高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式（第2课时）导学案

。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2课时 诱导公式五、六

1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法.

2.会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.

诱导公式五、六如下表： 公式五 公式六 ?πsin?－α?2?πsin?＋α?2?＝ ???＝ ???πcos?－α?2?πcos?＋α?2?＝ ???＝ ??公式五和公式六可以概括为： π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看2成 时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式

诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦.“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号.

【做一做1－1】 已知sin 25.7°＝m，则cos 64.3°等于( )

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A.m B.－m C.m D.1－m 【做一做1－2】 已知cos 10°＝a，则sin 100°＝________.

答案：cos α sin α cos α －sin α 锐角 【做一做1－1】 A 【做一做1－2】 a

1.对诱导公式五、六的认识

剖析：(1)公式五和公式六可概括如下： π

±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α2

看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变(正余互变)，符号看象限”.

(2)把α看成锐角，实际上α可以为任意角. (3)公式五或公式六的作用：可以实现正弦函数与余弦函数的转化，在三角恒等变化中，起到改变函数名称的作用.

2.记忆六组诱导公式

ππ

剖析：因为任意一个角都可以表示为k·＋α(其中|α|＜，k∈Z)的形式，所以六

24

1

π

之间角的三角函数求值问4

πππππ

题.2kπ＋α＝4k·＋α，－α＝0·－α，π±α＝2·±α，±α＝1·±α，

22222

π

则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·

2

±α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的

?11π＋α?中的k＝11是奇数，且把α看成锐角时，

“奇”和“偶”指k的奇偶性.如sin??

?2?

11π?11π＋α?＝－cos α.

＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以sin??2?2?组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0～

题型一 求值

3?π??π?【例1】 已知sin?＋α?＝，求cos?－α?的值.

?6?3?3??π??π?π

分析：由于?＋α?＋?－α?＝，所以考虑用公式五化简求值.

?6??3?2

反思：已知关于α的三角函数值，求其他三角函数时，通常利用角的整体代入.由于?π＋α?＋?π－α?＝π,则借助于诱导公式,且???表示???,从而顺利解决.若?6??3?2????63????k?(k?Z),则已知α与β中任意一个角的三角函数值,就可利用整体代入求出另2一个角的三角函数值.

题型二 化简三角函数式

?5?cos?π－α?cos(－α)?2?

【例2】 化简＝__________.

321????sin?π＋α?cos?π－α??2??2?

题型三 证明三角恒等式

?3π－α?cos(6π－α)

tan(2π－α)cos??

?2?

【例3】 求证：＝－tan α.

3π??3π??sin?α＋?cos?α＋?2??2??

分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边． 题型四 易错辨析

易错点 诱导公式的使用

π?π??5π?【例4】 已知sin?－α?＝a,0＜α＜，求sin?＋α?. 2?4??4?

ππππ

错解：∵0＜α＜，∴－＜－α＜，

2444

?π?∴cos?－α?＞0， ?4?

?3π－?π－α?π???5π?2?π2

∴cos?－α?＝1－sin?－α?＝1－a，sin?＋α?＝sin??

?4??4??4??2?4?π?2cos?－α?＝1－a. ?4?

??＝

????

2

3π?π???－?－α??中，要错因分析：对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin?

???2?4π

把“－α”看成锐角来确定三角函数值符号．

4

反思：诱导公式共有六组16个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．

答案：

【例1】 解：∵πππ

6＋α＋3－α＝2

，

∴π?3－α＝π2－??π

?6

＋α??

.

∴cos??π??π?π??3－α???＝cos??2－??6

＋α????

＝sin??π?6＋α???＝33.

【例2】 －1

cos?

?2π＋?

?π?2－α??原式＝

?

????

cos α

sin???π＋??π?2

＋α

???? ??cos???10π＋??π?2－α??????

cos??π－α??cos ＝

?2?

αsin αcos －sin??π?2＋α???cos??π?2

－α

?＝α

?－cos αsin α

＝－1. ?

【例3】 证明：左边＝－α

－sin α－α

－cos αsin α

＝

－tan α－sin αα

－cos αsin α

＝－tan α＝右边，

∴原等式成立．

【例4】 正解：∵0＜α＜

π2，∴－π4＜π4－α＜π4

， ∴cos??π?4－α???＞0，

∴cos??π－α??＝1－sin2?4?

??π?4－α???

＝1－a2

，

sin??5π?4＋α???＝sin ???π＋??π?4＋α?????

?

＝－sin??π???4＋α???＝－cos ??π?2－??π?4＋α

????

＝－cos??π?4－α??2

?

＝－1－a.

3

1．已知sin??π?2?????＝34，则sin??π??2????＝__________. sin??15π????cos(??π)2．化简?2?2sin??9π??3＝__________.

?2????cos?π?2?????3．已知sin??π?3?π????4??＝5， 那么cos????4??的值是__________．

sin??π?4．求证：?2?????cos(π??)2sin??π?＝1?tan?.

?2?????sin(π??)cos??π5．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求?2?????sin(?π??)cos?的值．?11π?2?????sin??9π??2???? 答案：1.

34 ∵sin??π?2????3?＝cos α＝4， ∴sin??π?2?????＝cos α＝34.

sin??8π?????π???π?2．－1 原式＝??2????cos??2????sin???4π???π????π??

?2??????cos??π???2??????sin????π?＝?2??sin?sin??π?2???

??????cos??π???2??????＝?cos?sin?cos?[?(?sin?)]＝－1.

3．?3 ∵??π?5???4????????π?4??＝π2， ∴α＋

πππ?4＝2??????4??，

4

∴cos?????π??π?π??＝ cos????????4?4???2?π?3＝. ??4?5＝?sin?????4．证明：左边＝

cos??cos?2cos?2＝＝＝右边，∴原等式成立．

cos??sin?cos??sin?1?tan?5．解：∵角α的终边经过点P(－4,3)，

∴tan α＝

yx＝?34. ∴原式＝?sin??sin??sin??cos?＝tan α＝?34.

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