3月4日高考数学15中周考（理科）

2013年攀枝花市第十五中数学周考试卷（理科）2013.3.4

命题：朱国民 审题：王树滨

本试卷分卷I和卷II两部分.考试时间120分钟.满分120分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卡上。

卷1选择题部分 (共50分)

参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A，B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 kn-kPn(k)=Cknp(1-p)(k=0,1,2,?，n) 台体的体积公式

柱体的体积公式 V?Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 V?13Sh V=h(S1?S1S2?S2) 31其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V?433πR 其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2(1)已知集合M?yy?x?1,x?R,N?yy?x?1,x?R，则M?N? （ ）

???? (A)[1,??) (B)[?1,??) (C)[1,2) (D)[?1,2) (2) 已知i是虚数单位，则

的值为 （ ）

1?i?1?2i3-i-1+3i(A) (B) (C) (D) 3＋i

222开始 p＝0，n＝20 p=p+n 1?2i(3)如图所示某程序框图，则输出的n的值是（ ） pn=n-1 ?p?n(A) 13 (B)15 (C) 16 (D)14

(4)已知命题p:9?x?0,q:x?x?6?0，则?q是?p的（ ）

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)既不充分也不必要条件 (D)必要不充分条件

22P＞100? 是 否 输出n 结束 (第3题)

(5)用a，b，c表示三条不同的直线，?表示平面，给出下列命题：

①若a//b,b//c,则a//c; ③若a//?,b//?,则a//b；

②若a?b,b?c,则a?c； ④若a??,b??,则a//b.

1

其中真命题的序号是（ ）

(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④

?y?5,?(6)若实数x,y满足不等式组?2x?y?3?0, 则z?x?2y的最大值是 （ ）

?x?y?1?0,?(A)10 (B) 11 (C)15 (D) 14

(7)若(2x2?1)5=a0?a1x2?a2x4??a5x10，则a1?a3?a5的值为( )

(A) 121 (B)122 (C)124 (D)120

(8) （全品改编）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )

357A. B．1 C. D. 444

（9）如图，直角梯形ABCD中，AD⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点

N是DC边的中点，点M是梯形ABCD内或边界上的一个动点，则

NDCMA（第9题）

?????????AM?AN的最大值是( )

（A）4

（B） 6 （C） 8 （D）10

B（10）（根据成都四中上学期期末考试理科卷第17题改编）把已知正整数n表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数36的不同等差分拆的个数是（ ）．

（A）20 （B）18 （C）19 （D）21

卷II非选择题部分 (共100分)

二、 填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分。

（11）若函数f (x)＝log1(2x?1)，则f (x)的定义域是 ． 23 （12）若tan?＝2，则sin 2α＝ ．

（13）若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何

体的表面积是 cm．

（14）（根据浙江省2012高考理科样卷第15题改编）已知各项全不为零的数列?an?的前n项和为Sn，且Sn＝24 正视图 2 侧视图 2 俯视图 （第13题） 1anan?1(n?N?),其中a1=1.则an? 3x2y2ax2y2??1和椭圆??1（15） 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线过椭圆

416164（a?1）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是

2

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16． (本小题满分12分)已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足

3tanA?tanB?tanA?tanB?3，

（Ⅰ）求∠C大小；

（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围。

17.今年雷锋日，攀枝花市某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：(本小题满分12分)

高一年级 10人 高二年级 6人 高三年级 4人 （I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；

（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

18．(根据2009年全国高考卷20题改编)(本小题满分12分)数列?an?中，已知a1?a，且

an?1?2an?2n?1(n?N*)，

（Ⅰ）若a1,a2,a3成等差数列，求实数a的值；（Ⅱ）数列?an?能为等比数列吗？若能， 试求出a满足的条件；若不能，请说明理由。

19．（本小题满分12分）

AB?侧面BB1C1C， A如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知

A1AB?BC?1,BB1?2,?BCC1? （Ⅰ）求证：C1B?平面ABC；

?3,E为CC1上的一点，

CBC1B1E （Ⅱ）在线段CC1是否存在一点，使得二面角A?B1E?B大小为所在位置，若不存在请说明理由。

3

?.若存在请求出E点4

20．（根据山东潍坊2月月考文科22题改编）（本小题满分13分）已知椭圆椭圆C：

x2y2?2?1(a?b?0).定义圆心在原点O，半径为a2?b2的圆是椭圆C的“准圆”.2ab若椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3. （Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1,l2使得l1,l2与椭圆C都

只有一个交点，且l1,l2分别交其“准圆”于另一点M,N.求证：MN为定值.

