2014新课标高考压轴卷-数学（理）-Word版含解析

2014新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析

2014新课标II高考压轴卷

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（ ） 0 A．1 B． 2 C． 3 D． 2. 已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ） A．﹣1+2 i l+2i B． C． 2﹣i D． ﹣1﹣2i 3. 由y=f（x）的图象向左平移得到y=2sin A．2sin个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

的图象，则 f（x）为（ ） B． 2sinC． 2sin D． 2sin 4.已知函数 9 A．B． ﹣9 ，则

C． 的值是（ ）

D． 5. 设随机变量X~N(3，1)，若P(X?4)?p，，则P(2

11?p ( B)l—p (C)l-2p (D)?p 226. 6．运行右面框图输出的S是254，则①应为 (A) n≤5 (B) n≤6 (C)n≤7 (D) n≤8 7. 若曲线

在点（a，f（a））处的切线与两条坐标

轴围成的三角形的面积为18，则a=（ ） 64 A．232 B． 216 C． 8 D． 8.已知A、B是圆O:x?y?1上的两个点，P是AB线段上的动点，当?AOB的面积最大时，则AO?AP?AP的最大值是（ ）

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A.?1 B.0 C.D.

1 81 29.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为 A．3 B．

257 C．2 D． 2210. .已知函数f(n)?ncos(n?)，且an?f(n)?f(n?1)，则a1?a2?a3?A． 0 B．?100 C．100 D．10200

?a100?

11．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为

12，则+的最小值为（ ） 4 A．B． 1 C． 2 D． 12．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两

渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若（λ，μ∈R），λμ= A．

，则该双曲线的离心率为（ ）

B． C． D． =λ+μ

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为 ．

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14.已知

1?cos2?1?1，tan(???)??，则tan(??2?)的值为 ．

sin?cos?315.函数y?x?4(x??3)的最小值是 ． x?316.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

217.已知函数f(x)?2sinxcosx?23cosx?3，x?R．

（Ⅰ）求函数y?f(?3x)?1的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）已知?ABC中的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若锐角A满足

f(133A?，求?ABC的面积． ?)?3，且a?7，sinB?sinC?142618.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表

读营养说明 不读营养说明 总计 男 16 4 20 女 8 12 20 总计 24 16 40 ⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？

⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数?的分布列及其均值（即数学期望）．

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n(ad?bc)2K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)，其中n?a?b?c?d为样本容量．（注：）

2

19.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,AA1?4. （Ⅰ）求证：BD?A1C；

（Ⅱ）求二面角A?A1C?D1的余弦值；

（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1?平面PBD，若存在，求出若不存在，请说明理由.

CP的值；PC1

222220.已知动圆P与圆F1:(x?3)?y?81相切，且与圆F2:(x?3)?y?1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M,N两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记?QF2M的面积为S1，?OF2N的面积为S2，令S?S1?S2，求S的最大值. 21.已知t?0，函数f(x)?2x?t. x?3t(1)t?1时，写出f(x)的增区间；

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(2)记f(x)在区间[0,6]上的最大值为g(t)，求g(t)的表达式；

(3)是否存在t，使函数y?f(x)在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.选修4﹣1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D． （I） 求证：AC平分∠BAD；

（II） 若AB=4AD，求∠BAD的大小．

23.选修4﹣4：坐标系与参数方程

将圆x+y=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x﹣2y﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l． （I）求直线l与曲线C的方程；

（II）求C上的点到直线l的最大距离．

24. 选修4﹣5：不等式选讲 设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|． （I）求证f（x）≥1； （II）若f（x）=

成立，求x的取值范围．

2

2

KS5U2014新课标II高考压轴卷

理科数学参考答案

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1. 【KS5U答案】A.

【KS5U解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A∩B中元素的个数为2． 故选C．

2. 【KS5U答案】A.

【KS5U解析】由z?i=2﹣i，得

，

∴故选：A．

．

3. 【KS5U答案】B.

