考研数学历年真题(1987-2012)年数学一（纯试题）

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1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

x?1

(3)与两直线 y??1?t及x?11?y?21?z?11都平行且过原点的平面方程为_____________.

z?2?t

(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分

??L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim1xt2.

x?0bx?sinx?0a?t2dt?1成立

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u??x,v?x.

?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A??301??110???,求矩阵B.

?014??

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处 (A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值

(D)f(x)的导数不存在

s(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s

(D)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数k?0,则级数??(?1)nk?nn?1n2 (A)发散

(B)绝对收敛

(C)条件收敛

(D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a

(B)

1a (C)an?1

(D)an

六、（本题满分10分）求幂级数??1xn?1n?1n?2n的收敛域，并求其和函数.

七、（本题满分10分）求曲面积分 I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

??其中?是由曲线f(x)???z?y?1 1?y?3?绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与?x?0y轴正向的夹角恒大于

?2.

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.

九、（本题满分8分）

问a,b为何值时,现线性方程组

x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x

2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1x2?2x?1?e?,则X的数学期望为____________,X的方差

为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

f10?x?1e?yyX(x)?0其它,f??0Y(y)0y?0, 求Z?2X?Y的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

?求幂级数?(x?3)n(1)n的收敛域. n?1n3(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(1)若f(t)?limt(1?12txx??x),则f?(t)= _____________.

3(2)设f(x)连续且

?x?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)?2?1?x?0x20?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式

A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)可导且f?(x10)?2,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是 (A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小

(C)比?x低阶的无穷小

(D)比?x高阶的无穷小

(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处 (A)取得极大值 (B)取得极小值

(C)某邻域内单调增加

(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域?222?R2,z?0,?22221:x?y?z2:x?y?z?R,x?0,y?0,z?0,则 (A)

???xdv?4???dv

(B)

????ydv?4????ydv

1?21?2(C)

???zdv?4???zdv

(D)

????xyzdv?4???xyzdv

1?2?1?2?(4)设幂级数

?a(x?1)nn在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛

(B)绝对收敛

(C)发散

(D)收敛性不能确定

(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关

(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分) 设u?yf(xy?2u?2uy)?xg(x),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x?x2?y?x?y.

五、(本题满分8分)

设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处

,求函数y?y(x).

的切线重合六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为

k(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直r2 九、（本题满分9分）

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与

线y?2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3 七、（本题满分6分）

?100??1已知AP?BP,其中B???000??,P??0?2?1??00?1????21八、（本题满分8分）

?200??200?已知矩阵A???001?1x?与B????0y0??相似.

??0???00?1??(1)求x与y.

(2)求一个满足P?1AP?B的可逆阵P.

0?0??,求A,A5.1?

?倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于

65”的概率为____________. (3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

2?(x)??x1?u2??2?edu,?(2.5)?0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?1?(1?x2),求随机变量Y?1?3X的概率密度函数fY(y).

1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f?(3)?2,则limf(3?h)?f(3)h?02h= _____________.

(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)=_____________.

(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分

?2L(x?y2)ds=_____________.

(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.

?300?(5)设矩阵A???140???,I??100??010??,则矩阵(A?2I)?1=_____________.

??003????001??

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x?0时,曲线y?xsin1x (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是 (A)(1,?1,2) (B)(?1,1,2) (C)(1,1,2)

(D)(?1,?1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A)c1y1?c2y2?y3

(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3

(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3

?(4)设函数f(x)?x2,0?x?1,而S(x)??bnsinn?x,???x???,其中

n?1b11n?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?2)等于

(A)?12

(B)?14 (C)

114 (D)

2 (5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求

?2(1)z?x?y.

(2)设曲线积分

?2cxydx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算

?(1,1)(0,0)xy2dx?y?(x)dy的值.

(3)计算三重积分

???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与z?1?x2?y2所围成的区域. ?

四、(本题满分6分) 将函数f(x)?arctan1?x1?x展为x的幂级数.

五、(本题满分7分) 设f(x)?sinx??x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

六、（本题满分7分）证明方程lnx?xe???01?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.

