2013-2017高考数学（理）真题分类汇编第5章 平面向量

2013-2017高考真题分类汇编

第五章 平面向量

第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示

题型59 向量的概念及共线向量

1.（2016北京理4）设a,b是向量，则“a?b”是“a+b?a?b”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1. D 解析 因为所以由此可知，“

a+b?a?b?a+b?a?b?a?b?0，

22a?b”是“a+b?a?b”的既不充分也不必要条件.故选D.

题型60 平面向量的线性表示

1.（2013浙江理17）设e1,e2为单位向量，非零向量b?xe1?ye2,x,y?R，若e1,e2的夹角为

π|x|的最大值等于________. ，则6|b|2.（2014 浙江理 8）记max?x,y???量，则（ ）.

yy?x,x…?y,x…，min?x,y???，设a,b为平面向

?y,x?y?x,x?y A.mina?b,a?b?mina,b B. mina?b,a?b…mina,b

????

????? D.maxa?b? C.maxa?b2,a?b2?a2?b2

2222?b

?,a?b?…a题型61 向量共线的应用

AD?1.（2013江苏10）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，

12AB，BE?BC，23若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数），则?1??2的值为 . 2．（2015全国2理13）设向量a,b不平行，向量?a+b与a+2b平行，则实数

?? ．

2.解析 根据向量平行的条件，因为向量?a?b与a?2b平行，

1

2013-2017高考真题分类汇编

1?k?????k，1?2所以?a?b=k?a?2b?，则有?解得?，所以??．

2?1?2k,???1??23.（2017全国3理12）在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与

BD相切的圆上．若AP??AB??AD，则???的最大值为（ ）.

A．3

B．22

C.5

D．2

3.解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD与C切于点E，联结CE．以点

A为坐标原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则点C坐标为

(2,1)．因为|CD|?1，|BC|?2．所以BD?12?22?5．因为BD切C于点E．所以CE⊥BD．所以CE是Rt△BCD斜边BD上的高．EC?2S△BCDBD即C的半径为12??BC?CD225，

?2??BD5542522．因为点P在C上．所以点P的轨迹方程为(x?2)?(y?1)?．

55?25x?2?cos??0?5设点P的坐标为(x0,y0)，可以设出点P坐标满足的参数方程?，

25?y?1?sin?0?5?而AP?(x0,y0)，AB?(0,1)，AD?(2,0)． 因为AP??AB??AD??(0,1)??(2,0)?(2?,?)， 所以??1525x0?1?cos?，??y0?1?sin?． 25522?25??5?255 两式相加得????1?sin??1?cos??2???5?????5??sin??????55????2?sin(???)≤3 (其中sin??5，cos??25)，

55当且仅当??yBEA(O)Pπ?2kπ??，k?Z时，???取得最大值为3．故选A. 2C

xD 2

2013-2017高考真题分类汇编

解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得???的最大值为3.

Dλ+μ=2Cλ+μ=3AB

b满足a?1，b?2，2.(2017浙江理15)已知向量a，则a?b?a?b最大值是 .

的最小值是 ，

解析 解法一：如图所示，a+b和a?b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线，则a?b?a?b?2a?b22?22??10，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的

平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以a+b?a?b?AB?AC． 易知当A，B，C三点共线时，AB?AC最小，此时AB?AC?BC?4； 当AO?BC时，AB?AC最大，此时AB?AC?2AB?25．

DaBba+bOAa-bCE解法二:

?a?b?a?b?2a?b2?a?b?a?b?2a?ba?b?22?22??2a2?b2?2abcos?a2?b2?2abcos??10?25?4cos?5?4cos??10?225?16cos2?(?是向量a，b的夹角).

