北京市各区县2014年初三数学期末试题综合题分类汇编——几何综合

2014年1月期末试题分类汇编——几何综合

（2014·石景山1月期末·25）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,旋转角为

，旋转后使各边长变为原来的n倍，得到△AB C ,我们将这种变换 （0 90 ）

记为[ ,n]．

（1）如图①,对△ABC作变换[60,]得△AB C ，则S△AB C ：S△ABC

= ___；直线BC与直线B C 所夹的锐角为 __ °；

（2）如图②，△ABC中， ACB 90, BAC 30，AC 3，对△ABC 作变换

[ ,n]得△AB C ，使得四边形ABB C 为梯形，其中AB∥B C ,且梯形

ABB C 的面积为123，求 和n的值．

25. 解：（1

………………………………………2分 （2） 由题意可知：△AB C ∽△ABC

AC B C

nACBC

AB//B'C', BAC' 90

C C 90 ,

在Rt△ABC中,AB

90 - BAC 60 ……………………………4分

AC1

2，BC AB 1

cos30 2

AC' 3n,BC n………………………………5分

在直角梯形ABB C 中，

1

AB B C AC 21

2 nn 12…………………………6分

2

n 4,n 6 舍去 ………………………………7分

S

60,n 4

（2014·西城1月期末·24）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中

点，连接AD，BE.

（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系； （2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转 （0o≤ ≤90o）角，

如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，

说明理由；

（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转 （0o≤ ≤90o）角，作DH⊥BC

于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．

AD

，AD BE． ........................................................................................ 2分 BE图2 （2）证明：连接DM，AM．

在等边三角形ABC中，M为BC的中点，

1AM

∴ AM BC， BAM BAC 30 ，

2BM

24．（1

）

∴ BME EMA 90 ．

DM

同理， AMD EMA 90 ．

EM∴

AMDM

， AMD BME． ········ 3分

BMEM

∴ △ADM ∽△BEM．

ADDM∴ ............................................................................... 4分

BEEM

延长BE交AM于点G，交AD于点K． ∴ MAD MBE， BGM AGK． ∴ GKA AMB 90 ． ∴ AD BE． ........................................................................................... 5分

（3）解：(ⅰ)当△DEF绕点M顺时针旋转 (0o≤ ≤∵ △ADM ∽△BEM， SAD2∴ ADM () 3．

S BEMBE

1

∴ S BEM S ADM

3

∴ S S ABM S ADM S BEM S DEM

2

S ABM S ADM S DEM

3

1211

3 x 3) 1 2322．

∴

S （3≤x

≤3 ...................................................... 6分 (ⅱ) 当△DEF绕点M逆时针旋转 (0o≤ ≤90o)角时，可证△ADM∽△BEM， SBM21 ∴ BEM () ．

S ADMAM3

1

∴ S BEM S ADM．

3

∴ S S ABM S BEM S ADM S DEM

2

S ABM S ADM

S DEM

3

21 x)

32 ．

∴

S

(3≤x≤3)．

综上，S

(3≤x

≤3． ....................................................... 7分

（2014·海淀1月期末·24）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且AB>CE．

（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE； （2）如图2，如果正方形ABCD

CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD. ①求 BDE的度数；

②请直接写出正方形CEFG的边长的值.

A

D

A

F

D

B

图2

B

图1 24. （本小题满分7分）

解：（1）证明：

C

C

F

∵四边形ABCD和CEFG为正方形，

∴BC DC，CG CE， BCD GCE 90 . ∴ BCD DCG GCE DCG.

即： BCG DCE. ……………………1分

A

D

F

B

C

∴△BCG≌△DCE.

∴BG DE.………………………………2分

（2）①连接BE .

由（1）可知：BG=DE. ∵CG//BD，

∴ DCG= BDC 45 .

∴ BCG BCD GCD 90 45 135 .

∵ GCE 90 ,

∴ BCE 360 BCG GCE 360 135 90 135 . ∴ BCG= BCE.…………………………3分 ∵BC BC，CG CE, ∴△BCG≌△BCE.

∴BG BE.………………………………4分

∵BG BD DE,

∴BD BE DE. ∴△BDE为等边三角形.

