大学物理学-习题解答(第十-十四章)

第十章 机械振动

习题十

10-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；

(2)如题10-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．

题10-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用

d2 2

0 2dt

描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．

(2)小球在题10-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为 mgsin ，如题10-1图(b)

S

→0，所以回复力为 mg .式中负号，表示回R

复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，

所示．题 中所述， S＜＜R，故 在凹槽切线方向上有

d2

mR2 mg

dt

令

2

g

，则有 R

d2 2

0 2dt

10-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题10-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题10-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F F1 F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有

F k串xF1 k1x1

F2 k2x2

又有 x x1 x2

x

所以串联弹簧的等效倔强系数为

FFF

1 2 k串k1k2

k串

k1k2

k1 k2

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k k1k2/(k1 k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为

T

2

2

m(k1 k2)m

2 k串k1k2

(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F F1 F2，即x x1 x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有

k并x k1x1 k2x2

故 k并 k1 k2 同上理，其振动周期为

T 2

m

k1 k2

10-3 如题10-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题10-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题10-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

d2x

mgsin T1 m2 ①

dt

T1R T2R I ②

d2x

2 R T2 k(x0 x) ③

dt

式中x0 mgsin /k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

Id2x

(mR )2 kxR

Rdt

kR2

令

mR2 I

2

则有

d2x

2x 0 2dt

故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

mR2 Im I/R2

T 2 ( 2 )

KkR2

2

10-4 质量为10 10律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2

3

kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x 0.1cos(8

2

)3

(SI)的规

5s与t1 1s两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为x Acos( t 0)，则知：

A 0.1m, 8 , T

2

1

s, 0 2 /3 4

1 1

又 vm A 0.8 m s 2.51m s

am 2A 63.2m s 2

(2) Fm am 0.63N

12

mvm 3.16 10 2J 2

1

Ep Ek E 1.58 10 2J

2E

当Ek Ep时，有E 2Ep， 即

12112kx (kA) 222

∴ x

22

A m 220

(3) (t2 t1) 8 (5 1) 32

10-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数

表示．如果t 0时质点的状态分别是：

(1)x0 A；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x

A

处向负向运动； 2

(4)过x

A2

处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程．

x0 Acos 0

解：因为

v Asin 0 0

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

1

2 3

3

32

4

5 4

2

t ) T2 3

x Acos(t )

T22

x Acos(t )

T32 5

x Acos(t )

T4x Acos(

10-6 一质量为10 10 3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t 0时位移为 24cm．求：

(1)t 0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x 12cm处所需的最短时间； (3)在x 12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A 24 10 2m,T 4.0s ∴ 又，t 0时，x0 A, 0 0 故振动方程为

2

0.5 T

rad s 1

x 24 10 2cos(0.5 t)m

(1)将t 0.5s代入得

x0.5 24 10 2cos(0.5 t)m 0.17m

F ma m 2x

10 10 () 0.17 4.2 10N

2

方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t 0时， 0 0，

3

2 3

A ,且v 0,故 t 23

2

/ s ∴ t 323

t t时 x0

(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E

121

kA m 2A2221

10 10 3()2 (0.24)2 22 7.1 10 4J

10-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度

v0 5.0cm s 1，求振动周期和振动表达式．

m1g1.0 10 3 9.8 1

解：由题知k 0.2N m 2

x14.9 10

而t 0时，x0 1.0 10 2m,v0 5.0 10 2m s-1 ( 设向上为正) 又

k0.22 5,即T 1.26s m 8 10 3

v0

2

A x0 (

)2

22

5.0 10 22 (1.0 10) ()

5 2 10 2m

v05.0 10 25

tan 0 1,即 0

x0 1.0 10 2 54

∴ x

5

2 10 2cos(5t )m

4

10-8 图为两个谐振动的x t曲线，试分别写出其谐振动方程．

题10-8图

解：由题10-8图(a)，∵t 0时，x0 0,v0 0, 0 即

3

,又,A 10cm,T 2s 2

2 T

rad s 1

3

)m 2

A5

由题10-8图(b)∵t 0时，x0 ,v0 0, 0

23

故 xa 0.1cos( t

t1 0时，x1 0,v1 0, 1 2

2

又 1 1 ∴

5

35 2

5 6

56

5 )m 3

故 xb 0.1cos( t

10-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为2

MM m，落下重物后振动周期为2 ，即增大． kk

mg

．碰撞时，以m,M为一系统k

(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t 0时，则x0 动量守恒，即

m2gh (m M)v0

m2gh

则有 v0

m M

于是

mg2m22gh2

A x () () ()

k(m M)

