2015浙江嘉兴中考数学试卷

浙江省嘉兴市2015年中考数学试卷

卷Ι（选择题）

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中唯一的正确选项，不选，多选，错选，均不得分） 1.计算2－3的结果为（▲）

（A）－1

（B）－2

（C）1

（D）2

考点：有理数的减法．.

分析：根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可． 解答：解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣1，故选：A．

点评：本题主要考查了有理数的减法计算，减去一个数等于加上这个数的相反数． 2.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（▲）

（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个

考点：中心对称图形．.

分析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解． 解答：解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称图有2个． 故选：B．

点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3.2014年嘉兴市地区生产总值为335 280 000 000元，该数据用科学记数法表示为（▲）

（A）33528×107 （C）3.3528×1010

（B）0.33528×1012 （D）3.3528×1011

- 1 -

考点：科学记数法—表示较大的数．.

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答：解：将335 280 000 000用科学记数法表示为：3.3528×1011． 故选：D．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10 000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件。由此估计这一批次产品中的次品件数是（▲） （A）5

（B）100

（C）500

（D）10 000

考点：用样本估计总体．.

分析：先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件10000件，直接相乘得出答案即可．

解答：解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件， ∴次品所占的百分比是：

，

=500（件），

∴这一批次产品中的次品件数是：10000×故选C．

点评：此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．

5.如图，直线l1// l2// l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1， l2， l3于点D，E，F .AC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则 （A） （C）

（B）2

的值为（▲）

（D）

考点：平行线分线段成比例．.

分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长， 根据平行线分线段成比例定理得到解答：解：∵AH=2，HB=1，

- 2 -

=，计算得到答案．

∴AB=3， ∵l1∥l2∥l3， ∴

=

=，

故选：D．

点评：本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键． 6.与无理数

（A）4

最接近的整数是（▲）

（B）5 （C）6

（D）7

考点：估算无理数的大小．.

分析：根据无理数的意义和二次根式的性质得出解答：解：∵∴

＜

＜，

，

＜

＜

，即可求出答案．

最接近的整数是=6，

故选：C．

点评：本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道7.如图，

在5和6之间，题目比较典型．

中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则☉C的

半径为（▲） （A）2.3 （C）2.5

（B）2.4

（D）2.6

考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．.

分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC?BC=AB?CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长． 解答：解：在△ABC中， ∵AB=5，BC=3，AC=4， ∴AC2+BC2=32+42=52=AB2， ∴∠C=90°，

- 3 -

如图：设切点为D，连接CD， ∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB，

∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD， 即CD=

=

=，

，

∴⊙C的半径为故选B．

点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用． 8.一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（▲）

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．.

分析：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式2（x+1）≥4的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式2（x+1）≥4的解集在数轴上表示出来即可．

解答：解：由2（x+1）≥4， 可得x+1≥2， 解得x≥1，

所以一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为：

．

故选：A．

- 4 -

点评：（1）此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要注意―两定‖：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：―小于向左，大于向右‖．（2）此题还考查了解一元一次不等式的方法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：―如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l与点Q .‖分别作出了下列四个图形. 其中做法错误的是（▲）

考点：作图—基本作图．.

分析：A、根据作法无法判定PQ⊥l；

B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断； C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断； D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断． 解答：解：根据分析可知，

选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q． 故选：A．

点评：此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．

10.如图，抛物线y=－x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，

抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=－1，则b=4；③抛物 线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1< x2，且x1+ x2>2，则y1> y2；④点C关于 抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG

- 5 -

周长的最小值为（A）① （C）③

，其中正确判断的序号是（▲）

（B）② （D）④

考点：二次函数综合题．.

分析：①根据二次函数所过象限，判断出y的符号； ②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值； ③根据y2；

④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．

解答：解：①当x＞0时，函数图象过二四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误； ②二次函数对称轴为x=﹣项错误； ③∵x1+x2＞2， ∴

＞1，

=1，当a=﹣1时有

=1，解得b=3，故本选

＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞

又∵x1＜1＜x2， ∴Q点距离对称轴较远， ∴y1＞y2，故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．

当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）； 则DE=

∴四边形EDFG周长的最小值为故选C．

=+

；D′E′=

，故本选项错误．

=

；

- 6 -

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注．

卷Ⅱ（非选择题）

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11.因式分解：ab – a=____▲____.

考点：因式分解－提公因式法．. 分析：提公因式a即可． 解答：解：ab﹣a=a（b﹣1）． 故答案为：a（b﹣1）．

点评：本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．

12.右图是百度地图的一部分（比例尺1:4 000 000）.按图可估测杭州

在嘉兴的南偏西____▲____度方向上，到嘉兴的实际距离约为____▲____. 考点：比例线段；方向角．.

