2016学年长宁嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷和答案

1 2016学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研

数 学 试 卷

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．

1．设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A _____________．

2．函数??

? ??

-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω____________． 3．设i 为虚数单位，在复平面上，复数

2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________． 4．若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．

5．已知n b a )3(+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n ______．

6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种．

7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm 、圆心角为?270的扇形，则这个圆锥的体积为_____________3cm ．

8．若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则 =??? ??++++∞→1321lim

212n a a a n n n _____________．

9．如图，在△ABC 中，?=∠45B ，D 是BC 边上的一点，

5=AD ，7=AC ，3=DC ，则AB 的长为_____________．

10．有以下命题：

① 若函数)(x f 既是奇函数又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{；

② 若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；

③ 若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数；

④ 若函数)(x f 存在反函数)(1x f -，且)(1x f

-与)(x f 不完全相同，则)(x f 与)(1x f -图

像的公共点必在直线x y =上． 其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．

A C B

2 11．设向量)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，其中O 为坐标原点，0>a ，0>b ，若A 、B 、C 三点共线，则b

a 21+的最小值为____________． 12．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ， 一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点

的最短路线的长为__________cm ．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

13．“2

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件

14．若无穷等差数列}{n a 的首项01d ，}{n a 的前n 项和为n S ，则以下结论中一定正确的是……………………………………………………………………………（ ）

（A ）n S 单调递增 （B ）n S 单调递减 （C ）n S 有最小值 （D ）n S 有最大值

15．给出下列命题：

（1）存在实数α使23cos sin =

+αα； （2）直线2

π-=x 是函数x y sin =图象的一条对称轴； （3）)cos(cos x y =（R ∈x ）的值域是]1,1[cos ；

（4）若α，β都是第一象限角，且βα>，则βαtan tan >．

其中正确命题的序号为……………………………………………………………………（ ）

（A ）（1）（2） （B ）（2）（3） （C ）（3）（4） （D ）（1）（4）

16．如果对一切正实数x ，y ，不等式y

x a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）

（A ）??? ??∞-34,

（B ）),3[∞+ （C ）]22,22[- （D ）]3,3[-

A B C A 1

B 1

C 1

3 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为?30，且2==BC AB ．

（1）求三棱锥BCD A -的体积；

（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且72cos 22sin

82=-+A C B ． （1）求角A 的大小；

（2）若3=a ，3=+c b ，求b 和c 的值．

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．

某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为)2,1(，曲线OD 是函

数2ax y =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数b kx y +=（0>k ）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区． （1）求证：2

8

k b =-； （2）设点P 的横坐标为t ，

① 用t 表示M ，N 两点的坐标； ② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数

(t S S =并求S 的最大值．

A

B C M

4 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数3329)(+?-=x x a x f ．

（1）若1=a ，]1,0[∈x ，求)(x f 的值域；

（2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最小值)(a h ；

（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：① 3>>m n ；② 当)(a h 的定义域为],[n m 时，其值域为],[22n m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知无穷数列}{n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：a a =1，11-=+n n n a a rS ，其中1≠a ，常数r N ∈．

（1）求证：n n a a -+2是一个定值；

（2）若数列}{n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*N ∈n ，都有n T n a a =+成立，则称}{n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列}{n a 是各项均为有理数的等差数列，132-?=n n c （*N ∈n ），问：数列}{n c 中的所有项是否都是数列}{n a 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

5 2016学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷

参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．

1．}2{ 2．2 3．

5

3 4．3 5．6 6．60 7．π873 8．2 9．265 10．① ② 11．8 12．13

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

13．B 14．C 15．B 16．D

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

（1）因为⊥AB 平面BCD ，所以ADB ∠就是AD 与平面BCD 所成的角，即?=∠30ADB ，且AB 为三棱锥BCD A -的高． …………………………（2分）

由2==BC AB ，得32=BD ，又由CD BC ⊥，得22=CD ． …………（3分） 所以，3

24213131=????=?=

?AB CD BC h S V BCD ． ……………………（5分） （2）取AB 中点E ，连结EM ，EC ，则EM ∥AD ，所以EMC ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分）

在△EMC 中，2=EM ，3=CM ，5=EC ， …………………………（3分） 所以，633

225342cos 222=??-+=?-+=∠CM EM EC CM EM EMC ， ……………………（6分） 即6

3arccos =∠EMC ． 所以异面直线AD 与CM 所成角的大小为63arccos

． ……………………（7分）

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）由72cos 22

sin 82=-+A C B ，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，……（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分） 所以，21cos =A ，3

π=A ． …………………………………………………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（2分）

