐，感谢你们一直以来对我的理解和帮助。

感谢自动化工程学院的老师们，从入学时的专业讲解，到课堂上的悉心教导，再到我们从未见过的课下后你们认真批改作业的身影，从对我们的认真教诲到对我们任性时的宽容，无时无刻不提醒我们努力向前。

感谢自动化学院这个大集体，团结、坚持和不断地奋斗进取，会让我一直铭记在心。 感谢青岛大学，我四年青春未曾离开过的地方，伴我成长，伴我一生。

最后，感谢本文的评阅老师和答辩委员会的老师们，谢谢你们在百忙的工作之中对我们的认真指导。

谢谢你们！

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参考文献

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