高等数学公式(极限与导数)

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

导数的四则运算法则

和差的导数：(u v) u v

乘积的导数：(uv) u v uv 特例：(Cu) Cu

v u u v uv 1

商的导数： 特例： 22

vv v v

复合函数的求导法则（链式法则） 设y f(u)和u (x)可导，则

dydydudy

或 f (u) (x) 或 {f[ (x)]} f [ (x)] (x) dxdudxdx

复合函数的二阶导数

设y f(u)和u (x)二阶可导，则复合函数y f( (x))也二阶可导，且

d2yd2ydu2dyd2u2

() 或 y f( (x)) (x) f ( (x)) (x)

dx2du2dxdxdx2

反函数的求导法则 设y f(x)是单调的可导函数，则其反函数x f

1

(y)也可导，且

1dx1 1

或 (f) (y) （其中y f(x)） dydyf (x)

dx

dyy t x x t 参数方程求导公式 参数方程 确定的函数y y(x)的导数：

y ytdxxt

dy

)t

dyy (t)x (t) y (t)x (t)二阶导数： dx2x (t)x 3(t)

2

(

d2y

(2)t

d3y

三阶导数：3

dxx (t)

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

隐函数求导公式 方程F(x,y) 0确定的隐函数y y(x)的导数：

Fdy

x dxFy

FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2d2y

二阶导数：2

dxFy3

xuxz 2010-7-14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5fn1.html