分析：先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位，再量出杭州到嘉兴的图上距离，再根据比例尺的定义即可求解．解答：

解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上， 杭州到嘉兴的图上距离是4cm， 4×4000000=1600 0000cm=160km． 故答案为：45，160km．

点评：考查了方向角和比例尺的定义，比例尺=图上距离：实际距离． 13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____▲____.

考点:列表法与树状图法．.

- 7 -

分析：举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 解答：解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ． 故答案为：．

点评：本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．

14.如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC

的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为____▲____. 考点：翻折变换（折叠问题）．.

分析：如图，D为BC的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，所以折痕EF垂直平分AD，根据平行线等分线段定理，易知E是AC的中点，故AE=2.5． 解答：解：如图所示， ∵D为BC的中点，AB=AC， ∴AD⊥BC，

∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上， ∴折痕EF垂直平分AD， ∴E是AC的中点， ∵AC=5 ∴AE=2.5． 故答案为：2.5．

- 8 -

点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕EF垂直平分AD，是解决问题的关键．

15.公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：―它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.‖此问题中―它‖的值为____▲____. 考点：一元一次方程的应用．. 专题：数字问题．

分析：设―它‖为x，根据它的全部，加上它的七分之一，其和等于19列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出―它‖的值． 解答：解：设―它‖为x， 根据题意得：x+x=19， 解得：x=

，

， ．

则―它‖的值为故答案为：

点评：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 16.如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0,1），点P在线段OA上，以

AP为半径的☉P周长为1.点M从A开始沿☉P按逆时针方向转动，射线 AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0

（2）随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相应移动的路径长为____▲____. 考点：圆的综合题；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．.

分析：（1）当m=时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角∠APM为90°，根据PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，则有NO=AO=1，即可得到n=﹣1；

（2）当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在

- 9 -

Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=时，连接PM，如图3，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．

解答：解：（1）当m=时，连接PM，如图1，

则有∠APM=×360°=90°． ∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°． ∴NO=AO=1， ∴n=﹣1． 故答案为﹣1；

（2）①当m=时，连接PM，如图2，

∠APM=

360°=120°．

∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°． 在Rt△AON中，NO=AO?tan∠OAN=1×②当m=时，连接PM，如图3，

=

；

- 10 -

∠APM=360°﹣×360°=120°， 同理可得：NO=

．

+

=

．

综合①、②可得：点N相应移动的路经长为故答案为

．

点评：本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．

三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24题14分，共80分） 17.（1）计算：|－5|+

x21；

－

（2）化简：a（2－a）+（a+1）（a－1）.

考点：整式的混合运算；实数的运算；负整数指数幂．.

分析：（1）首先求出﹣5的绝对值，然后根据整式的混合运算顺序，计算乘法和加法，求出算式|﹣5|+

×2

﹣1

的值是多少即可．

（2）根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和，然后计算加法，求出算式a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）的值是多少即可． 解答：解：（1）|﹣5|+=5+2× =5+1 =6

（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1） =2a﹣a2+a2﹣1 =2a﹣1

×21；

﹣

- 11 -

点评：（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a

﹣p

=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义

计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． （3）此题还考查了绝对值的非负性，以及算术平方根的求法，要熟练掌握． 18.小明解方程﹣程．

=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过

考点：解分式方程．. 专题：图表型．

分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．

解答：解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；

正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x， 去括号得：1﹣x+2=x， 移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2， 合并同类项得：﹣2x=﹣3， 解得：x=，

经检验x=是分式方程的解， 则方程的解为x=．

- 12 -

点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是―转化思想‖，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

19.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.

（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角. （2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．.

分析：（1）由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；

（2）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质即可证明． 解答：解：（1）由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等； （2）选择∠DAG=∠AED，证明如下： ∵正方形ABCD，

∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB， ∵AF=DE，

在△DAE与△ABF中，

，

∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE=∠BAF，

∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°， ∴∠DAG=∠AED．

点评：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△DAE与△ABF全等． 20.如图，直线y=2x与反比例函数y = （k≠0，x>0）的图像交于点A（1，a），点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），BC⊥x轴于点C. （1）求k的值. （2）求△OBC的面积.

- 13 -

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.