2

v0

2

mg2kh

k(m M)g

（3）tan 0

v02kh

(第三象限)，所以振动方程为

x0 (M m)g

k2kh

cos t

m M(M m)g

mg2kh

x

k(m M)g

3

10-10 有一单摆，摆长l 1.0m，摆球质量m 10 10kg，当摆球处在平衡位置时， 4 1

若给小球一水平向右的冲量F t 1.0 10kg m s，取打击时刻为计时起点(t 0)，

求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有

F t mv 0

F t1.0 10 4

0.01∴ v m1.0 10 3

m s-1

1

按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t 0时，x0 0,v0 0.01m s ＞0

∴ 0 3 /2 又

g9.8 3.13rad s 1 l1.0

∴ A 故其角振幅

2x0 (

v0

)2

v0

0.01

3.2 10 3m 3.13

小球的振动方程为

A

3.2 10 3rad l

32

3.2 10 3cos(3.13t )rad

10-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为

，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6

动的位相差．

题10-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2 A12 A2 2A1Acos30

(0.173)2 (0.2)2 2 0.173 0.2 3/2

0.01

∴ A2 0.1m 设角AA1O为 ，则

2

A2 A12 A2 2A1A2cos

2

A12 A2 A2(0.173)2 (0.1)2 (0.02)2

cos

即 2A1A22 0.173 0.1

0

即

2

，这说明，A1与A2间夹角为

，即二振动的位相差为. 22

10-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

x 5cos(3t )cmx 5cos(3t )cm 1 1

33(1) (2) 7 4

x2 5cos(3t )cm x2 5cos(3t )cm

33

7

2 , 解： (1)∵ 2 1

33

∴合振幅 A A1 A2 10cm

4

, 33

∴合振幅 A 0

(2)∵

10-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

x 0.4cos(2t )m 1

6 5

x2 0.3cos(2t )m

6

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵

5

( ) 66

∴ A合 A1 A2 0.1m

5

Asin 1 A2sin 266 tan 1

5A2cos 1 A2cos 230.4cos 0.3cos

66

∴

6

0.4 sin

0.3sin

其振动方程为

x 0.1cos(2t

6

)m

(作图法略) *

10-14 如题10-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为x 6cos2 tcm，求y方向的振动方程．

题10-14图

解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为转，故知两分振动位相差为

3 或；又，轨道是按顺时针方向旋

22

.所以y方向的振动方程为 2

y 12cos(2 t )cm

2

第十一章 机械波

习题十一

11-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y f(x,t)． (2)在谐振动方程y f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．

当谐波方程y Acos (t )中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．

(3)振动曲线y f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．

xu

xx

)+ 0］中的表示什么?如果改写为y=Acos uu

x xx 0)，( t 又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［ (t )+ 0］的值uuu

11-2 波动方程y=Acos［ (t 不变，由此能从波动方程说明什么?

解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为 yt Acos( t 则t t时刻的波动方程为

yt t Acos[ (t t)

x

则u

x

u

0)

(x x)

u

0]

其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过 t后传播到x u t处．所以在( t 当t，x均增加时，( t

x

u

)中，

x

u

)的值不会变化，而这正好说明了经过时间 t，波形即向前传

播了 x u t的距离，说明y Acos( t

x

u

0)描述的是一列行进中的波，故谓之行

波方程．

11-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?

解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为y f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为 y/ x.波动势能则是与 y/ x的平方成正比．由波动曲线图(题11-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处 y/ x 0)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．

题11-3图

对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化． 11-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t=0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y=Acos (t

x

)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动u

方程才能写成这种形式?

解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，t 0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成y Acos (t )时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．

11-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?

解: 取驻波方程为y 2Acos

xu

2

xcos vt，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，

描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为2Acos

2

x．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻

两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点

振动位相则相反．

11-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?

