新编概率论与数理统计（华东理工大学出版社）习题8答案

华东理工大学

概率论与数理统计

作业簿（第八册）

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第二十二次作业

一．填空题：

1．假设检验的基本思想基于“小概率反例否定性”。 2．在控制了犯第一类错误的概率后，要尽量减小犯第二类错误的概率，可以采用的办法是 增加样本容量 。

二. 选择题：

1. 假设检验中分别用H0和H1表示原假设和备择假设，则显著性水平?的含义为( C )。

A.P{接受H0|H0为真} B. P{接受H0|H0为不真} C. P{拒绝H0|H0为真} D. P{拒绝H0|H0为不真} 2. 假设检验时，下面哪一个不属建立原假设的一般原则( B ) A. 包含等号 B. 原假设和备择假设对称 C. 尊重原假设 D. 控制后果严重性

三. 计算题：

1．已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布N(54,0.752)，在某日生产的零件中抽取10件，测得质量（g）如下：

54.0 ，55.1 ，53.8，54.2 ，52.1 ，54.2，55.0 ，55.8，55.1，55.3

如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异（显著水平

??0.05) ？

解：由样本观测值计算,得X?54.46，本问题相当于要检验

H0:??54.46,H1:??54.461

，

考虑到总体服从正态分布N(54,0.752),故采用双侧U检验法，

??取检验统计量的测试值为UX??0?54.46?540.7510?1.9395，

?0n由水平??0.05,查表得U1??2??U，故接受H0，即该?U0.975?1.96,由于U0.975日生产得零件的质量的均值没有显著差异。

2．从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：

设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为3.25（显著水平??0.05）。

解:由样本观测值计算,得X?3.252,Sn?1?0.013，本问题相当于要检验

H0:??3.25,H1:??3.25

考虑到总体服从正态分布N(?,?2),其中方差?2未知,故采用双侧t检验法， 取检验统计量的测试值为T??由水平??0.05，查表得t1?X??0Sn?1n?3.252?3.250.0135?0.3440，

?2(n?1)?t0.975(4)?2.776，

由于T??t0.975(4)，故接受H0，

即可以认为这批矿砂中的镍含量得平均值为3.25。

3．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量7次。测得温度（?

C）： 112.0，113.4 ， 111.2 ，112.0 ，114.5 ，112.9，113.6。而用某精确办法

测得温度为112.6（可看作温度真值），试问热敏电阻测温仪间接有无系统偏差？ 解：由样本观测值计算，得X?112.8,Sn?1?1.1358，

本问题相当于要检验H0:??112.6,H1:??112.6， 考虑到方差?2未知，故采用双侧t检验法。

X??0112.8?112.6?T???0.4659， 计算检验统计量的值为

Sn?1n1.13587由水平??0.05，查表得t1??2(n?1)?t0.975(6)?2.4469，

2

由于T??t0.975(6)，故接受H0，即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差.

4．某工厂生产的铜丝的折断力（N）服从正态分布N(2820,402)，某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：

2830，2800，2795，2820，2850，2830，2890，2860，2875 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的方差也是402(N2)(??0.05)？ 解：由样本观测值计算，得X?2833.5,Sn2?1?1228.0556，

本问题相当于要检验H0:?2?402,H1:?2?402， 考虑到均值?未知，故采用双侧?2检验法，

?取检验统计量的测试值为??由水平??0.05，查表得

?21?2(n?1)Sn?12?02?9?1228.0556402?6.9078

?2(n?1)??0.975(9)?19.023,??(n?1)??0.025(9)?2.7002222，

?由于?20.025故接受H0，即可以认为该日生产的铜丝折断力(9)????0.975(9)，

22的方差为402（N2）。

第二十三次作业

一．填空题：

1．设需要对某正态总体（方差?2已知）的均值进行假设检验H0:??15，

H1:??15，显著性水平为?，采用的统计量为u?x?15?/n，拒绝域为

u??u1??。

2．进行5次试验，测得锰的熔化点（?C）如下：1269，1271，1256，1265，1254，

已知锰的熔化点服从正态分布。现要根据以上数据判断猛的熔化点是否显著高于1250?C（??0.01），采用的原假设为H0:??1250，备择假设为

3

H1:??1250，采用的统计量T?t(n?1)，拒绝域为T?3.7469x?15sn?1/n在H0为真时服从的分布为

。

二. 选择题：

1．对某产品的制造工艺的改革效果进行评价，从工艺改革前、后所生产的产品中各抽查200件样品，其中次品数分别为20和13。若要判断能否认为工艺改革后显著降低了产品的次品率，可以采用假设检验。设工艺改革前后的次品率分别为p1,p2，此时要检验的假设为（ D ）（??0.05）