6 33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ……………………………………（4分）

由???==+,2,3bc c b 解得???==,

1,2c b 或???==.2,1c b ………………………………（8分）

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．

（1）将)2,1(D 代入2ax y =得，2=a ，

所以二次函数的解析式为22x y =（10≤≤x ）， …………………………（2分） 由???=+=,2,

2x y b kx y 得022

=--b kx x ， …………………………………………（3分） 由题意，△082

=+=b k ，所以8

2

k b -=． ……………………………………（5分） （2）① 由（1），一次函数的解析式为8

2

k kx y -=， …………………………（1分） 因为直线过点)2,(2t t P ，所以8

222k kt t -=，解得t k 4=，故22t b -=．…………（2分） 所以一次函数为224t tx y -=，令0=y ，得2t x =，即??

? ??0,2t M ， ………………（3分） 令2=y ，得??? ??+=t t x 121，即???? ????? ?

?+2,121t t N ． ………………………………（5分） ② 22||t MA -=，??

? ??+-=t t NB 1212||， …………………………………………（1分） 当点N 与点B 重合时，22242=-?t t ，解得32-=t ，所以)1,32(-∈t ． 所以，??? ??+-=?+?=t t AB NB MA t S 214|||)||(|21)(，)1,32(-∈t ．…………（4分） 因为221≥+

t t ，当且仅当22=t 时取等号，所以当且仅当2

2=t （km ），时)(t S 取最大值)24(-（2km ）． ………………………………………………（6分）

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）当1=a 时，由3329+?-=x x y ，得2)13(2+-=x y ， ………………（2分）

因为]1,0[∈x ，所以]3,1[3∈x ，]6,2[∈y ． …………………………………（4分）

（2）令t x =3，因为]1,1[-∈x ，故??

????∈3,3

1t ，函数)(x f 可化为 2223)(32)(a a t at t t g -+-=+-=． …………………………………………（2分）

① 当31

7 ② 当

33

1≤≤a 时，23)()(a a g a h -==； …………………………………………（4分） ③ 当3>a 时，a g a h 612)3()(-==． ……………………………………………（5分） 综上，????

?????>-≤≤-<-=.3.612,331,3,31,32928)(2a a a a a a a h ………………………………………………（6分） （3）因为3>>m n ，a a h 612)(-=为减函数，

所以)(a h 在],[n m 上的值域为)](,)([m h n h ， …………………………………………（2分） 又)(a h 在],[n m 上的值域为],[22n m ，所以，?????==,)(,)(22n m h m n h 即?????=-=-,

612,61222n m m n …（3分） 两式相减，得))(()(622n m n m n m n m -+=-=-，

因为3>>m n ，所以6=+n m ，而由3>>m n 可得6>+n m ，矛盾．

所以，不存在满足条件的实数m 、n ． …………………………………………（6分）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（1）由11-=+n n n a a rS ①， 得1211-=+++n n n a a rS ②

②－①，得)(211n n n n a a a ra -=+++， ………………………………（2分） 因为0>n a ，所以r a a n n =-+2（定值）． ………………………………（4分）

（2）当1=n 时，a a =1，故12-=aa ra ，a

r a ra a 112+=+=， ……………（1分） 根据（1）知，数列}{n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是r ，所以， r n a a n )1(12-+=-，nr a

a n +=12， …………………………………………（3分） 当0>r 时，}{n a 的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， …………（4分） 所以0=r ，所以a a n =-12，a

a n 12=，所以，数列}{n a 是周期数列，其最小周期为2． ……………………………………………………（6分） （3）因为数列}{n a 是有理项等差数列，由a a =1，r a a +=

12，r a a +=3，得 ??

? ??+=++r a r a a 12，整理得0222=--ra a ，

8 得4

162++=r r a （负根舍去），……………………………………………………（1分） 因为a 是有理数，所以162+r 是一个完全平方数，设2216k r =+（*

N ∈k ），

当0=r 时，1=a （舍去）． ……………………………………………………（2分）

当0>r 时，由2216k r =+，得16))((=+-r k r k ， 由于r ，*N ∈k ，所以只有3=r ，5=k 符合要求， …………………………（4分）

此时2=a ，数列}{n a 的公差232==

r d ，所以2

13+=n a n （*N ∈n ）．…………（6分) 对任意*N ∈n ，若132-?=n n c 是数列}{n a 中的项，令m n a c =，即213321+=?-m n ， 则3

1341-?=-n m ，1=n 时，1=m ，2=n 时，*311N ?=m ，故2c 不是数列}{n a 中的项． …………………………………………………（8分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5eme.html