七、（本题满分6分）

问?为何值时,线性方程组

x1?x3??

4x1?x2?2x3???2 6x1?x2?4x3?2??3

有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分）

假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)

1?为A?1的特征值.

(2)

A*?为A的伴随矩阵A的特征值.

九、（本题满分9分）

设半径为R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部的那

部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件

A?B的概率P(A?B)=____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2??x?1?0有实根的概率是____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

x??t?2

(1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程是_____________.

z?t?1

(2)设a为非零常数,则lim(x?ax??x?a)x=_____________.

(3)设函数f(x)?

1x?10x?1,则f[f(x)]=_____________.

(4)积分

?22?y20dx?xedy的值等于_____________.

(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??e?xxf(t)dt,则F?(x)等于

(A)?e?xf(e?x)?f(x)

(B)?e?xf(e?x)?f(x)

(C)e?xf(e?x)?f(x)

(D)e?xf(e?x)?f(x)

(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是

(A)n![f(x)]n?1 (B)n[f(x)]n?1

(C)[f(x)]2n

(D)n![f(x)]2n

?(3)设a为常数,则级数?[sin(na)1n?1n2?n] (A)绝对收敛

(B)条件收敛 (C)发散

(D)收敛性与a的取值有关

(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,limf(x)x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x) (A)不可导

(B)可导,且f?(0)?0 (C)取得极大值

(D)取得极小值

(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础

解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是

(A)k1α1?k2(α1?αβ22)?β1?2

(B)k1α1?k2(αβ1?β21?α2)?2 (C)kβ1?β2β1?β21α1?k2(β1?β2)?2

(D)k1α1?k2(β1?β2)?2

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

?1ln(1?x)0(2?x)2dx.

(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求

?2z?x?y.

(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).

四、(本题满分6分) 求幂级数??(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.

n?0

五、(本题满分8分) 求曲面积分

I???yzdzdx?2dxdy

S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.

七、（本题满分6分）设四阶矩阵

??1?100??2134?B??01?10???,C??0213???001?1?021?? ?0001??0???0002??且矩阵A满足关系式

A(E?C?1B)?C??E

其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

八、（本题满分8分）

求一个正交变换化二次型f?x2221?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.

九、（本题满分8分）

质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受

变力F?作用(见图).F?的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于?2.求变力F?对质点P所作的功.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数

f(x)?12e?x,???x??? 则X的概率分布函数F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率

P(AB)=____________.

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{X?k}?2ke?2k!,k?0,1,2,?,则随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量

Z?2X?1的方差D(Z).

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设x?1?t2y?cost,则d2ydx2=_____________.

(2)由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.

(3)已知两条直线的方程是lx?11:1?y?20?z?3?1;lx?2y?1z2:2?1?1.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.

1(4)已知当x?0时,(1?ax2)3?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.

??5200?(5)设4阶方阵A??2100?1?1?2??,则A的逆阵A?=_____________. ?00?0011?? 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

?x2(1)曲线y?1?e1?e?x2 (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线

(C)仅有铅直渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2?0f(t2)dt?ln2,则f(x)等于

(A)exln2

(B)e2xln2

(C)ex?ln2

(D)e2x?ln2

?(3)已知级数?(?1)n?1?an?2,n?1?a2n?1?5,则级数??an等于

n?1n?1(A)3 (B)7

(D)9

(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则

??(xy?cosxsiny)dxdy等于

D(A)2??cosxsinydxdy

(B)2D??xydxdy

1D1(C)4??(xy?cosxsiny)dxdy

(D)0

D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACB?E

(B)CBA?E (C)BAC?E

(D)BCA?E

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

?(1)求xlim?0?(cosx)2.

(2)设n?是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?6x2?8y2n?z在点P处沿方

的方向导数. (3)

???(x2?y22?z)dv,其中?是由曲线 y?2z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立体.

?x?0绕z

四、(本题满分6分)

过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分

?L(1?y3)dx?(2x?y)dy的值最小.

