导数中证明不等式技巧:构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
更新时间:2023-11-02 20:30:01 阅读量: 综合文库 文档下载
导数中的不等式证明
导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题,由于不等式证明的灵活性,多样性,该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段
命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用
命题角度1 构造函数
【典例1】(赣州市2018届高三摸底考试)已知函数f?x??1?lnxae1,g(x)?x??bx,若曲线y?f?x?与曲xex线y?g?x?的一个公共点是A?1,1?,且在点A处的切线互相垂直. (1)求a,b的值;
(2)证明:当x?1时,f?x??g(x)?【解析】(1)a?b??1; (2)g(x)??e12lnxe1??x,f?x??g(x)??1??x??x?0, xexxxex2?x?1?,则 x2. x令h?x??f?x??g(x)?h?x??1?h??x???lnxe1?x??x, xex1?lnxe1lnxe?x?2?1?2?x?1, 2xexxelnxe??1?0, x2exlnxe1?x??x?0, xex因为x?1,所以h??x??所以h?x?在?1.???单调递增,h?x??h?1??0,即1?所以当x?1时,f?x??g(x)?2. x【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,应用导数研究其单调性,借助于所构造函数的单调性加以证明.
命题角度2 放缩法
【典例2】(石家庄市2018届高三下学期4月一模考试)已知函数f(x)?(x?b)(ex?a)(b?0),在
- 1 -
(?1,f(?1))处的切线方程为(e?1)x?ey?e?1?0.
(1)求a,b;
(2)若m?0,证明:f(x)?mx2?x. 【解析】(1)a?1,b?1;
(2)由(1)可知f(x)?(x?1)(ex?1),f(0)?0,f??1??0, 由m?0,可得x?mx2?x, 令g(x)??x?1??ex?1??x,则g?(x)??x?2?ex?2, 当x??2时,g?(x)??x?2?ex?2??2?0,
当x??2时,设h(x)?g?(x)??x?2?ex?2,则h?(x)??x?3?ex?0, 故函数g?(x)在??2,???上单调递增,
又g?(0)?0,所以当x????,0?时,g?(x)?0,当x??0,???时,g?(x)?0, 所以函数g(x)在区间???,0?上单调递减,在区间?0,???上单调递增, 故g(x)?g(0)?0,即?x?1??ex?1??x?mx2?x. 故f(x)?mx2?x.
【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数,可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量,对参数适当放缩达到证明的目标.
【典例3】(成都市2018届高中毕业班二诊理科)已知函数f?x??xlnx?ax?1,a?R. (1)当x?0时,若关于x的不等式f?x??0恒成立,求a的取值范围; (2)当n?N*时,证明:
n3?ln22?ln2?2n?42?ln2n?1n? nn?1【解析】(1)??1,???;
(2)设数列?an?,?bn?的前n项的和分别为Sn?nn,Tn?,则 2n?4n?1?1?S1?n?1?,由于an??,解得an?;
n?1n?2????S?Sn?2,???n?1?n同理,bn?1,
n?n?1?- 2 -
正在阅读:
导数中证明不等式技巧:构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!11-02
墙壁角落墙纸怎么施工08-14
壳寡糖与人类未来健康工程调查问卷04-30
超星慕课《东南亚文化概况》上下篇答案大全04-03
大学生自传02-16
医院禁烟自查报告08-22
- 多层物业服务方案
- (审判实务)习惯法与少数民族地区民间纠纷解决问题(孙 潋)
- 人教版新课标六年级下册语文全册教案
- 词语打卡
- photoshop实习报告
- 钢结构设计原理综合测试2
- 2014年期末练习题
- 高中数学中的逆向思维解题方法探讨
- 名师原创 全国通用2014-2015学年高二寒假作业 政治(一)Word版
- 北航《建筑结构检测鉴定与加固》在线作业三
- XX县卫生监督所工程建设项目可行性研究报告
- 小学四年级观察作文经典评语
- 浅谈110KV变电站电气一次设计-程泉焱(1)
- 安全员考试题库
- 国家电网公司变电运维管理规定(试行)
- 义务教育课程标准稿征求意见提纲
- 教学秘书面试技巧
- 钢结构工程施工组织设计
- 水利工程概论论文
- 09届九年级数学第四次模拟试卷
- 导数
- 切线
- 不等式
- 二元
- 反转
- 凹凸
- 变量
- 构造
- 证明
- 技巧
- 数学物理方程学习指导书第4章分离变量法剖析 - 图文
- 淮北市梅苑学校智慧校园建设工作实施方案
- 电工电子学练习题及答案
- 投标书—监理大纲
- 苏教版二年级上册数学期中试卷及答案
- 北邮2014 移动互联网与终端技术阶段作业1,2,3
- 2015年高考真题 - 理科数学(上海卷) Word版含解析
- 温州市瓯海区教育局关于公布瓯海区第二届中小幼学科骨干教师评选结果的通知
- 医生深度访谈提纲英文版-In-depth Interview Outline of Doctors
- 2018年网络安全检查自查报告
- 道岔铺设作业指导书
- 《善良》教案
- 2017年青海省安全员考证C证考试题
- 公务员考试数量关系与图形推理易错题集萃(万华教育)
- 广东省玩具行业企业分析报告2018版
- 项目管理复习题(选择&判断)
- 电机学 - 复习资料
- 会计基础试题及答案
- 高三艺术班数学复习专用资料
- powerpoint练习题