2018无锡市一模数学试题含答案

江苏省无锡市2018届高三年级第一次模拟考试

数 学试题

(满分160分，考试时间120分钟)

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A＝{1，3}，B＝{1，2，m}，若A∪B＝B，则实数m＝________． a＋3i

2. 若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________．

1－2i

3. 某高中共有学生2 800人，其中高一年级有960人，高三年级有900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级的学生人数为________．

4. 已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：2x＋y－1＝0，l2：ax－by＋3＝0，则直线l1⊥l2的概率为________．

5. 根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为________．

6. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

x≥2，??

7. 已知变量x，y满足?x＋y≤4，目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为

??2x－y≤c，________．

8. 若函数y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π

sin?2x－?的图象重合，则φ＝________．

2??

5

9. 已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an的最

4大值为________．

10. 过圆x2＋y2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为________．

x2y2x2y2

11. 已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，

ab1612PF21设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________．

PF2

12. 在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝

π

，M为DC的中点，N为平面3

π

个单位长度后，与函数y＝2

→→→→→→

ABCD内一点，若|AB－NB|＝|AM－AN|，则AM·AN＝________．

x2＋2x－11

， x≤－，2x2

13. 已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)

1＋x?1log1?， x>－，2?2?2

??

???

＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是______________．

14. 若函数f(x)＝(x＋1)2|x－a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF. (1) 求证：AC⊥平面BDE； (2) 求证：AC∥平面BEF.

16. (本小题满分14分)

3

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，C＝2A.

4(1) 求cos B的值；

(2) 若ac＝24，求△ABC的周长．

17. (本小题满分14分)

π

如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB＝，AB⊥

3︵

BD，BC是以A为圆心，1km为半径的圆弧形小路．该市拟修建一条从点C通往海岸的观光︵︵

专线CPPQ，其中P为BC上异于点B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB＝θ.

︵

(1) 证明：观光专线CPPQ的总长度随θ的增大而减小；

︵

(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍．当θ取何值时，观︵

光专线CPPQ的修建总成本最低？请说明理由．

18. (本小题满分16分)

x2y22已知椭圆E：2＋2＝1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分

ab2别为左、右顶点，原点O到直线BD的距离为

6

.设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连结PA3

交椭圆于点C.

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程； (3) 求过点B，C，P的圆的方程(结果用t表示)．

19. (本小题满分16分)

1111

1－??1－?…?1－?＝，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和． 已知数列{an}满足??a1??a2??an?an(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值； (3) 是否存在k∈N*，使得akak＋1＋16为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

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