向

五、(本题满分8分)

将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数??12的和. n?1n 六、（本题满分7分）

设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?12f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.3 七、（本题满分8分）

已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)及β?(1,1,b?3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?

(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式

八、（本题满分6分）

设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.

九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2

的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________. (2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,

则原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?4的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

f(x,y)?2e?(x?2y) x?0,y?00 其它

求随机变量Z?X?2Y的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则

dydx=_____________.

(2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.

(3)设f(x)??1???x?01?x20?x??,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.

(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.

?a1b1a1b2?a1bn?(5)设A??a2b1a2b?1?a2bn??????,其中ai?0,bi?0,(i?1,2,?,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.

???anb1a?a?nb2nbn?

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前

的字母填在题后的括号内)

x2(1)当x?1时,函数

?11x?1ex?1的极限 (A)等于2 (B)等于0

(C)为?

(D)不存在但不为?

?(2)级数

?(?1)n(1?cosa)(常数a?0) n?1n(A)发散

(B)条件收敛

(C)绝对收敛

(D)收敛性与a有关

(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条

(D)不存在

(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

?(5)要使ξ?1??0??0??,ξ??1?2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A?为

?2?????1??(A)??212?

(B)??20?1??011?? ?01?1?(C)???102??01?1??

(D)??4?2?2??

??011??

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求limex?sinx?1x?01?1?x2.

(2)设z?f(exsiny,x2?y2),其中f具有二阶连续偏导数,求

?2z?x?y.

(3)设f(x)?1?x2x?03e?xx?0,求?1f(x?2)dx.

四、(本题满分6分) 求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.

五、(本题满分8分) 计算曲面积分

??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面z?a2?x2?y2的

?上侧.

六、（本题满分7分）

设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).

七、（本题满分8分）

????x2y2z2在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面a2?b2?c2?1上第一卦限的点

M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F?所做的功W最大?并求出W的最大值.

八、（本题满分7分）

设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.

(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.

九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为

?1??1ξ?1??,ξ?????1????1??1??2??2?,ξ3??3?,又向量β??????4????9??2???3?.

?1??(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?16,则事件A、B、C全不发生的概率为____________.

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X}=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布

t2密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中?(x)?122??x??e?dt).

1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)??x1(2?1t)dt(x?0)的单调减少区间为_____________.

2(2)由曲线

3x?2y2?12z?0绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.

(3)设函数f(x)??x?x2(???x??)的傅里叶级数展开式为

a02???(ancosnx?bnsinnx),则其中系数b3的n?1值为_____________.

(4)设数量场u?lnx2?y2?z2,则div(gradu)=_____________.

(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n?1,则线性方程组AX?0的通解为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)??sinx2340sin(t)dt,g(x)?x?x,则当x?0时,f(x)是g(x)的

(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小

(D)低价无穷小

(2)双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为

??(A)2?40cos2?d? (B)4?40cos2?d?

??(C)2?4cos2?d?

(D)102?40(cos2?)2d?

(3)设有直线lx?11?y?5?2?z?81与l?61:x?y2:2y?z?3则l1与l2的夹角为

(A)?6

(B)?4

(C)

(D)

?2 (4)设曲线积分

?L[f(t)?ex]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)?0,则f(x)等于

e?x?exx(A)2

(B)e?e?x2

ex?e?x(C)

2?1

ex?e?x(D)1?2

?(5)已知Q??123??24t??,P为三阶非零矩阵,且满足PQ?0,则

??369??(A)t?6时P的秩必为1

(B)t?6时P的秩必为2 (C)t?6时P的秩必为1

(D)t?6时P的秩必为2

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求lim(sin2x??x?cos1x)x.

(2)求?xexex?1dx.

(3)求微分方程x2y??xy?y2,满足初始条件yx?1?1的特解.

四、(本题满分6分) 计算???2xzdydz?yzdzdx?z2dxdy,其中?是由曲面z?x2?y2与z?2?x2?y2所围立体的表面外侧.

