2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期

期中考试数学试题

一、单选题

1．不等式的解集是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】先分解因式再解不等式.

【详解】

因为，所以或，选C.

【点睛】

本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.

2．若的三个内角满足,则（）.

A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形

C．一定是锐角三角形D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

【答案】B

【解析】先根据正弦定理得边的关系，再根据余弦定理求最大角的余弦值，最后根据符号确定选项.

【详解】

因为，所以,

因此最大角为C，设,则，所以C 为钝角，即一定是钝角三角形，选B.

【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析与求解能力，属基础题.

3．已知向量，，，若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．

【答案】C

【解析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.

【详解】

因为，所以,选C. 【点睛】

本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.

4．若

，且，则下列不等式一定成立的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】根据不等式性质确定选项.

【详解】

当时，不成立；

因为，所以；

当时，不成立；

当时，不成立；

所以选B.

【点睛】

本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

5．平面向量与的夹角为60°,则（）

A ．B．12 C．4 D ．

【答案】D

【解析】根据向量数量积定义得，再根据向量的模求结果.

【详解】

因为，所以选D. 【点睛】

本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．在中，角所对的边分别是,若，则为（）A ．B ．C ．D ．

【答案】C

【解析】试题分析：，则有

，则有

，即

，即

，则有，即，因为，所以，故有，解得，因为，所以，故选C.

【考点】1.正弦定理；2.边角互化

7．已知，则的取值范围是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】先寻找与、的关系，再根据不等式性质得结果.

【详解】

因为+2（），所以，选D.

【点睛】

本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．若数列满足，记数列的前项积为，则下列说法错误的是（）

A ．无最大值

B ．有最大值

C ．

D ．

【答案】A

【解析】先求数列周期，再根据周期确定选项.

【详解】

因为，

所以

因此数列为周期数列，，有最大值2，，

因为,

所以为周期数列，，有最大值4，,

综上选A.

【点睛】

本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题.

9．设等差数列的前项和为，且,则使得的最小的为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】先根据条件得首项与公差关系，再结合选项判断符号.

【详解】

因为，

所以

当时，，

当时，

所以选B.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析判断能力，属中档题.

10．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.

【详解】

因为

，

所以，选D.

【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

二、填空题

11．已知等比数列满足：，且，则_____；_____

【答案】

【解析】根据条件列方程组解得首项与公比，再求.

【详解】

因为，所以或，

因为，所以

【点睛】

本题考查等比数列首项与公比，考查基本分析求解能力，属中档题.

12．已知等差数列的前项和记为，若,则_____;_____ Array

【答案】

【解析】根据等差数列和项性质求.根据首项与公差求.

【详解】

因为等差数列中仍成等差数列，

所以，

因为,

所以，

【点睛】

本题考查等差数列求和公式以及性质，考查基本分析求解能力，属中档题.

13．在中，角所对的边分别是，已知.若，则的面积为____；若有两解，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据等腰三角形性质可得的面积，根据正弦定理确定有两解条件.

【详解】

若，则,因此的面积为 由正弦定理得

, 因为有两解，所以

【点睛】 本题考查正弦定理以及三角形面积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

14．已知

是不共线的两个单位向量， 若，则_____；若对任意的

，都不可能垂直，则在上的投影为______. 【答案】

【解析】根据向量平行可列方程解得;先根据向量数量积探求

的值，再根据向量投影公式可得结果.

【详解】 因为

， 是不共线的两个单位向量，所以

由题意得

, 对任意的恒成立，所以 所以在上的投影为

.

【点睛】 本题考查向量共线、垂直与投影，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

15．已知平面向量满足，则的夹角等于_____ 【答案】

【解析】由向量垂直的充分必要条件可得

，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可.

【详解】 由得，，即，

据此可得：，

，

又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．已知中，的平分线交对边BC于点D ，，且

，则实数

的取值范围是_____

【答案】

【解析】根据三角形面积公式列函数关系式，再根据三角形内角范围求结果. 【详解】

由题意得,

所以, 即

【点睛】

本题考查三角形面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

17．已知数列满足，且当时，，则_____【答案】

【解析】变形递推关系式，再根据叠乘法求结果.

【详解】

当时，，所以，

因此当时，

所以

因为当时，，所以.

【点睛】

本题考查利用叠乘法求数列通项，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

三、解答题

18．已知函数

（Ⅰ）若不等式的解集是，求实数的值;

（Ⅱ）若，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解，（Ⅱ）分离变量，转化为求对应函数最值问题.

【详解】

（Ⅰ）因为不等式的解集是，

所以为两根，且,

因此

（Ⅱ）因为，所以不等式可化为

因为当时,

所以，因为，解得

【点睛】

本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

19．在中，角所对的边分别是，已知的周长为

，且

（Ⅰ）求边的长；

（Ⅱ）若的面积为，求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求；（Ⅱ）根据三角形面积公式得的值，再根据余弦定理求结果.

【详解】

（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得,

因为周长为，所以

（Ⅱ）因为的面积为，所以， 所以

【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

20．如图，在梯形中，

（Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若,求数量积

的值 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解.

【详解】 （Ⅰ）因为，所以,, 因此

，

（Ⅱ）

【点睛】

本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.

21．设公差不为的等差数列中，且构成等比数列． （Ⅰ）求数列

的通项公式； （Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和.

【详解】

（Ⅰ）因为构成等比数列，所以

（0舍去）

所以

（Ⅱ）当时，

当时，

，

相减得

所以

即

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.

22．已知数列满足，

.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）比较的大小，并用数学归纳法证明；

（Ⅲ）设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根据等比数列定义证明，（Ⅱ）先求，再根据数学归纳法证明，（Ⅲ）

先化简，再利用裂项相消法求和得，最后根据最大值得结果.

【详解】

（Ⅰ）

且,是以3为首项，为公比的等比数列，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

,下面用数学归纳法证明

（1）当时,

（2）假设当时,,

当时,,即

当时,结论成立，

由（1）（2）得,

（Ⅲ）因为

【点睛】

本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

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