22所以当cos??1时，a?b?a?b取得最小值4；当cos??0时，a?b?a?b取得

最大值25. 3

2013-2017高考真题分类汇编

题型62 平面向量基本定理及应用

1.(2013天津理12）在平行四边形ABCD中，AD?1， ?BAD?60?，E为CD的中点． 若

AD·BE?1， 则AB的长为 ．

2．（2013江西理12）设e1，e2为单位向量．且e1，e2的夹角为

π，若a?e1?3e2，b?32e1，则向量a在b方向上的射影为 ．

3．（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

AB?AD??AO，则??____________．

4.（2014 大纲理 4） 若向量a,b满足：a?1，?a?b??a，?2a?b??b，则b?（ ）. A．2 B．2 C．1 D．

2 25.（2014 广东理 5）已知向量a??1,0,?1?,则下列向量中与a成60?夹角的是（ ）. A．??1,1,0? B. ?1,?1,0? C. ?0,?1,1? D. ??1,0,1?

?BAD6.（2014 天津理 8）已知菱形ABCD的边长为2，

上， BE??BC，DF??DC.若AE?AFA.

120，点E,F分别在边BC,DC1，CE?CF-2，则????（ ）. 31257 B. C. D. 236127.（2014 新课标2理3）设向量a,b满足a?b?10，a?b?6，则a?b?（ ）. A.1 B.2 C.3 D.5 8.（2014 江苏理 12）如图，在平行四边形ABCD中，已知

D P C

AB?8，AD?5，CP?3PD，AP?BP?2，则AB?AD的

值是 ．

9.（2014 江西理 14）已知单位向量e1与e2的夹角为?，且

A

B 1cos??，向量a?3e1?2e2与b?3e1?e2的夹角为?，则cos?? .

3uuuruuurπ10.（2014 山东理 12）在△ABC中，已知AB?AC?tanA，当A?时，△ABC的面

6积为 .

11.（2014 新课标1理15）已知A,B,C是圆O上的三点，若AO?与AC的夹角为 .

4

1AB?AC，则AB2??2013-2017高考真题分类汇编

12．（2015全国1理7）设D为△ABC所在平面内一点，BC?3CD，则（ ）.

1414AB?AC B．AD?AB?AC 33334141C．AD?AB?AC D．AD?AB?AC

33331112．解析 由题可得BC?AC?AB，所以CD?BC?AC?AB，

33141所以AD?AC?CD?AC?AC?AB?AC?AB．故选A．

333A．AD??????13．（2015北京理13）在△ABC中，点M，N满足AM?2MC，BN?NC. 若MN?xAB?yAC，则x? ；y? .

13．解析 在△ABC中，点M满足AM?2MC，点N满足BN?NC， 则MN?MC?CN?因此x?111111AC?CB?AC?AB?AC?AB?AC， 323226??11，y??.

62AMBNC

ruuuuuuruuuruuuruuur14.（2016四川理10）在平面内，定点A，B，C，D满足DA?DB?DC，DA?DBruuuruuuuuur2uuuruuuruuuruuuruuur=DB﹒DC=DC﹒DA=?2，动点P，M满足AP=1，PM?MC，则BM的最大

值是（ ）. A.

37?6337?2334349 B. C. D.

4444ouuuruuuruuur14.B 解析 甴已知易得?ADC??ADB??BDC?120，DA?DB?DC?2.

以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则A?2,0?，B?1,?3，C?1,3.

2设P(x,y)，由已知PA?1，得?x?2??y?1.

????uur2 5

2013-2017高考真题分类汇编

uuur?x?1y?33?uuuruuur?x?1y?3?又PM?PC，所以M??2,2??，所以BM???2,2??.

????uuur2?x?1??y?33??x?1??y?33?因此BM????????4?2??2?222??2.

22，?33距离平方的它表示圆(x?2)?y?1上的点?x，y?与点?1??1， 4uuur2?1??所以?BM?????max4?yC2MD??1?2?2??33??2?49.故选B. ?1??4?2PAxB-2

15.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，

2，OA与OC的夹角为?，且tan??7，OB与OC的夹角为45?．若OC?mOA?nOB?m,n?R?， 则m?n? ．

CBαOA

??OC?OA?mOA?OA?nOB?OA15.解析 解法一：由题意? （*）

??OC?OB?mOA?OB?nOB?OB而由tan??7，得sin??752，cos??152，

6

2013-2017高考真题分类汇编

????3?OA?OB?1?1?cos?????cos??cos?sin??sin??．

4?445?3?1?m?n ①??55将（*）式化简为?