21.(广东省肇庆市中理科一模试卷第21题改编)（本小题满分14分） 设函数f?x??x?aln?x?1?.

2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数F(x)?f(x)?ln2有两个极值点x1,x2且x1?x2，求证F(x2)?1 4

4

2013年理科数学周考试卷参考答案

一、

选择题

（1）A （2）C （3）D（4）A（5）B （6）D （7）B（8）C （9）B （10）D 二、填空题

1?3n??142;n为奇数 （11）(,1]（12） （13）6?213?2? （14）an??2352?nn为偶数?2??（15）?e?[2,三、解答题

21) 3（16）解：（I）C??3 ??????5分

??A??2????abc???A?，由正弦定理??，……7分 （II）?B?262sinAsinBsinC?2??A?B??3?162?a2?b2?[sin2A?sin2(?A)]……9分33168???sin(2A?)……11分336

????5?1???A?，??2A??，??sin(2A?)?1,……12分626662620即?a2?b2?8.……14分3

17.解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则

12C10C1015 P?A???338C20答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生概率为

15. ?????????4分 38（II）解法1：?的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率为

1.所以 ?????????6分 332161?1??2?0?1??2???P??1?C?; ; P???0??C4?????????48181?3??3??3??3?

5

0413

24882?1??2?3?1??2???P???2??C4??P??3?C?;; ????4????8127?3??3??3??3?8114?1??2?P???4??C4?????. ?????????10分 81?3??3? 随机变量?的分布列为：

402231? P 0 1 2 3 4 16 8132 818 278 811 81 ?????????11分 所以E??0?

解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为

163224814?1??2??3??4??????????12分 818181818131. ???????5分 311则随机变量?服从参数为4，的二项分布，即?～B(4,).?????7分

33随机变量?的分布列为：

? P 0 1 2 3 4 1632818 818127818114所以E??np?4?? ???????12分

33

（18）（Ⅰ）解.（Ⅰ）a1?a,a2??2a?4,a3?4a,??2分 因为2a2?a1?a3,，所以2(?2a?4)?a?4a，得a?（Ⅱ）因为an?1?2an?2得：分 所以

n?18??4分 9(n?N*)，所以

an?1an??1， 2n?12nan?11an1a1?an1??为首项，-1为公比的等比数列，??8???(?)，故是以??n?222n?122n2?22?an1a1a1n?1n?1n?1???(?)(?1)，得： ??10分 a?2?(?)(?1)nn??2222?222?

6

a11a1n?11nn2[?(?)?(?1)]?(?)?(?1)an?1222??2?2221a11a1an2n[?(?)?(?1)n?1]?(?)?(?1)n?1222222??????11分

?an?为等比数列?

an?1a为常数，易得当且仅当a?1时，n?1?2为常数。??12分 anan（19）解：因为AB?侧面BB1C1C,BC1?侧面BB1C1C，故AB?BC1, 在?BCC1中, BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1??3,由余弦定理得：

BC12?BC2?CC12?2BC?CC1?cos?BCC1?12?22?2?1?2?cos所以BC1?3， ??4 分

?3?3，

故BC2?BC12?CC12,所以BC?BC1,而BC?AB?B,?C1B?平面ABC.??6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点，BC,BC1,BA所在直线为

x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则B(0,0,0),A(0,0,1),B1(?1,3,0)，

C(1,0,0),C1(0,3,0). ??7分

?????所以CC1?(?1,E(1??,3?,0)

?????????????3设,0CE)??CC1(0???1)，所以CE?(??,3?,0)得

????????则故AE?(1??,?3?,A1)B,?1??n?(x,y,z)，??7分

平的法向量为?(1.,设3,面1A)B1E?????????????n?AEn?AE?0???(1??)x?3?y?z?0 则由??????,得??????,即?， ??9分

????n?AB1?n?AB1?0??x?3y?z?0?3?3?3?3?33,z?,3,)是平面AB1E的 令y?3，则x?，?n?(2??2??2??2??一个法向量.??10分

