高等数学 9-2-1二重积分的计算法(1)

章节题目 第二节 二重积分的计算法（1） 利用直角坐标系计算二重积分 内容提要 利用直角坐标计算二重积分 重点分析 二重积分化为二次积分时积分次序的选择及积分限的选择 难点分析 习题布置 P103 1（单）、2（单）、4、6（单）、8、10 备注 1

a0xb教 学 内 容 一、利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为：a?x?b,?1(x)?y??2(x). ［X－型］ y??2(x)y??2(x)DDy??1(x)y??1(x)ab ab 其中函数?1(x)、?2(x)在区间 [a,b]上连续. ???Df(x,y)d?的值等于以D为底，以曲面z?f(x,y) 为曲顶柱体的体积．应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得??f(x,y)d??D?zbadx??2(x)?1(x)f(x,y)dy. z?f(x,y)yA(x0)xy??1(x)y??2(x) 如果积分区域为：c?y?d,?1(y)?x??2(y). ［Y－型］ 2

ddx??1(y)Dx??1(y)Dx??2(y)x??2(y)cc ??Df(x,y)d???dcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx. X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 ??D???D1???D2???D3. D3D1D2 例1 改变积分 解 积分区域如图 原式? ?10dx?1?x0f(x,y)dy的次序. ?10dy?1?y0f(x,y)dx. 3

y?1?x 例2 改变积分?dx?012x?x20f(x,y)dy??21dx?2?x0f(x,y)dy的次序. 解 积分区域如图 y?2?xy?2x?x2 原式??10dy?2?y21?1?yf(x,y)dx. 2a2ax2ax?x2例3 改变积分?dx?0f(x,y)dy(a?0)的次序. 解 2aaa22a 2ax?x ?x?a?4

2y?

2ax?x?y2a y?a?y 22原式=?dy?y0aa?2a?y22f(x,y)dx?2a2?a0dy?2aa?y22a?f(x,y)dx??2aady?y2f(x,y)dx. 2a2a例4 求??(x?y)dxdy，其中D是由抛物线y?x2和x?y2所围平面闭区域. D?y?x2解 两曲线的交点??(0,0),(1,1), 2?x?y??D(x?y)dxdy ?12?10dx?x2x(x?y)dy 331402??0[x(x?x)?2?y22212(x?x)]dx ?4. 例5 求??xeD2dxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形. 解 ??e?ydy无法用初等函数表示 ? 积分时必须考虑次序 ??Dxe2?y2dxdy??10dy?xe0y2?y2dx??10e?y2?y33dy??10e?y2?y26dy2?16(1?2e). 例6 计算积分 I?yyy?1214dy?1yexdx?2?112dy?yyexdx. 解 ??exdx不能用初等函数表示 ?先改变积分次序. 原式?I?x?1dx?2edy?21xyx?112x(e?e)dx ?x38e?12e. 5

y?xy?x2 例7 求由下列曲面所围成的立体体积，z?x?y，z?xy，x?y?1，x?0，y?0. 解 曲面围成的立体如图. 所围立体在xoy面上的投影是 ?0?x?y?1, ?x?y?xy, 6

所求体积V?1??D(x?y?xy)d??724?10dx?1?x0(x?y?xy)dy ??0[x(1?x)?12(1?x)]dx ?3. 二、小结 二重积分在直角坐标下的计算公式 ??Df(x,y)d???badx??2(x)?1(x)f(x,y)dy.［X－型］ ??Df(x,y)d???dcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx.［Y－型］ （在积分中要正确选择积分次序） 思考题 设f(x)在[0,1]上连续，并设?f(x)dx?A， 01求?dx?f(x)f(y)dy. 0x11 思考题解答 ??1xf(y)dy不能直接积出, ?改变积分次序. 令I??10dx?f(x)f(y)dy, x1则原式? ?10dy?f(x)f(y)dx.?0y?10f(x)dx?f(y)dy, 0x

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