∴ BDE 60 . …………………………5分

②正方形CEFG

1. ……………………………………………7分

（2014·朝阳1月期末·25）将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF． （1）如图1，若α=60°，DF=2AF，请直接写出（2）若DF=mAF，（m>0，且m≠1）

AF

等于 ； BF

AF

；（用含α，m的式子表示） BF

AF

②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于 ．（用含α，m的式子表示）

BF

①如图2，求

图1 图2 图3

25.解：（1）1． ………………………………1分 （2）①如图2，在DF上截取DG，使得DG=AF，连接BG．

由旋转知，DB=AB，∠D=∠A．

∴△DBG≌△ABF．

图2

∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分 过点

B

作

BN

⊥GF于点N，

注明：以上各题的其它的正确解法，酌情给分.

（2014·东城1月期末·24）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合

放置，其中 C 90 , B E 30 .

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在

AB边上时，填空：

图1 图2 ① 线段DE与AC的位置关系是 ；

② 设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证

明你的结论； （2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

图3

24．解：（1）①线段DE与AC的位置关系是． …………………..1分 ②S1与S2的数量关系是 相等 ．

证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知 △ADC是等边三角形，DE∥AC， ∴DN=CF, DN=EM． ∴CF=EM．

∵ ACB 90 , B 30 ，

∴AB 2AC． 又∵AD AC,

∴BD AC． 图2

11

∵S1 CF BD，S2 AC EM，

22∴S1=S2． …………………..3分

（2）证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.

∵ DCE ACB 90 , DCG ACE 180 ． 又∵ ACH ACE 180 , ACH DCG．

又∵ CHA CGD 90 ,AC CD,

∴△AHC≌△DGC．

∴AH=DG．

又∵CE=CB, 图3 ∴S1 S2． ……………………..7分

（2014·丰台1月期末·25）已知 ABD和 CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点

点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，C)，

联结AF、AE，AE交BD于点G．

（1）如图（1），求证： EAF ABD； （2）如图（2），当AB AD时，M是线段AG上一点，联结BM、ED、MF，MF

的延长线交ED于点N， MBF

12

试探究线段FM

和 BAF，AF AD，

23

FN之间的数量关系，并证明你的结论．

F

FC

图（1） 图（2）

25. (1)证明：如图1 连接FE、FC

∵点F在线段EC的垂直平分线上,

∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分

∵△ABD和△CBD关于直线BD对称． ∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF

∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC

∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分 ∴∠5=∠6，

∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800

∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600

∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分 又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ， B

∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分

(2)解：FM=

D

7

FN ……………………………………………5分 2

B

证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，

又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF

又∵∠MBF=

11

∠BAF，∴∠MBF=∠AGF 22

又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG

∴BG=MG…………………………6分 ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．

D

GFAGAF

GADGDA

2GFAG2∵AF=AD 图2

3GADG3

设GF=2a，则AG=3a， ∴GD=

995a，∴FD=DG-GF=a 2a=a 222

∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴BE//AD．∴

BGEGEGAG2

，设EG=2k，则MG=BG=3k GDAGBGGD3

过点F作FQ∥ED交AE于Q，

4GQGF2a4

……………………7分 GQ QE

5a5QEFD52

4881035∴GQ=EG=k．∴QE=k， MQ=MG+GQ=3k+k=k

99999

35k

7MFMQ7

∵FQ∥ED， .∴FM=FN……………8分

2FNQEk2

9

（2014·昌平1月期末·25）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °；

（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM

∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE

=ME的长.

D E'

B

DF图3

E'B

图2

FC

E'

B

图1

25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分 (2)

当

点

E

在

线

段

CD

上

时

，

DE BF 2ME； ………………………………………… 2分

当点E在CD的延长线上，

0 EAD 30 时，BF DE 2ME； ………………… 3分 30； 90 EAD 120 时， EAD 9 0时，DE BF 2ME. …………………………………………4分 DE BF 2ME

(3)作AG BC于点G, 作DH BC于点H.

由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，

易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形 ABG， DCH.

则GH=AD , BG=CH. ∵ ABE ADC 120 , ∴点E 、B、C在一条直线上.