3?1??m?n ②?5?式①加式②，得m?n?3．故填3．

解法二（坐标法）：如图所示，以OA所在的直线为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得A?1,0?，C?,?，B??,?17??55??34??，由55??53??1m??m?n????5?17??34?45OC?mOA?nOB，得?,??m?1,0??n??,?，即?，解得?，

7555574?????n???n???4?55故m?n?3．故填3．

yCBαOAx

解法三（解三角形）：由tan??7，可得sin??272，cos??，如图所示，根据向

1010????ncos45??mcos??2?量的分解，易得?，即???nsin45??msin??0???解得m?22n?m?2?5n?m?10210，即?，

5n?7m?0272?n?m?021057,n?，所以m?n?3． 44 7

2013-2017高考真题分类汇编

mBnαOCD

A题型63 平面向量的坐标运算

1.（2014 福建理 8）在下列向量组中，可以把向量a??3,2?表示出来的是（ ）. A.e1??0,0?,e2??1,2? B.e1???1,2?,e2??5,?2? C.e1??3,5?,e2??6,10? D.e1??2,?3?,e2???2,3?

2.（2014 湖南理 16）在平面直角坐标系中，O为原点，A??1,0?，B0，3，C?3，0?，动点D满足CD?1，则OA?OB?OD的最大值是________. 3.（2014 陕西理 13） 设0???则tan??_______.

4.（2014 陕西理 18）在直角坐标系xOy中，已知点A?1,1?B?2,3?,C?3,2?，点P?x,y?在

??π，向量a??sin2?,cos??,b??cos?,1?，若a//b，2△ABC三边围成的区域（含边界）上.

（1）若PA?PB?PC?0，求OP；

（2）设OP?mAB?nAC?m,n?R?，用x,y表示m?n，并求m?n的最大值. 5．（2015年江苏6）已知向量a??2,1?，b??1,?2?，若ma?nb??9,?8??m,n?R?，则m?n的值为 ．

5．解析 由题意ma?nb?m?2,1??n?1,?2???2m?n,m?2n???9,?8?，

?m?2?2m?n?9从而?，解得?，故m?n??3．

n?5m?2n??8??评注 也可以将m?n用2m?n与m?2n线性表示，如：

m?n?132m?n????m?2n???3． 55 8

2013-2017高考真题分类汇编

6.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy中，点A??12,0?，B?0,6?，点P在圆

O:x2?y2?50上．若PA?PB?20，则点P的横坐标的取值范围是 ．

6.解析 不妨设P?x0,y0?，则x0?y0?50，且易知x0???52,52?．

22??因为PA?PB?AP?BP??x0?12,y0???x0,y0?6??

22x0?12x0?y0?6y0?50?12x0?6y0?20，故2x0?y0?5?0．

22所以点P?x0,y0?在圆O:x?y?50上，且在直线2x?y?5?0的左上方（含直线）.

?x2?y2?50联立?，得x1??5，x2?1，如图所示，结合图形知x0???52,1?．

???2x?y?5?0故填??52,1?．

??yB(1,7)OA(-5,-5)52x2x-y+5=0

评注 也可以理解为点P在圆x0?y0?12x0?6y0?20的内部来解决，与解析中的方法一致．

题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无 第二节 平面向量的数量积 题型65 平面向量的数量积

1.（2013湖北理6）已知点A??1,1?，B?1,2?，C??2,?1?，D?3,4?，则向量AB在CD方向上的投影为（ ）. A．

223231532315 B． C．? D．? 22222. (2013福建理7）在四边形ABCD中，AC??1,2?，BD???4,2?，则该四边形的面积为（ ）.

9

2013-2017高考真题分类汇编

A.5 B.25 C.5 D.10

3. (2013安徽理9） 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足

OA?OB?OA?OB?2，，???≤1，?，??R所表示则点集POP??OA??OB的区域的面积是（ ）.