五、(本题满分7分)

?(?1)n求级数?(n2?n?1)n的和. n?02

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,??)上函数f(x)有连续导数,且f?(x)?k?0,f(0)?0,证明f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点.

(2)设b?a?e,证明ab?ba.

七、（本题满分8分）

已知二次型f(x2222221,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通过正交变换化成标准形f?y1?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵. 八、（本题满分6分）

设A是n?m矩阵,B是m?n矩阵,其中n?m,I是n阶单位矩阵,若AB?I,证明B的列向量组线性无关.

九、（本题满分6分）

设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(?1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率分布密度为f(x)?12e?x,???x???. (1)求X的数学期望EX和方差DX.

(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?

1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)lim1x?0cot?(sinx?1x)= _____________.

(2)曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

(3)设u?e?xsinx?2u1y,则?x?y在点(2,?)处的值为_____________.

(4)设区域D为x2?y2?R2,则??(x2y22?2)dxdyDab=_____________.

(5)已知α?[1,2,3],β?[1,1,123],设A?α?β,其中α?是α的转置,则An=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

?(1)设M??2sinx??4234234??cosxdx,N?21?x2???(sinx?cosx)dx,P?2?2??(xsinx?cosx)dx,则有 2(A)N?P?M (B)M?P?N (C)N?M?P

(D)P?M?N

(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(3)设常数??0,且级数??a2?n收敛,则级数?(?1)nann?1n2??

n?1(A)发散

(B)条件收敛 (C)绝对收敛

(D)收敛性与?有关

(4)limatanx?b(1?cosx)22x?0cln(1?2x)?d(1?e?x2)?2,其中a?c?0,则必有

(A)b?4d (B)b??4d (C)a?4c

(D)a??4c

(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关 (D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

x?cos(t2)(1)设dyd2

yy?tcos(t2)??t21,求12ucosududx、dx2在t??2的值.

(2)将函数f(x)?11?x14ln1?x?2arctanx?x展开成x的幂级数.

(3)求

?dxsin(2x)?2sinx.

四、(本题满分6分)

计算曲面积分??xdydz?z2dxdy,其中S是由曲面x2?y2?R2及z?R,z??R(Sx2?y2?z2R?0)两平面所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设f(x)具有二阶连续函数,f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方

程,求f(x)及此全微分方程的通解.

六、(本题满分8分)

设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)?x?0x?0,证明级数?f(1)绝对收敛. n?1n 七、（本题满分6分）

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.

八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为

x1?x2?0x2?x4?0,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).

(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）

设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为

X 0 1 P 1 122 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?xy??12,设Z?XY3?2, (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.

(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?

1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

2(1)lim(1?3sinxx?0x)=_____________.

(2)d0dx?x2xcost2dt= _____________.

(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________. ?(4)幂级数

?nnnx2n?1的收敛半径R=_____________. n?12?(?3)??100??3?1?(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A???0??40?,则B=_____________. ???001?7???

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线L:x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0,及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L

(A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?

(D)与?斜交

(2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)

(D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)

(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件

(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件

(4)设un1n?(?1)ln(1?n),则级数 ??(A)

?u2??

(B)

2n与

n与

n?1?un?1n都收敛?un?1?un?1n都发散

???(C)

?un收敛,而

(D)

n?1??u2n?1n发散 ?un收敛,而

n?1?u2n?1n发散?a12a13??aa12a13??010??1(5)设A??a11?a21a22a???,B??1123?a21a22a???00?23,P?100?,P?010?,?a31a32a33????a31a32a?1??2?01?则必有 33????001????1??(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B

(D)P2P1A=B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且

???z?0.求dudx.(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设

?1110f(x)dx?A,求?0dx?xf(x)f(y)dy.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分

???zdS,其中?为锥面z?x2?y2在柱体x2?y2?2x内的部分. (2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知MA?OA,且L过点(32,32),求L的方程.

六、(本题满分8分) 设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分

?L2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒

有?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).

七、（本题满分8分）

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:

(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.

(2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使

f(?)f?g(?)??(?)g??(?).

