中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案

中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案

一、选择题

a1．B 解：由题设得a b 1

20 1210

b c

． 1 c1 111

b10

2．D 解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2

ab

1

2

a 2 0 ＝( a)2 4 1 (1

2

a 2)≥0, 解得a≤ 2或 a≥4．

3．C 解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知可得

CF

＝DF＝

于是 EF＝4

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据AD

2

4．B 解：由xk 1 1 1和xk xk 1 1 4

4 k 2

4

可得

x1 1，x2 2，x3 3，x4 4， x5 1，x6 2，x7 3，x8 4，…… 因为2010=4×502+2，所以x2010=2．

5．C 解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2， 2）． 记P（2a2，

b2)，其中a2 2,b2 2．根据对称关系，依次可以求得： P3( 4 a2，－2－b2)，P4(2 a2，4 b2)，P5( a2， 2 b2)，P6(4 a2，

b2)． 令P6(a6,b2)，同样可以求得，点P10的坐标为（4 a6,b2），即P10（4 2 a2,b2）

， 由于2010=4 502+2，所以点P2010的坐标为（2010，

2）． 二、填空题

勾股定理得

6．1

解：由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－11＝3a2＋6a－11＝1

7．15

解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

10 a b S， ① 15 a c 2S， ② x b c S． ③

由①②，得30（b c） S，所以，x=30． 故 t 30 10 5 15（分）． 8． y

13x+11

3

解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线l．

设直线l的函数表达式为y kx b，则

2k+b 3，

5k b 2，

解得 k 1 3

， 故所求直线l的函数表达式为y 1x+11． 11

33

b 3.9．

5 1

2

解：见题图，设FC m,AF n．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，

所以AB2

AF AC． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 m2

n(n m)，即

(nm)2 nm 1

0，解得nm

12，或n1m 2

（舍去）． 又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以AEAD AEBC AFn1AE1

FC

m 2,即AD

=2

． 10．9

解：因为n 1为2，，

3 ，k的倍数，所以n的最小值n0满足

DF，且相交于点N． 的中心，所以直线l把

CDEF的中心，所以， 直线MN即为所求的

3 ，k的最小公倍数． n0 1 2，， 3 ，k ，其中 2，， 3 ，k 表示2，，

由于 2，， 3 ， 8 840， 3 ， 9 2520， 2，，

3 ， 10 2520， 3 ， 11 27720， 2，， 2，，

因此满足2000 n0 3000的正整数k的最小值为9．

三、解答题

11．解：由3a 10ab 8b 5a 10b 0 可得 a 2b 3a 4b 5 0，（6分）

2

2

所以 a 2b 0，或 3a 4b 5 0. …………（8分）

22

（i）当a 2b 0时， u 9a 72b 2 36b 72b 2 36 b 1 34，

2

于是b 1时，u的最小值为 34，此时a 2，b 1. …………（13分）

22

（ii）当3a 4b 5 0时，u 9a 72b 2 16b 32b 27 16 b 1 11，

2

于是b 1时，u的最小值为11，此时a 3，b 1. …………（18分）

综上可知，u的最小值为 34. …………（20分）

12、解：(1)如图，连接OD.因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.又因为OA=OD,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD∥AE.因为DE⊥AE,所以DE⊥OD.而点D在⊙O上,所以DE是⊙O的切线. …………（7分）

(2)如图,连接BE与OD交于点H，作OG⊥AE于点G. 则 OG = DE =3， EG= DO=5，所以

AG = 9…………（10分）,因为EA∥OD， AO=OB，所以HO=…………（20分）

AE = 4+5= ，

=

1991

AE=，HD = 5-=，故HE

= 2222

13．解：设x1，x2，…，x2 008中有q个0，r个-1，s个1，t个2. …………（2分） r s 2t 200

则 ① …………（5分）

r s 4t 2008

两式相加得s 3t 1104.故0 t 368. …………（10分）

333

x2 x2008 r s 8t 6t 200, …………（12分） 由x1

333

得200 x1 x2 x2008 6 368 200 2408.…………（15分）

333由方程组①知:当t 0,s 1104,r 904时,x1 x2 …+x2 008 取最小值200; ……（17分） 333当t 368,s 0,r 536时, x1 x2 …+x2 008 取最小值2408. …………（20分）

17

，B1(1),…………（3分） 412

77

设其解析式为y a(x 1)2 (a 0),由A1(d,0),得a ，…………（7分） 2

12(d 1)12

772

(x 1) 于是y 为所求；…………（8分）

12(d 1)212

14．解：(1)易得b

（或者由A1(d,0),A2(2 d,0)为该抛物线与x轴的两个交点，设其解析式为y a(x d)(x 2 d)(a 0)，再代入点B1(1,同样可得）

（2）根据对称性易得A1、A2、A3、A4、A5...的横坐标依次为A1A2 2 2d,2A3 A2

d,

3

7

)，12

d,2-d,2+d,4-d,4+d,6-d,…（10分）

A 4A2

2

d,4， A12A分）2. d..（

要使三角形为直角三角形，则斜边上中线等于斜边的一半，因为0＜d＜1,斜边长都小于2，所以只要高y1,y2,y3...小于1才能构成直角三角形，…………（14分）

当x>3时，所对应的函数值都大于1，可以得到符合要求的顶点为B1、B2，………（16分） 再求得相应的d的值为

511

或.…………（20分） 1212

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5el4.html