19届高考数学一轮复习课时跟踪检测(十七)任意角和弧度制及任意角的三角函数理(普通高中)
更新时间:2023-12-21 17:46:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及任意角的三角函数
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A.2 C.6
B.4 D.8
112
解析:选C 设扇形的半径为r,弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2212
=×4×r,解得r=1,l=αr=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6. 2
2.已知点P?A.C.5π 611π
6
1??3
,-?在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
2??2
B.D.2π
35π 3
解析:选C 因为点P?1??3
,-?在第四象限,
2??2
1
-23
根据三角函数的定义可知tan θ==-,
33
2又θ∈[0,2π),可得θ=
11π
. 6
3.若角α与β的终边关于x轴对称,则有( ) A.α+β=90°
B.α+β=90°+k·360°,k∈Z C.α+β=2k·180°,k∈Z D.α+β=180°+k·360°,k∈Z
解析:选C 因为α与β的终边关于x轴对称,所以β=2k·180°-α,k∈Z.所以α+β=2k·180°,k∈Z.
4.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )
1
A.(-2,3] C.[-2,3)
B.(-2,3) D.[-2,3]
解析:选A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半
??3a-9≤0,
轴上,所以有?
?a+2>0,?
解得-2<a≤3.
5.下列选项中正确的是( ) A.sin 300°>0
B.cos(-305°)<0 D.sin 10<0
?22π?>0
C.tan?-
3???
解析:选D 300°=360°-60°,则300°是第四象限角; -305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角; 22π2π22π
因为-=-8π+,所以-是第二象限角;
333
7π
因为3π<10<,所以10是第三象限角.故sin 300°<0,cos(-305°)>0,
2
?22π?<0,sin 10<0,故D正确. tan?-?3??
??
6.集合?α
??
?kπ+π≤α≤kπ+π,k∈Z?42?
??
?中的角所表示的范围(阴影部分)是??
( )
πππ
解析:选C 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与
424πππ
≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此242ππ
时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,结合图象知选C.
42
7.若α=1 560°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=________. 解析:因为α=1 560°=4×360°+120°, 所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z, 令k=-1或k=0可得θ=-240°或θ=120°. 答案:120°或-240°
8.在直角坐标系xOy中,O是原点,A(3,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,
2
则B点坐标为__________.
解析:依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,
设点B坐标为(x,y),所以x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°=3,即B(-1,3). 答案:(-1,3)
9.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为________. 12
αr21
解析:设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r,R(其中r<R),则=,
124αR22r+αr所以r∶R=1∶2,两个扇形的周长之比为=1∶2.
2R+αR答案:1∶2
10.已知角α的终边上一点P(-3,m)(m≠0),且sin α=解析:由题设知点P的横坐标x=-3,纵坐标y=m, ∴r=|OP|=(-3)+m(O为原点), 即r=3+m. ∴sin α==22
2
2
2
2
2m,则m=________. 4
mr2mm=, 422
∴r=3+m=22, 即3+m=8,解得m=±5. 答案:±5
B级——中档题目练通抓牢
1.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A.π
3
B.π 2
2
C.3 D.2
解析:选C 设圆的半径为R,由题意可知,圆内接正三角形的边长为3R,所以圆弧长为3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为
3RR=3.
πsin θcos θ
2.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=+5|sin θ||cos θ|+
tan θ
的值为( )
|tan θ|A.1
B.-1
3
C.3
解析:选B 由α=2kπ-D.-3
π
(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,5
又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
1
3.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α=( )
54A. 33C.- 4
3B. 44D.-
3
解析:选D ∵α是第二象限角,∴x<0. 又由题意知
1=x, x2+425
x解得x=-3. 44
∴tan α==-. x3
25
4.一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的,面积等于圆面积的,则
327扇形的弧长与圆周长之比为________.
2r解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为,记扇形的圆心角为α,
31?2r?2α??2?3?5则=, 2
πr275π∴α=. 6
5π2r·35l6
∴扇形的弧长与圆周长之比为==. c2πr185
答案: 18
5.(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________.
π
解析:如图所示,找出在(0,2π)内,使sin x=cos x的x值,sin4
4
π25π5π2
=cos=,sin=cos=-.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角
42442
?x∈?,π?45π?. 4??
答案:?
?π,5π?
4??4?
11
6.已知=-,且lg(cos α)有意义.
|sin α|sin α(1)试判断角α所在的象限;
?3?(2)若角α的终边上一点M?,m?,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的
?5?
值.
11
解:(1)由=-,得sin α<0,
|sin α|sin α由lg(cos α)有意义,可知cos α>0, 所以α是第四象限角.
?3?22
(2)因为|OM|=1,所以??+m=1,
?5?
4
解得m=±. 5
又α为第四象限角,故m<0, 4
从而m=-,
5
4-5ym4
sin α====-.
r|OM|15
7.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0), (1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号. 解:(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0), 所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
341
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ=-=-. 555341
当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=-+=.
5553?π?(2)当a>0时,sin θ=∈?0,?,
2?5?
5
4?π?cos θ=-∈?-,0?, 5?2?
3?4?则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos 5·sin??-5??<0;
当a<0时,sin θ=-3?π?5∈??-2,0??,
cos θ=45∈??π?
0,2???,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos??34?-5???·sin 5>0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负; 当a<0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正. C级——重难题目自主选做 已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α, ?2r+l=8,(1)由题意可得?
??1
?2lr=3,
解得?
??r=3,??r=1,??l=2
或?
?
?l=6,
∴α=lr=23或α=lr=6.
(2)法一:∵2r+l=8,
∴S111?l+2r扇=2lr=4l·2r≤4??2??21?=?8?2
4×??2??
=4,
当且仅当2r=l,即r=2,l=4,α=lr=2时,扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α=2,弦长AB=2sin 1×2=4sin 1. 法二:∵2r+l=8,
∴S112
扇=2lr=2r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)+4≤4,
当且仅当r=2,l=4,即α=lr=2时,扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB=2sin 1×2=4sin 1.
6
4?π?cos θ=-∈?-,0?, 5?2?
3?4?则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos 5·sin??-5??<0;
当a<0时,sin θ=-3?π?5∈??-2,0??,
cos θ=45∈??π?
0,2???,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos??34?-5???·sin 5>0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负; 当a<0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正. C级——重难题目自主选做 已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α, ?2r+l=8,(1)由题意可得?
??1
?2lr=3,
解得?
??r=3,??r=1,??l=2
或?
?
?l=6,
∴α=lr=23或α=lr=6.
(2)法一:∵2r+l=8,
∴S111?l+2r扇=2lr=4l·2r≤4??2??21?=?8?2
4×??2??
=4,
当且仅当2r=l,即r=2,l=4,α=lr=2时,扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α=2,弦长AB=2sin 1×2=4sin 1. 法二:∵2r+l=8,
∴S112
扇=2lr=2r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)+4≤4,
当且仅当r=2,l=4,即α=lr=2时,扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB=2sin 1×2=4sin 1.
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