解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题11-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(u/ )会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即u u vB，因而单位时间内通过观察者完整波的数目

u

也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前

者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．

题11-6 图多普勒效应

11-7 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长 =1.0 m，原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz，振幅A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程． 解: 由题知t 0时原点处质点的振动状态为y0 0,v0 0，故知原点的振动初相为波动方程为y Acos[2 (

,取2

tx

) 0]则有 T

x

y 0.1cos[2 (2t ) ]

12 0.1cos(4 t 2 x

2

)m

11-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt Cx)，其中A，B，

C 为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；

(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

y Acos(Bt Cx) (x 0)

将上式与波动方程的标准形式

y Acos(2 t 2

比较，可知： 波振幅为A，频率 波长

x

)

B， 2

2 B，波速u ， CC

12

波动周期T ．

B

(2)将x l代入波动方程即可得到该点的振动方程

y Acos(Bt Cl)

(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 将x2 x1 d，及

2

(x2 x1)

2

代入上式，即得 C

Cd．

11-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10 t 4 x)，式中x,y以米计，

t以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式

y Acos(2 t

2

x)

1 1

相比，得振幅A 0.05m，频率 5s，波长 0.5m，波速u 2.5m s．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

vmax A 10 0.05 0.5 m s 1

amax 2A (10 )2 0.05 5 2m s 2

(3)x 0.2 m处的振动比原点落后的时间为

x0.2 0.08s u2.5

故x 0.2m,t 1s时的位相就是原点(x 0)，在t0 1 0.08 0.92s时的位相， 即 9.2π． 设这一位相所代表的运动状态在t 1.25s时刻到达x点，则

x x1 u(t t1) 0.2 2.5(1.25 1.0) 0.825m

11-10 如题11-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?

解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有

题11-10图

对于O点：∵yO 0,vO 0，∴ O

2

对于A点：∵yA A,vA 0，∴ A 0 对于B点：∵yB 0,vB 0，∴ B

23

对于C点：∵yC 0,vC 0，∴ C

2

(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相)

(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有

0,vO 0，∴ O对于O点：∵yO

2

对于A点：∵y A A,vA 0，∴ A 0

23 0,vC 0，∴ C对于C点：∵yC

2 对于B点：∵y B 0,vB 0，∴ B

(此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)

-1

11-11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m²s，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题11-11图所示． (1)写出波动方程；

(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．

解: (1)由题11-11(a)图知，A 0.1 m，且t 0时，y0 0,v0 0，∴ 0

3 ， 2

又

u

5

2.5Hz，则

2 5 2

题11-11图(a)

取 y Acos[ (t ) 0]， 则波动方程为

xu

y 0.1cos[5 (t

(2) t 0时的波形如题11-11(b)图

x3

)]m 52

题11-11图(b) 题11-11图(c) 将x 0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为

y 0.1cos(5 t

5 0.53

) 0.1cos(5 t )m 0.52

如题11-11(c)图所示．

11-12 如题11-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；

(2)P点的振动方程．

4m，t 0时，y0 0,v0 0，解: (1)由题11-12图可知，A 0.1m，又，∴ 0

而u

，2

x1u2 2m s 1， 0.5 Hz，∴ 2 t0.5 4

x

y 0.1cos[ (t ) ]m

22

故波动方程为

(2)将xP 1m代入上式，即得P点振动方程为

y 0.1cos[( t

2

2

)] 0.1cos t m

题11-12图

-1

11-13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题11-13图所示，已知波速为10 m²s ，波长为2m，求： (1)波动方程；

(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；

(4) P点回到平衡位置所需的最短时间．

t 0时，y0 解: 由题11-13图可知A 0.1m，

u 10m s 1，则

A

,v0 0，∴ 0 ，由题知 2m， 23

10

5Hz

2

∴ 2 10

(1)波动方程为

u

y 01.cos[10 (t

x

) ]m

103

题11-13图

(2)由图知，t 0时，yP 取负值)

∴P点振动方程为yp 0.1cos(10 t (3)∵ 10 (t

A 4

,vP 0，∴ P (P点的位相应落后于0点，故23

4

) 3

x 4) |t 0 10335

∴解得 x 1.67m

3

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题11-13图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位相角

题11-13图(a)

∴所属最短时间为

3

5 26

t

5 /61

s 10 12

11-14 如题11-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为yP=A cos( t 0)．

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程． 解: (1)如题11-14图(a)，则波动方程为

y Acos[ (t

如图(b)，则波动方程为

lx

) 0] uu

题11-14图

x

y Acos[ (t ) 0]

u

(2) 如题11-14图(a)，则Q点的振动方程为 AQ Acos[ (t 如题11-14图(b)，则Q点的振动方程为

b

) 0] u

b

AQ Acos[ (t ) 0]

u

11-15 已知平面简谐波的波动方程为y Acos (4t 2x)(SI)．

(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?