A. H0:p1?p2，H1:p1?p2 B. H0:p1?p2，H0:p1?p2 C. H0:p1?p2，H1:p1?p2 D. H0:p1?p2，H1:p1?p2 2．在检验某产品的质量时，要通过抽样了解其某个服从正态分布的质量指标的偏差是否为标准范围内，采用的统计量在原假设成立的情况下服从的分布为（ C ） A. 正态分布 B. t分布 C. ?2分布 D.F分布

三. 计算题：

1．某种导线的电阻（单位：?）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005。今在一批导线中任取9根，测得样本标准差Sn?1?0.007，这批导线的电阻的标准差比起规定的电阻的标准差来是否显著地偏大(??0.05)？ 解：检验H0:?2?0.0052,H1:?2?0.0052，

考虑到均值?未知，故采用单侧?2检验法。 取检验统计量??2(n?1)Sn?12?0?22，在H0真时服从?2(n?1)。

2计算统计量的值：??(n?1)Sn?1?02?8?0.0070.00522?15.68

?由??0.05，查表得?21??(n?1)??20.95(8)?15.507，由于???0.95(8)22，故拒绝

H0，即认为电阻的标准差显著偏大。

4

2．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，的样本含锌平均值及样本方差如下： 东支： x?0.230 Sx2?0.1337 西支： y?0.269 Sy2?0.1736

若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样(??0.05)？ 解：检验H0:?1??2,H1:?1??2，采用双侧t检验法

检验统计量为T?Swx?y1m?1n，在H0真时服从t(m?n?2)

计算Sw???T8?0.1337?7?0.173615?0.15232，

X?YSw1m?1n1??0.230?0.2690.1523219?18??0.2056

由??0.05查表得t?2(m?n?2)?t0.975(15)?2.1314，

由于T??t0.975(15)，故接受H0，即这两支矿脉含锌量的平均值可以看作一样。 3．为了提高振动板的硬度，热处理车间选择两种淬火温度T1及T2进行试验，测得振动板的硬度数据如下：

T1：85.6， 85.9，85.7， 85.8， 85.7， 86.0， 85.5， 85.4 T2：86.2， 85.7， 86.5, 85.7， 85.8， 86.3， 86.0， 85.8 设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布，检验

（1） 两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异(??0.05)？ （2）淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响(??0.05)？

解：由样本观测值计算得：X?85.7,Y?86,Sx2?0.04,Sy2?0.09143，m?n?8

(1)检验H0:?12??22,H1:?12??22，使用双侧F检验。

5

检验统计量F?Sx22SxS22y在H0真时服从F(7,7)

??计算FSy?0.040.09143?0.4375，

由??0.05，得F0.975(7,7)?4.99,F0.025(7,7)?1F0.975(7,7)?14.99?0.2004

??F由于F0.025(7,7)?F(7,7)，故接受H0， 0.975即两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。

(2)检验H0:?1??2,H1:?1??2，由于?1,?2未知，但上面已经检验了它们的方差无显著差异，即可以认为?1??2，故采用双侧t检验法。 检验统计量为T?Swx?y1m?1n，在H0真时服从t(m?n?2)

计算Sw???T7?0.04?7?0.0914314?0.2563

X?YSw1m?1n?85.7?860.256318?18??2.3406

由??0.05得t1??2(m?n?2)?t0.975(14)?2.1448，

由于T??t0.975(14)，故拒绝H0，即淬火温度对振动板硬度有显著影响。

6

检验统计量F?Sx22SxS22y在H0真时服从F(7,7)

??计算FSy?0.040.09143?0.4375，

由??0.05，得F0.975(7,7)?4.99,F0.025(7,7)?1F0.975(7,7)?14.99?0.2004

??F由于F0.025(7,7)?F(7,7)，故接受H0， 0.975即两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。

(2)检验H0:?1??2,H1:?1??2，由于?1,?2未知，但上面已经检验了它们的方差无显著差异，即可以认为?1??2，故采用双侧t检验法。 检验统计量为T?Swx?y1m?1n，在H0真时服从t(m?n?2)

计算Sw???T7?0.04?7?0.0914314?0.2563

X?YSw1m?1n?85.7?860.256318?18??2.3406

由??0.05得t1??2(m?n?2)?t0.975(14)?2.1448，

由于T??t0.975(14)，故拒绝H0，即淬火温度对振动板硬度有显著影响。

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