2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛 - 4

2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛

（2012年12月17日下午 时间：120分钟 满分：120分 ） 一、选择题（每小题5分，共30分）

1．已知a为实数，且a?a?a?2?0，则(a?1)8?(a?1)9?(a?1)10的值是（ ） A．?3 B．3 C．?1 D．1

2．P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（ ）

A．120° B．135° C．150° D．以上都不对 3．边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上， 将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落 在函数y?ax(a?0)的图像上，则a的值为( ) -10O232C1J' A．?2 B．?1 C．?2B322 D． ? 432A（第3题图） 4．二次函数y??x?2x?8的图像与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（ ）

A．3＜AD≤9 B．3≤AD≤9 C．4＜AD≤10 D．3≤AD≤8

? 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ） 5．将 BCC A． 37 B．8 C．65 D．215

6．一个等边三角形的周长比一个正方形的周长在2012cm，等边三角形A

大xcm．则x不能取的正整数的个数为（ ） A．499 B．500 C．666 D．670

二、填空题（每小题5分，共40分）

7．已知关于x的不等式ax?b?0的解是x?1，则关于x的不等式(ax?b)(x?2)?0的 解为__________________

8．若二次函数y?ax?bx?c(a?0)图像的最低点的坐标为(1,?1)， 则关于x的一元二次方程ax?bx?c??1的根为 9．如图，点P在正方形ABCD外，PB＝10，△APB的面积为60， △BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为_____________。 10．标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，一面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直角坐标系中的一个得的两个点所确定的直线经过点P(4,7),则他第三次掷得的点也在11．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型

DCABD 第5题图

B

的边长比正方形的边长

22P掷这个立方体一次，记朝上点(x,y).已知小华前二次掷这条直线上的概率为 ．

152331第10题图 第11题图

模板如图放置，则矩形ABCD的周

长为 _．

12．如图，直线AB与⊙O相交于A、B两点，点O在AB上，点C在 ⊙O上，且∠AOC= 40°，点E是直线AB上—个动点(与点O不重合)，直线EC交；⊙O于另一点D，则使DE=DO个．

13．如图，正方形ABCD的两个顶点A、D分别在x轴，y轴上，

yCDBxOA第18题的点E共有

AO=3，DO=4。如果双曲线

y?

k

和线B有一个交点，则k的范围为 ． x

14．甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可袋中每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有_______________个球（拿出时不能看）

三、解答题（共50分）

各4个。从甲袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲个球，乙袋中有__________

15．（12分）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信息，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的．每个二进制数都由0和1构成，电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数．例如“开”“开”“关”表示“110”．

如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）

（1）若此电路上有4个元件，则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）； （2）若用ak表示电路上k(k?1)只电子元件所有不同的“开”“关”状态数，试探索 ； ak,ak?1,ak?2之间的关系（不要求论证）

（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算a10的值．

16．（12分）已知关于x的方程kx?(2k?1)x?k?1?0只有整数根，且关于y的一元二次方程(k?1)y?3y?m?0有两个实数根y1和y2

（1）当k为整数时，确定k的值；

22

（2）在（1）的条件下，若m??2的整数，试求m的最小值

17．（12分）已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE=于P．

(1)求EP：PF的值． (2)求A P：PD的值．

18．（14分）通过学习勾股定理的逆定理，我们知道在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x?y?z，则称这个三角形为勾股三角形．

（1）根据“勾股三角形”的定义，请你判断命题：“直角三角形不是勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题；

（2）已知某一勾股三角形的三个内角度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；

（3）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=6，AC=1?3， BC=2，BE是⊙O的直径，交AC于D． ①求证：△ABC是勾股三角形； ②求DE的长．

22212AB．F为 AC上一点，且CF=AC，EF交AD45A E D

? O

C B 2012学年第一学期区域性九年级数学竞赛答题卷

?

一、选择题：（每小题5分，共30分） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 二、填空题（每小题5分，共40分）

7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 ， 三、解答题（第15、16、17每题12分，18题14分，共50分） 15、解：

16、解：

17、解：

18、解：（1）

A D

? O

E

B C

参考答案

一、选择题：DBD AAD

二、填空题：

7、?1?x?2 ；8、x1?x2?1 ；9、180 ；10、13、21≤k＜28或k=

2 11、85 12、3 31369 14、19，5 48三、解答题：

15、解：用“1”表示开，“0”表示关，则所有不同的“开”“关”的状态可表示为： 1111（全开）------------------------------------------------2分 1110，1101，1011，0111（三开一关）---------------4分 1010，0101，0110（两开两关）-----------------------6分 共有8种，即a4?8

（2）由a1?2,a2?3,a3?5,a4?8归纳出ak?2?ak?1?ak----------------9分

（3）a5?a4?a3?8?5?13,a6?a5?a4?13?8?21,a7?a6?a5?21?13?34,

a8?a7?a6?34?21?55,a9?a8?a7?55?34?89,a10?a9?a8?89?55?144

------------------------------------------------------------------------------------------12分

16、解：（1）当K=0时，方程①有整数根x=－1--------------2分

当k≠0时，方程①可化为(x+1)(kx+k－1)=0

解得x1=－1, x2=

?k?11=－1+----------------4分 kk∵k为整数，x2也为整数

∴k=±1----------------------------------------6分

2

此时△=（2k－1）－4k(k－1)=1＞0

但当k=1时，方程②不是一元二次方程---------------7分 ∴k=0或k=－1--------------------------------8分

2

(2)当k=0时，方程②可化为－y－3y+m=0,

△=9+4m≥0，即m≥?9 ------------------------9分 4 又∵m??2

∴当m??2时，m的最小值为-2----------------10分

当k=－1时，方程②可化为－2y－3y+m=0,△=9+8m≥0，即m≥?2

9--------11分 8∴当m≥?9时，m的最小值为-1------------------------------12分 8

17、解：(1)分别作EEl、FFl平行于BC且与AD交AD于E1、F1两点， 则

F1FAF3?? --------------- 2分 DCAC5E1EAE3??-------------3分 DBAB4又BD=DC

F1F4? ------------------4分 EE15EPE1E5??------------------6分 PFF1F4 (2)设AF1=y，F1P=4x，PE1=5x，E1D=z，

y3?----------8分

y?9x?z5y?9x3?--------------9分

y?9x?z4解得y=36x， z=15x -----------------------l0分

APy?4x40x2??? ---------------12分 PDz?5x20x1

18、解：（1）真----------------2分

?xy?2160????(1)?222（2）由题意可得：?x?y?z?????(2)------4分

?x?y?z?180????(3)???x(?y ) 代入（2）得：由（3）得：z?1802(x?y)?2xy?0?x(??y )?18?2

把（1）代入得：x?y?102-----------------6分 （3）①过B作BH⊥AC于H，

设AH=x，则CH=1?3?x，

Rt?ABH中，BH?6?x2，

Rt?CBH中，(6?x2)2?(1?3?x)2?4----------------8分

解得：x?3 所以，AH?BH?3,HC?1

所以，?A?45?,?ABC?75?,?C?60?-------------------9分 因为，45?60?75

所以，?ABC是勾股三角形---------------------10分

②连接CE

则?BEC??BAC?45?，又BE是直径，所以，?BCE?90? 所以，BC=CE=2，BE?22 过D作DK⊥AB于K

设KD=h，则BK?3h,AK?h

222由AB?AK?BK?(3?1)h?6?h?所以，BD?32?6 32?6---------------------12分 2所以，DE?BE?BD?6?2----------------14分

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