A. 22 B. 23 C. 42 D. 43 4.（2013辽宁理3） 已知点A?13，，?1?，则与向量AB同方向的单位向量为（ ）. ?B?4，A. ?，????3?54?? B. 5??43??? ?，55???43??55?C. ??，? D. ??，?

5. (2013湖南理6）已知a,b是单位向量，a?b?0.若向量c满足c?a?b?1,则c的取值范围是（ ）.

?34??55?,2+1? B．?2-1，,2+2? A．?2-1，????,2+1? D．?1，,2+2? C．?1，????6. (2013重庆理10）在平面上，AB1?AB2，OB1?OB2?1，AP?AB1?AB2. 若OP?A. ?0,1，则OA的取值范围是（ ）. 2???5?? B. 2??57???2,2? ???7???2,2? ??1AB，且对于边AB上4?5?C. ??2,2? D.

??7.（2013浙江理7）设△ABC,P0是边AB上一定点，满足P0B?任一点P，恒有PB?PC…，则( ). P0B?PC0A.?ABC?90 B.?BAC?90 C.AB?AC D.AC?BC

12. (2013全国新课标卷理13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则

AE?BD? .

8. （2013山东理15） 已知向量AB与AC的夹角为120，且AB?3，AC?2，若

10

2013-2017高考真题分类汇编

AP??AB?AC，且AP?BC，则实数?的值为____________.

9.（2014 安徽理 10）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a,b，a?b?1，a?b=0，

0?点Q满足OQ?2?a?b?.曲线C?POP?acos??bsin?，???2π，区域

???P0?r?PQ≤R，r?R.若C?为两段分离的曲线，则（ ）.

A. 1?r?R?3 B. 1?r?3?R C. r?1?R?3 D. 1?r?3?R

??b?c?0，10.（2014 辽宁理 5）设a,b,c是非零向量，已知命题p：若a?b?0，则a?c?0；

命题q：若a//b，b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（ ）. A．p?q B．p?q C．??p????q? D．p???q?

11.（2014 四川理 7）平面向量a??1,2?，b??4,2?，c?ma?b?m?R?，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m?( ).

A．?2 B．?1 C．1 D．2

12.（2014 重庆理 4）已知向量a??k,3?,b??1,4?,c??2,1?，且?2a?3b??c，则实数k?( ). A. ?915 B. 0 C. 3 D. 2213.（2014 北京理 10）已知向量a，b满足

a?1，b??2,1?，且?a?b?0???R?，则

??________.

14.（2014 湖北理 11）设向量a??3,3?，b??1,?1?，若?a??b???a??b?，则实数??________.

在△ABC中，内角A,B,C的对边a,b,c，且a?c.已知BA?BC?2，cosB?求：

（1）a和c的值； （2）cos?B?C?的值.

15．(2015安徽理8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB?2a， AC?2a?b，则下列结论正确的是（ ）.

1，b?3.3 11

2013-2017高考真题分类汇编

A．b?1 B．a?b C．ab?1 D．?4a?b??BC

15．解析 解法一：对于选项A，因为AC?AB?BC?2a?b，故BC?b，所以b?2， 选项A错误；对于选项Ｂ，因为AB//a，BC//b，所以a与b不垂直，选项B错误；对于选项C，因为ab?1?2?cos120??1，选项C错误；对于选项D，因为

?4a?b?BC??4a?b?b=4ab+b2? 4???1??4?0，选项D正确．故选D．

解法二：对于选项D，过点A作AD?BC于点D，则点D为BC的中点， 所以?4a+b?BC?AB?ACBC?2ADBC?0．故选D．

A??BDC

16．（2015福建理9）．已知AB?AC,AB?,AC?t ，若点P是△ABC 所在平面内一点，且AP?1tABAB?4ACAC ，则PBPC 的最大值等于（ ）.