【KS5U解析】由题意可得y=2sin函数y=2sin（6x﹣

）的图象．

）的图象向右平移）=2sin

个单位，即可得到f（x）=2sin[6（x﹣ 的图象，

）﹣

的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得

再把函数y=2sin（6x﹣）]=2sin（6x﹣2π﹣故选B．

4. 【KS5U答案】C. 【KS5U解析】故选C．

5. 【KS5U答案】C.

=f（log2）=f（log222）=f（﹣2）=32=，

﹣

﹣

【KS5U解析】因为P(X?4)?P(X?2)?p，

所以P(2

【KS5U解析】本程序计算的是

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S?2?2?22(1?2n)?2??2n?1?2，由2n?1?2?254，得2n?1?256，解得n?7。

1?2n此时n?1?8，不满足条件，输出，所以①应为n?7，选C. 7. 【KS5U答案】A. 【KS5U解析】∵∴f'（x）=

，

，（x＞0），

∴在点（a，f（a））处的切线斜率k=f'（a）=（a＞0）．

且f（a）=，

=

（x﹣a），

∴切线方程为y﹣

令x=0，则y=，

令y=0，则x=3a，即切线与坐标轴的交点坐标为（0，），（3a，0），

∴三角形的面积为，

即，

∴a=64． 故选：A． 8. 【KS5U答案】C 【KS5U解析】

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9. 【KS5U答案】A

【KS5U解析】设O（0，0，0），A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，1），易知该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3. 10. 【KS5U答案】B

【KS5U解析】因为f(n)?ncos(n?)，所以

2a1?a2?a3??a100?[f(1)?f(2)??f(100)]?[f(2)??f(101)]

f(1)?f(2)??f(100)??12?22?32?42?(1002?992)?3?7??992?1002

?(22?12)?(42?32)??199?50(3?199)?5050，

2f(2)??f(101)?22?32?42??992?1002?1012

=（22?32）?（42?52）+以

?（1002?1012）??5?9??201?50(?5?201)??5150，所

2a1?a2?a3??a100?[f(1)?f(2)??f(100)]?[f(2)??f(101)]??5150?5050??100,选B.

11. 【KS5U答案】A.

【KS5U解析】作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的四边形OABC及其内部，其中

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A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点

设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移， 观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12． 因此，+=（+）×（4a+6b）=2+（），

∵a＞0，b＞0，可得≥

=12，

∴当且仅当

即2a=3b=3时，

的最小值为12，

相应地，+=2+（）有最小值为4．

故选：A

12. 【KS5U答案】C.

【KS5U解析】双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣

P（c，），

∵

，∴（c，

）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），

∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=

，μ=

，

又由λμ=得=，解得=，

∴e==

故选C．

13. 【KS5U答案】

【KS5U解析】根据题意，棉花纤维的长度小于20mm的有三组，

[5，10）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组，

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），

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[10，15）这一组的频率为5×0.01=0.05，有100×0.05=5根棉花纤维在这一组， [15，20）这一组的频率为5×0.04=0.2，有100×0.2=20根棉花纤维在这一组， 则长度小于20mm的有5+5+20=30根，

则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，其长度小于20mm的概率为故答案为

．

=

；

14. 【KS5U答案】.?1

11?(1?2sin2?)2sin2?1?cos2?【KS5U解析】由???2tan??1，所以tan??。?1得

sin?cos?sin?cos?sin?cos?2所以tan(b-2a)=tan[(b-a)-a]=tan(b-a)-tana

1+tan(b-a)tana11-32=-1。 =111+(-)?()32-15. 【KS5U答案】1. 【KS5U解析】y?x?44??x?3???3?2x?3x?3?x?3??4?3?1，当且仅当 x?3

16. 【KS5U答案】??2,?.

【KS5U解析】∵f′(x)＝3x＋1>0恒成立， ∴f(x)在R上是增函数．

又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．

由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)， ∴mx－2<－x，即mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立． 记g(m)＝xm－2＋x，

2

??2?3?

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