分析：（1）由直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），先将A（1，a）代入直线y=2x求出a的值，从而确定A点的坐标，然后将A点的坐标代入反比例函数y=中即可求出k的值；

（2）由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积等于|k|，从而求出△OBC的面积．

解答：解：（1）∵直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），先

∴将A（1，a）代入直线y=2x，得： a=2

∴A（1，2），

将A（1，2）代入反比例函数y=中得：k=2， ∴y=；

（2）∵B是反比例函数y=图象上的点，且BC⊥x轴于点C， ∴△BOC的面积=|k|=×2=1．

点评：本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．

21.嘉兴市2010~2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下：

- 14 -

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求嘉兴市2010~2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数. ．．（2）求嘉兴市近三年（2012~2014年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数. ．．．．（3）用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额（只要求列出算式，不必计算出结果）.

考点：折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．.

分析：（1）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案； （2）根据平均数的定义，求解即可；

（3）根据增长率的中位数，可得2015年的销售额．

解答：解：（1）数据从小到大排列10.4%，12.5%，14.2%，15.1%，18.7%， 则嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数14.2%； （2）嘉兴市近三年（2012～2014年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数是： （799.4+948.6+1083.7+1196.9+1347.0）÷5=1075.12（亿元）；

（3）从增速中位数分析，嘉兴市2015年社会消费品零售总额为1347×（1+14.2%）=1538.274（亿元）．

点评：本题考查了折线统计图，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是一组由小到大排列的数据中间的一个或中间两个数的平均数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定―总数量‖以及和总数量对应的总份数．

22.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架

- 15 -

ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm.

（1）求∠CAO＇的度数.

（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．. 分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OB?sin∠BOD=24×

=12

，由C、O′、B′三点共线可得结果；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 解答：解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=∴∠CAO′=30°；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D， ∵sin∠BOD=

，

，

∴BD=OB?sin∠BOD， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOD=60°， ∴BD=OB?sin∠BOD=24×

=12

，

∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，

- 16 -

∴∠AO′C=60°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠AO′B′+∠AO′C=180°， ∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12

=3﹣12

， ）cm；

∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°， 理由；∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°， ∴∠EO′F=120°， ∴∠FO′A=∠CAO′=30°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，

∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键． 23.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第X天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系 可用图中的函数图形来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求 w关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多 少元？（利润=出厂价－成本） 考点：二次函数的应用．.

分析：（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；

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（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答； 解答：解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只， 由题意可知：30n+120=420， 解得n=10．

答：第10天生产的粽子数量为420只． （2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1； 当9≤x≤15时，设P=kx+b， 把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，解得

，

，

∴p=0.1x+3.2，

①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）； ②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228， ∵x是整数，

∴当x=9时，w最大=714（元）；

③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336， ∵a=﹣3＜0， ∴当x=﹣

=12时，w最大=768（元）；

综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．

24.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做―等邻边四边形‖.

（1）概念理解

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是―等邻边四边形‖.请写出你添加的一个条件. （2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的―等邻边四边形‖是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

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②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿 ∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是―等邻边四边形‖，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？ （3）应用拓展

如图3，―等邻边四边形‖ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=

AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.

考点：四边形综合题．.

分析：（1）由―等邻边四边形‖的定义易得出结论；

（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用―等邻边四边形‖定义得邻边相等，得出结论；

②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=用―等邻边四边形‖定义分类讨论，由勾股定理得出结论；

（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．

解答：解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）； （2）①正确，理由为：

∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是―等邻边四边形‖，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个―等邻边四边形‖是菱形； ②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=

，

，再利

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=

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，

（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2； （II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=（III）当A′C′=BC′=

时，

；

如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB， ∵BB′平分∠ABC， ∴∠ABB′=∠ABC=45°， ∴∠BB′D=′∠ABB′=45°， ∴B′D=B， 设B′D=BD=x， 则C′D=x+1，BB′=

x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2 ∴x2+（x+1）2=（

）2，

解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去）， ∴BB′=

x=

，

（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，

与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2， 设B′D=BD=x， 则x2+（x+1）2=22， 解得：x1=∴BB′=

x=

，x2=

；

（不合题意，舍去），

（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5， ∵AB=AD，

∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF， ∴△ABF≌△ADC，

∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠BAD=∠CAF，∴△ACF∽△ABD， ∴

=

=

，∴

BD， =

=1，

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∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°， ∴∠ABC+∠ABF=270°， ∴∠CBF=90°， ∴BC2+FB2﹣CF2=（∴BC2+CD2=2BD2．

BD）2=2BD2，

点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理解新定义，分类讨论是解答此题的关键．

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∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°， ∴∠ABC+∠ABF=270°， ∴∠CBF=90°， ∴BC2+FB2﹣CF2=（∴BC2+CD2=2BD2．

BD）2=2BD2，

点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理解新定义，分类讨论是解答此题的关键．

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