A．13 B．15 C．19 D．21

16．解析 以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B?,0?，C?0,t?，

?1?t???1?,4?，所以PB???1,?4?，PC???1,t?4?，因此AP??1,0??4?0,1???1,4?，即P?1?t?111?1?PBPC?1??4t?16?17???4t?．由题可得t?0，所以?4t…24t?4，所

ttt?t?以PBPC的最大值等于13，当?4t，即t?1

t1时，等号成立．故选A． 2 12

2013-2017高考真题分类汇编

yPCABx

x217．（2015全国1理5）已知M?x0,y0?是双曲线C:?y2?1上的一点，F1，F2是C的

2两个焦点，若MF，则y0的取值范围是（ ）. 1?MF2?0???2222??2323?33?33?A．???3,3?? B．???6,6?? C．???3,3?? D．???3,3??

????????17．解析 由题可得F1?3,0，F2所以MF1?MF2??3?x0,?y0?解得????2x02223,0，且?y0?1，即x0， ?2?2y02????2223?x0,?y0?x0?y0?3?3y0?1?0，

?33．故选A． ?y0?3318．(2015山东理4) 已知菱形ABCD的边长为a，?ABC?60，则BDCD?( ). A．?32a 2

B．?32a 4 C．

32a 4 D．

32a 218．解析 解法一：如图所示，在菱形ABCD中，?ABC?60，各边长均为a，

CD?BA，BD?BA?BC，所以BDCD?BA?BCBA? BA?BCBA?BA?BCBAcos?ABC?a2?a2cos60?22??32a．故选D． 2解法二：由题可求得BD?3a，BD与CD的夹角为30，所以BDCD?BDCDcos30?32a．故选D． 2 13

2013-2017高考真题分类汇编

ADBC

19．（2015陕西理7）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）． A．a?b?ab B．a?b?a?b

22C．?a?b??a?b D．?a?b??a?b??a?b22

219．解析 解法一：a?b?222a?b?a?b?22?a??b?

a?2a?b?b?a?2a?b?b?a?b…a?b，矛盾，B不正确.故选B.

解法二： 从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，

a?b?a?b， B不正确.故选B.

aa-bb

20．（2015四川理7）设四边形ABCD为平行四边形，AB?6，AD?4.若点M,N满足

BM?3MC，DN?2NC，则AM?NM?（ ）.

A. 20 B. 15 C. 9 D. 6

113AD，NM?CM?CN??AD?AB，

4342211116AB?9AD? 4AB?3AD?4AB?3AD?所以AMNM?484121?16?36?9?16??9.故选C. 4820．解析 AM?AB???????21．（2015重庆理6）若非零向量a，b满足a?22b，且?a?b???3a?2b?，则a与3b的夹角为（ ）.

A.

ππ3π B. C. D. π

44214

2013-2017高考真题分类汇编

21．解析 设a与b的夹角为?，根据题知(a?b)?(3a?2b)，得(a?b)(3a?2b)?0， 所以3a?ab?2b?0，3a?abcos??2b?0，在由a?222222b， 3得

?2822222??，，即．故选A． b?bcos??2b?0cos??423322．（2015年湖北理11）．已知向量OA?AB，|OA|?3，则OA?OB? ． 22．解析 因为OA?AB，所以OA?AB?0即OA?(OB?OA)?0，

OA?OB?OA?OA?32?9，故填9.

23．（2015天津理14）在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB?2，BC?1，

22?ABC?60 ，动点E和F分别在线段BC和DC上， 且BE??BC，DF?则AE?AF的最小值为 . 23．解析 因为DF?1DC， 9?11DC，DC?AB，

29?CF?DF?DC?11?9?1?9?DC?DC?DC?AB， 9?9?18?AE?AB?BE?AB??BC，

AF?AB?BC?CF?AB?BC?1?9?1?9?AB?AB?BC， 18?18??1?9??AE?AF?AB??BC??AB?BC??

?18????221?9?1?9???AB??BC??1????AB?BC= 18?18???1?9???9?2?4????2?1?cos120?? 18?18?2117211729???…2????， 9?2189?21818当且仅当

2?229?，即??时，AE?AF的最小值为.

3189?2 15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5f1o.html