???? ?AB?侧面BB1C1C,?BA?(0,0,1)是平面BEB1的一个法向量，

7

??????????n?BA?cos(n,BA)???????nBA方解得??322??.两边平?23?3?23202?02?12?()?(3)2?()2??2??1或?=2（舍去）所以当E在CC1的中点时二面角A?B1E?B大小为2?.????12分 4

x2?y2?1，…………2分 （20）解：（Ⅰ）?c?2,a?3,?b?1。?椭圆方程为3准圆方程为x2?y2?4. …………………………4分 （Ⅱ）（1）因为准圆x2?y2?4与y轴正半轴的交点为P(0,2)， 设过点P(0,2)且与椭圆有一个公共点的直线为y?kx?2，

?y?kx?2?22y所以由?x2消去，得(1?3k)x?12kx?9?0. 2??y?1?3因为椭圆与y?kx?2只有一个公共点，

所以??144k2?4?9(1?3k2)?0，解得k??1. …………………………6分 所以l1,l2方程为y?x?2,y??x?2. …………………………7分 ⑵①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率， 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x??3， 当l1方程为x?此时经过点

3时，此时l1与准圆交于点

?3,1??,3,?1，

??3,1?（或?3,?1）且与椭圆只有一个公共点的直线是y?1（或y??1），

?即l2为y?1（或y??1），显然直线l1,l2垂直；

同理可证l1方程为x??3时，直线l1,l2垂直. …………………………9分 ②当l1,l2都有斜率时，设点P(x0,y0)，其中x0?y0?4.

设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y?t(x?x0)?y0，

22

8

?y?tx?(y0?tx0)?222则?x2消去y，得（1?3t)x?6t(y?tx)x?3(y?tx)?3?0. 00002??y?1?3由??0化简整理得：（3?x0)t2?2x0y0t?1?y0?0.…………………………11分 因为x0?y0?4，所以有（3?x0)t2?2x0y0t?(x0?3)?0. 设l1,l2的斜率分别为t1,t2，因为l1,l2与椭圆只有一个公共点， 所以t1,t2满足上述方程（3?x0)t2?2x0y0t?(x0?3)?0，

所以t1?t2??1，即l1,l2垂直. …………………………12分 综合①②知：因为l1,l2经过点P(x0,y0)，又分别交其准圆于点M,N，且l1,l2垂直， 所以线段MN为准圆x2?y2?4的直径，所以MN=4. ??13分

（21）本题考查学生利用导数研究单调性的能力及分类讨论的思想，较难。(Ⅱ)更注重对学生计算、证明能力的考查。本题估计平均分6分左右 (Ⅰ)函数f(x)的定义域为(?1,??)，?? 1分

22222222a2x2?2x?af?(x)?2x??(x??1)??2分

x?1x?1令g(x)?2x?2x?a，则??4?8a． ①当??0，即a?增；??3分 ②当??0，即a?21时，g(x)?0，从而f'(x)?0，故函数f(x)在(?1,??)上单调递21时，g(x)?0，此时f'(x)?0，此时f'(x)在f'(x)?0的左右两侧2不变号，故函数f(x)在(?1,??)上单调递增； ??4分

③当??0，即a?1?1?1?2a?1?1?2a1g(x)?0的两个根为x1?,x2???，时，2222当1?2a?1，即a?0时，x1??1，当0?a?故当a?0时，函数f(x)在(?1,1时，x1??1．??5分 2?1?1?2a?1?1?2a)单调递减，在(,??)单调递增；

229

??6分 当0?a?1?1?1?2a?1?1?2a时，函数f(x)在(?1,),(,??)单调递增，在222(?1?1?2a?1?1?2a,)单调递减．?? 7分

221，0?1?2a?1， 2(Ⅱ)∵F?(x)?f?(x),∴当函数F(x)有两个极值点时0?a?故此时x2??1?1?2a1?(?,0)，且g(x2)?0，即a??(2x22?2x2)， ?? 9分

22?F?x2??x22?aln?1?x2??ln2?x22?(2x22?2x2)ln?1?x2??ln2,

设h(x)?x2?(2x2?2x)ln(1?x)?ln2，其中?1?x?0， ??10分 2则h?(x)?2x?2(2x?1)ln(1?x)?2x??2(2x?1)ln(1?x)，

11?x?0时，h'(x)?0，故函数h(x)在(?,0)上单调递增，??12分

2211故h(x)?h(?)?．

241∴F(x2)?h(x2)?． ?? 14分

4由于?

10

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