E'

B

G

FHQ1

设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=x,.

2

作EQ BC于Q.

在Rt△EQC中，CE=2, C 60 , ∴CQ

1, EQ ∴E'Q=BC CQ BE 2x 1 x 2 3x 3.…………………………………5分 作AP EE 于点P.

∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.

∴△A EE'

是等腰三角形， AE E 30 ,AE AE . ∴在Rt△AP E'中，

∴EE'=2

E'P= ……………………………………………………………………6分

∴在Rt△EQ E'中，

9. ∴3x 3 9.

∴x 4. ………………………………………………………… 7分 ∴DE BE 2,BC 8，BG 2. ∴E G 4

在Rt△E'AF中,AG BC,

∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'. ∴

AE E F

E GAE

∴E F 7.

∴BF E F E B 5. 由（2）知：DE BF 2ME.

∴ME

7

. ………………………………………………………… 8分 2

（2014·怀柔1月期末·24）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上的任意一点（不

含端点B、C），联结AM，以AM为边作等边△AMN，联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

B

图1

图2

C

B

图3

24.（（本小题满分7分）

B

图1

图2

C

B

图3

（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM≌△CAN（SAS），………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分

（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．………………………………3分 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM≌△CAN（SAS），………………………………4分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分 （3）∠ABC=∠ACN．

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，……………………6分 ∴

=

，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分

（2014·顺义1月期末·24）如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三

角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G． （1）求证：△AFC∽△GFB；

A

C（2）若△ADE是边长可变化的等腰直角三角形，并将

D

使CE的延长线始终与线段△ADE绕点A旋转，

BD（包括端点B、D）相交．当△BDE为等腰直角三角形时，求出AB∶BE的值．

G

24．解：（1）证明：∵ BAC 90°， DAE 90°，

∴ DAB BAE BAE EAC 90°．

∴ DAB EAC．…………………………………………………1分 ∵AD AE，且AB AC， ∴△ADB≌△AEC，

∴ DBA ECA．…………………………………………………2分 又 GFB AFC， …………………………………………… 3分 ∴△AFC∽△GFB．………………………………………………4分

（2）解：∵△AFC∽△GFB，

∴ FGB FAC 90°．

①当 DEB 90°，DE=BE时，如图①所示，

A

C 设AD=AE=x

，则DE ． D

∵△BDE为等腰直角三角形，

E∴BE DE ．

G

∴BD 2x．

∵ ADB ADE EDB 45°+45 90° 图①

∴AB

．

∴AB∶BE=． ……………………………………………5分

②当 EDB 90°，DE=DB时，如图②所示， 同理设AD=AE=x

，则DE BD． ∴BE 2x． ∵ AEB 90°，

∴AB

A

C

D(G) ．

2． ……………… 6分

∴AB∶BE= 图②

③当 DBE 90°，BD=BE时，如图③所示，

同理设AD=AE=x

，则DE ∴BD=BE=x．

∴四边形ADBE是正方形，

∴AB DE

C

A

．

D

E

．

(G(F)

∶BE=∴AB1． …………7分 图③

（2014·延庆1月期末·24）如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE ，OF分别交AB，BC于点M ，N. （1）求证：OM=ON；

（2）写出线段BM ，BN与AB之间的数量关系，并进行证明；

（3）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM ，BN

24.

（1）证明：取BC的中点G，连接OG ∵菱形ABCD,∠A=60°

∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分 ∵点O为菱形ABCD的对称中心 ∴OD=OB

A

与AB之间的数量关系，并进行证明.

A

C

图①

图②

C

1

∴OG CD，OG//CD ………………2分

2

∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB

∵等边△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2 ∵∠BGO=∠ABD=60° ∴△OBM≌△OGN

∴OM=ON ………………3分 (2)由（1）可知，BM=NG

∵OB=OD，BG=GC ∴BG

1

BC

2

1

∵BG=BN+NG，AB=BC ∴BN NG AB ………………5分

（3）取BC中点G ∴BM=GN ∴BG=BN-NG ∵BG 12BC

2

同理可证：∴△OBM≌△OGN ………………6分

BN NG 1

2

AB ………………7分 ∴

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