2015届高考数学必考题型过关练：专题八+概率与统计 学生版

第38练 “排列、组合”的常考问题

题型一 排列问题

例1 即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________． 题型二 组合问题

例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法． (1)至少有2名外籍搜救队队员； (2)至多有3名外籍搜救队队员． 题型三 排列与组合的综合应用问题

例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？

总结提高 (1)求解排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”．

(2)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解．

1．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( ) A．57 B．56 C．49 D．8

2．(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )

A．9 B．10 C．18 D．20

3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!

4．若从1,2,3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

6．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( ) A．420 B．560 C．840 D．20 160

7．(2014·达州模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252 C．472 D．484

8．用0,1，?，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279

9．(2014·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

10．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )

A．60条 B．62条 C．71条 D．80条

11．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 12．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) 13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

14．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)

15．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，?，99.3位回文数有90个：101,111,121，?，191,202，?，999.则： (1)4位回文数有________个；

(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．

16．(2014·雅安模拟)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________．

第39练 二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项

题型一 用公式求展开项

2

例1 若(x＋2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )

xA．360 B．180 C．90 D．45 题型二 赋值法求系数之和

例2 若(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a2n－1x2n1＋a2nx2n，则a1＋a3＋?＋a2n－1＝________.

－

nkk

总结提高 (1)(1)在使用通项公式Tk＋1＝Ckb时，通项公式表示的是第k＋1项的值，而不是第k项的值，na

－

展开式中第k＋1项的二项式系数Ckn与第k＋1项的系数不同．

(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x＝1即可．而要求(1－x)n的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x＝－1即可．

1．(2014·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A．30 B．20 C．15 D．10

2．(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )

A．45 B．60 C．120 D．210 3．设?5x－?

1?n

的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系x?

数为( )

A．－150 B．150 C．300 D．－300

4．设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a的值为( ) A．0 B．1 C．11 D．12

5．若(1＋x)(2－x)2 011＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a2 011x2 011＋a2 012x2 012，则a2＋a4＋?＋a2 010＋a2 012等于( ) A．2－22 011 B．2－22 012 C．1－22 011 D．1－22 012

1?2，2?上恒成立，x2＋?6展开式的中间项，6．设f(x)是?若f(x)≤mx在区间则实数m的取值范围是( ) 2x???2?A．(－∞，5) B．(－∞，5] C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 7．(2014·大纲全国)?

xy

－?8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)

x??y

b

8．(2014·山东)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．

x9．(2014·成都模拟)已知(x＋为________．

10．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．

511．已知(1＋2x)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.

6(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．

1?n

12．已知??2＋2x?.

(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

a6

)(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数x

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

第40练 概率的两类模型

题型一 古典概型问题

例1 某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： (1)选取的2位学生都是男生；

(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．

题型二 几何概型问题

例2 (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) 1137A. B. C. D. 4248

题型三 古典概型与几何概型的综合问题

例3 已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.

(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；

(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．

总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.

②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.

m

③利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，

n如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．

(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．

1．从标有1,2,3，?，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是( ) 1615213A. B. C. D. 4949749

??0≤a≤4，2．已知实数a，b满足?x1，x2是关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式

?0≤b≤4，?

0

A. B. C. D. 32163216

3．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 1A. 5

2B. 5

3C. 5

4D. 5

4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ) 1231A. B. C. D. 3344

S5．(2014·泸州模拟)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是( )

41111A. B. C. D. 6432

6．已知点A在坐标原点，点B在直线y＝1上，点C(3,4)，若AB≤10，则△ABC的面积大于5的概率是( )

19155A. B. C. D. 2432427

7．一个箱子中有9张标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下，第二张也是奇数的概率是________．

8．(2013·课标全国Ⅱ)从n个正整数1,2，?，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概1

率为，则n＝________.

14

9．(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______．

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