高中数学圆锥曲线方程试卷3（考点详解版）

高中数学组卷圆锥曲线方程3

一．解答题（共30小题） 1．（2008?温州学业考试）求以椭圆

的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲

线方程． 2．（2007?重庆）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12． （1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：

+

+

为定值，并求此定值．

3．（2007?北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （Ⅱ）求面积S的最大值．

4．（2007?山东）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 5．（2007?天津）设椭圆

的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上．

的一点，C，原点O到直线AF1的距离为

（Ⅰ）证明；

222

（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x+y=t上任意点M（x0，y0）处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1⊥OQ2．

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6．（2007?上海）我们把由半椭圆

2

2

2

（x≥0）与半椭圆（x≤0）合成的曲线

称作“果圆”，其中a=b+c，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点． （1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； （2）设P是“果圆”的半椭圆

（x≤0）上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P

在点B1，B2或A1处；

（3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．

22

7．（2007?湖南）已知双曲线x﹣y=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点． （Ⅰ）若动点M满足

（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使

?

（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程； 为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，

请说明理由．

8．（2007?丰台区二模）在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．

（I）求椭圆的方程； （II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使

？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；

（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使

，试求n的取值范围．

9．（2007?东城区二模）已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点

是B，且，∠BAF=120°．

（1）求双曲线C的方程；

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（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当

，且

时，求点Q的坐标．

10．（2007?潮阳区校级模拟）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0，）为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程． 11．（2008?山东）已知曲线

，曲线C1的内切圆半径为

所围成的封闭图形的面积为

．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．

（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程； （2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值． 12．（2008?四川）已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列．

（Ⅰ）当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程； （Ⅱ）设点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当求|MN|的值． 13．（2008?四川）设椭圆点F2到右准线为l的距离为（Ⅰ）求a，b的值；

， ．

的左右焦点分别为F1，F2，离心率

，时，

（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，证明：当|MN|取最小值时，

14．（2008?福建）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原

点．

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

22

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|+|OB|

2

＜|AB|，求a的取值范围．

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22

15．（2008?北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x+3y=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程； （Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值． 16．（2008?安徽）设椭圆

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

?

=

?

，证明：点Q总在某定直线上．

，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率

，

=1（a＞b＞0）过点

，且左焦点为

17．（2008?四川）设椭圆

右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若

，求a，b的值；

与

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，共线．

18．（2008?湖北）已知双曲线

的曲线C上．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．

的两个焦点为

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19．（2008?上海）已知双曲线．

（1）求双曲线C的渐近线方程； （2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记

．求λ的取值范围；

（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数． 20．（2008?天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为21．（2009?辽宁）已知，椭圆C过点A

，求k的取值范围．

，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 22．（2009?北京）已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

，右准线方程

为．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

22

（Ⅱ）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x+y=5上，求m的值．

23．（2009?陕西）已知双曲线C的方程为

=1（a＞0，b＞0），离心率

，顶点

到渐近线的距离为．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

，求△AOB面积的取值范围．

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（Ⅲ）设直线AB的倾斜角为θ，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）知：，

，．

当或时，|AB|+|DE|取得最小值．

【点评】本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及几何性质、直线和椭圆的位置关系等基础知识、考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx+ny=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可． 30．（2008?重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若

，求点P的坐标．

2

2

【分析】（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案． （2）先将

2

2

2

转化为|PM|?|PN|cosMPN=|PM|?|PN|﹣2的形式，再由

余弦定理得到|MN|=|PM|+|PN|﹣2|PM|?|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆． 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=

，

所以椭圆的方程为 （Ⅱ）由

．

，得|PM|?|PN|cosMPN=|PM|?|PN|﹣2．①

因为cosMPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形．

在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|=|PM|+|PN|﹣2|PM|?|PN|cosMPN．②

222

将①代入②，得4=|PM|+|PN|﹣2（|PM|?|PN|﹣2）． 故点P在以M、N为焦点，实轴长为

的双曲线

上．

2

2

2

由（Ⅰ）知，点P的坐标又满足，

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所以由方程组解得

即P点坐标为

．

或

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．椭圆的标准方程、离心率、第二定义、准线方程、a，b，c的基本关系等都是高考的考点，要熟练掌握．

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