八、（本题满分7分）

?设三阶实对称矩阵A的特征值为??1,对应于??0??1??1,?2??31的特征向量为ξ1??1?,求A.

??1??

九、（本题满分6分）

设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.

(2)设X和Y为两个随机变量,且

P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47,

则P{max(X,Y)?0}?____________.

十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为

e?xfx?0X(x)?0x?0, 求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).

1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设lim(x?2ax??x?a)x?8,则a=_____________.

(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________.

(4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为_____________.

?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B??102??020?03?,则r(AB)=_____________.

???1??

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分,a则等于 (A)-1 (B)0 (C)1

(D)2

(2)设f(x)具有二阶连续导数,且

f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则 (A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值

(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

(3)设an?0(n?1,2,?),且??a??n收敛,常数??(0,),则级数?(?1)n(ntan?)a2n n?12n?1n(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散

(D)散敛性与?有关

(4)设有f(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??x(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与xk0是同阶无

穷小,则k等于

(A)1 (B)2 (C)3

(D)4

a100b1(5)四阶行列式

0a2b200a3b30的值等于 b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4

(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C)(a1a2?bb12)(a3a4?b3b4)

(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.

(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正向的夹S角为锐角. u?x?2y2

(2)设变换v?x?ay可把方程6?2z?2z?x2??x?y??z?2z?y2?0简化为?u?v?0,求常数a.

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

1(1)lim(cosx)ln(1?x2)x?0 = . (2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 .

?(3)设x2??ancosnx(???x??),则a2= .

n?0(4)从R2的基α?1?1????,α?1?0?2????1??到基β1???1??1??,β2???1??2??的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?6x0?x?y?10其它,则P{X?Y?1}? .

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有

(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有

(A)an?bn对任意n成立 (B)bn?cn对任意n成立 (C)极限limn??ancn不存在

(D)极限limn??bncn不存在

(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且f(x,y)?xyx?lim0,y?0(x2?y2)2?1,则 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点

(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则 (A)当r?s时,向量组II必线性相关

(B)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关

(D)当r?s时,向量组I必线性相关

(5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题:

①若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B)

②若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③

(C)②④

(D)③④

(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则 (A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1)

(C)Y~F(n,1)

(D)Y~F(1,n)

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.

(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分)

?将函数f(x)?arctan1?2x(?1)n1?2x展开成x的幂级数,并求级数?的和.

n?02n?1

五、(本题满分10分)

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证: (1)??xesinydy?ye?sinxdx???Lxe?sinydy?yesinxLdx.

(2)

??sinxLxesinydy?ye?dx?2?2.

六、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m表示长度单位米.)

七、(本题满分12分)

设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.

(1)试将x?x(y)所满足的微分方程d2xdy2?(y?sinx)(dxdy)3?0变换为y?y(x)满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.

八、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零,

???f(x2?y2?z2)dvF(t)??(t)??f(x2?y2)d?x2?y2)d?,G(t)?D(t)D??f((t)?t?1f(x2)dx,

其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.

(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).

九、(本题满分10分)

?设矩阵A??322??232??010??,P???101??,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩

??223????001??阵,E为3阶单位矩阵.

十、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1:ax?2by?3c?0, l2:bx?2cy?3a?0, l3:cx?2ay?3b?0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.

十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二、(本题满分8分)

设总体X的概率密度为

2e?2(x??)x??f(x)?

x?00??min(X,X,?,X). 其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记?12n(1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).

(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ .

(2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ .

(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分

?Lxdy?2ydx的值为__________. (4)欧拉方程x2d2ydx2?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为__________ . ?(5)设矩阵A??210??120??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B??001??=__________ .

(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x?0?时的无穷小量???xcost2dt,???x2tantdt,???x3000sintdt,使排在后面的是前一个的高阶无

穷小,则正确的排列次序是

(A)?,?,? (B)?,?,?

(C)?,?,?

(D)?,?,?

(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得 (A)f(x)在(0,?)内单调增加

(B)f(x)在(??,0)内单调减少 (C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)

(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)

?(9)设

?an为正项级数,下列结论中正确的是