(2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足

(4t 2x) 2k 解得 x (k 8.4) m (k 0, 1, 2,…) 所以离原点最近的波峰位置为 0.4m． ∵4 t 2 t t ∴ t

x

u

1

故知u 2m s,

0.4

0.2s，这就是说该波峰在0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应2

是4.2 0.2 4s，即该波峰是在4s时通过原点的．

题11-15图

1

(2)∵ 4 ,u 2m s，∴ uT u

2

1m，又x 0处，t 4.2s时，

0 4.2 4 16.8

y0 Acos4 4.2 0.8A

又，当y A时， x 17 ，则应有

16.8 2 x 17

解得 x 0.1m，故t 4.2s时的波形图如题11-15图所示

11-16 题11-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．

解: 由题11-16(b)图所示振动曲线可知T 2s,A 0.2m，且t 0时，y0 0,v0 0， 故知 0

2

,再结合题11-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，

且 4m，若取y

Acos[2 (

tx

) 0] T

题11-16图

则波动方程为

y 0.2cos[2 (

t2x ) ] 42

-3

-2

-1

11-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0³10J²m²s，频

-1

率为300 Hz，波速为300m²s，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?

解: (1)∵ I u

I10 3

6 10 5J m 3 ∴ 18.0

u300

wmax 2 1.2 10 4 J m 3

(2) W 121u d d2 44 1300

6 10 5 (0.14)2 9.24 10 7J

4300

11-18 如题11-18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距前

，S1较S2位相超4

，求： 2

(1) S1外侧各点的合振幅和强度； (2) S2外侧各点的合振幅和强度

解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为

2

2

r (r ) 11 4

A A1 A1 0,I A2 0

（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.

2

2

(r2

4

r2) 0

2

A A1 A1 2A1,I A2 4A1

11-19 如题11-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为

y1 2 10 3cos2 t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

m，波速y2 2 10 3cos(2 t )，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5

u=0.2m²s-1，求：

(1)两波传到P点时的位相差；

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；

*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅． 解: (1) ( 2 1)

2

(CP BP)

u2

(0.5 0.4) 0

0.2

(CP BP)

题11-19图

(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

AP A1 A2 4 10 3m

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

A

2

A12 A2 2A1 22 10 3 2.83 10 3m

11-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题11-20图所示．已知振幅为A，频率为 波速为

u．

(1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程； (2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置． 解: (1)∵t 0时，y0 0,v0 0，∴ 0

2

故波动方程为

x

y

Acos[2 v(t ) ]m

u2

题11-20图

(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将x

32 3

代入) ，再考虑到波由4 42

波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

3

42

若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为 2 5 ，因只考虑2 以内的位相角，∴反射波在O点的位相为 ，故3422

反射波的波动方程为

2

x

y反 Acos[2 (t ) ]

u2

此时驻波方程为

y Acos[2 (t ) 2Acos故波节位置为

x

u

x

] Acos[2 (t ) ] 2u2

2 x cos(2 t ) u22 x2 x (2k 1) u 2

故 x (2k 1)

4

(k 0, 1, 2,…)

根据题意，k只能取0,1，即x

13 , 44

11-21 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t (SI)，求： (1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为

y 2Acos故知 A

2 x

cos2 t u

0.02

0.01m 2

7502

20 ，

2 u

2 2 750/2

37.5m s 1 ∴ u 2020

u2 /20

0.1 0.314m所以相邻两波节间距离 (2)∵ 2 750，则

x

2

0.157m

11-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)

试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波

节．

解: 为使合成驻波在x 0处形成波节，则要反射波在x 0处与入射波有 的位相差，故反射波的波动方程为

y2 0.1cos(13t 0.0079x ) 11-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为

y1=0.06cos( x 4 t)(SI), y2=0.06cos( x 4 t)(SI)．

(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； (2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为

y 0.06cos( x 4 ) 0.06cos( x 4 t) 0.12cos xcos4 t

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令 x k ，则x k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

1

，k 0, 1, 2,…，此即波节的位置．

22

(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x 1.2 m处的振幅由下式决定，即

令 x (2k 1)

,则x (2k 1)

A驻 0.12cos( 1.2) 0.097m

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