物理作业答案

教师作业

第七章真空中的静电场

7－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。

解：如图，在半环上任取dl=Rd?的线元，其上所带的电荷为dq=?Rd?。对称分析Ey=0。

dEx??Rd?4??0R2sin?

y E??dE?x??4??0R??0sin?

d? R ? x

? dE ?2??0Rq

习题7－3图

?2??0R22，如图，方向沿x轴正向。

7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为

F?q(Q?q)4??0r2

相互作用力最大的条件为

dFdq?Q?2q4??0r2?0

由上式可得：Q=2q，q=Q/2

7－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为

dq??2?rRd???2?Rsin?d?

2y dq在o点产生的电场据（7－10）式为

dE?ydq4??0R?3r ? o 习题7－6图 ，y?Rcos?

E??dE???0?2?Rsin?4??0R330cos?d?

???2?0?20sin?d(sin?)??sin?2?0222?0?4?01

。如图，方向沿y轴负向。

7－9 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。

解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有

???S1E?dS?EA??Ax?0

得 E1????0?dxi ( x?)

2d ?A??d2

E 0 习题7－9图 x

?E?dS?EA?S2?0???dE2＝di (x?)

2?027－10 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为???0r(r?R)，ρ0为常数。求场强分布。

解： 据高斯定理有 ??1E?dS?E2?rl???0Sr?R时：E2?rl?2?lkr3??dVVr

2?lkro r

k?0?0r?2?r?ldr???0?0r?dr?

2E2?rl??02?kr??E?en

3?03习题7－10图

r?R时：E2?rl?2?lkR3k?0?r?2?r?ldr??0R2?lk?0?R0r?dr?

2E2?rl??03?kR??E?en 33?0r7－12 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r

O/。

证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为

E1??r13?0, E2???r23?0

r1 o p r2 / o 2

习题7－12图

E=E1+E2=

?r13?0??r23?0

??3?0oo?

上式是恒矢量，得证。

7－14 有一半径为R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（L>R），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。

解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=?dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为

V?Q4??0r

Q dr 电荷元的电势能为: dW?Q?dr4??0r

o r

细线在带电球面的电场中的电势能为： W?习题7－14图

?dW??2LQ?dr4??0rL?Q?4??0ln2

7－16 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？

解：（1）据（7－23）式的结论得各区城电势分布为

V1?14??14??00(Q1R1Q1r?Q2R21R2) (r?R1),

V2?(?) (R1?r?R2);

Q2 Q1 R1 R2 o V3?Q1?Q24??0r (r?R2).

习题7－16图

（2）两球面间的电势差为

V12??R2Q14??0rR1dr?2Q14??0(1R1?1R2)

7－17 一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取

棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。 解： 据高斯定理有

r?R时：

o r

3

习题7－10图

2?????rl?r?E?dS?E2?rl??E?en

2?0?0?Sr?R时，V=0，则 r?R时：V??2?0?Rrrdr??4?0(R?r)

22

r?R时：

?S22????R???Rl?E?en E?dS?E2?rl?2?0r?0V V??R22?0?Rdrrr??R22?0lnRr

R o r 空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。

7－18 两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势

差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。

解：设圆柱面单位长度带电量为?，则两圆柱面之间的电场强度大小为

E??2??0r

两圆柱面之间的电势差为

U??2???drr0??2??0?R2drrUR1??2??0lnR2R1

o r 由上式可得：

?2??0?lnR2R1U

习题7－18图 ?所以E??2??0r?en?lnR2R1?r?en (R1?r?R2)

第八章 静电场中的导体与电介质

8－1 点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl和R2，试求，电场强度和电势的分布。

解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q电荷

在r

E1?q4??0r2?，U1?rq4??0(1r?1R1?1R2)

R1 在R1

4

q -q R2 q 习题 8－1图

E2?0,U2?q4??0R2.,

在r>R2的区域内:E3?q4πε0r2?.U3?rq4??0r.

8－3 一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量?1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c，单位长度带有电荷量?2，求（1）圆筒内外表面上

每单位长度的电荷量；（2）求电场强度的分布。

解：（1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为

??,?1??2;

（2）在r

在r>b的区域内:E??1??22??0ren

习题 8－3图

－10

8－5 半径为R1=l.0cm的导体球带电量为q=1.0×10 C，球外有一个内外半径分别为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，壳带有电量Q=11×10－10 C，如图所示，求（1）两球的电势；（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）

解：静电平衡时，球壳的内球面带－q、外球壳带q+Q电荷 （1）U1?14??0(qR1?qR2?10?q?QR3)代入数据

U1?1.0?102

4?3.14?8.85?10?12?10?2111?11(??) 134＝3.3×10V

U2?q?Q4??0R2q+Q

1.0?10?10?12q

-q

?(1?11)?10?24?3.14?8.85?104

习题 8－5图

=2.7×102V

（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为

U2?q?Q4??0R2?1.0?10?10?12(1?11)?10?24?3.14?8.85?104=2.7×10V

2

（3）外球接地时，两球电势各为

U1?14??0(qR1?qR2)U1?1.0?10?10?124?3.14?8.85?10?10?211(?)＝60V 13U2?0

5

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