12微分方程

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例12.1】xy????3xy???y??xy?3x?1是 阶微分方程.

2234解 微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.

【例12.2】与积分方程y??xx0f(x,y)dx等价的微分方程初值问题是 .

解 方程两边求导得y??f?x,y?,当x?x0时y?0.所以等价的初值问题是

??y??f?x,y? ???yx?x0?0????

（二）主要方程类型

1 可分离变量的方程 一般形式

dy?f1?x?f2?y? 或 M1?x?M2?y?dx?N1?x?N2?y?dy?0 dx解法 先分离变量g?y?dy?f?x?dx, 再两边积分g?y?dy???f?x?dx,

可得通解 G?y??F?x??C. 例

【例12.3】 求微分方程xy??y?0满足初始条件y?1??2的特解 解 分离变量，得

y?y??1x. 两边积分，得 lny??lnx?lnC. 通解为 y?Cx. 将初始条件y?1??2代入，得所求特解为y?2x. 【例12.4】求下列微分方程的通解. （1）

dy?3xy?xy2dx. （2）y??1?x?y2?xy2. (3) ???xy?1?xy???x?yy??y?1??2.

?解 （1）将变量分离,

dy3y?y2?xdx, 两边积分,得

13?lny?ln3?y??12x2?c1，

解出 y33C12x23?y?ee.

32xy记 C??e,则 ?Ce2.

3?y

3C12（2）将y??1?x?y2?xy2右端分解因式，得，y???1?x?1?y，

??x2dy?C分离变量，有 ??1?x?dx.积分得 arctayn?x?221?yx2?x?C. 即通解为 arctany?2 （3）直接可以看出,y?1是方程的一个特解.

ydyxdx?, 2y?11?x12两端积分得到 y?lny?1?ln?1?x??C1.

2当y?1时, 可以将方程写成 两端取指数得 当y?1时, eyyey?lny?11?eln?1221?x?eC1.

?y?1??eCC11?x2; 1?x2. y当y?1时,ey?1??eC记C??e1,上两式又可写作e?y?1??C1?x2?C?0?.

由于y?1是方程的一个解,故上式中常数C也可以为零, 于是方程通解为 ey?y?1??C1?x2?C?R?.

将y?1??2代入通解得到 C?12e, 212e1?x2. 2所求解为 ey?y?1??【注】在(1)解题过程中，把任意常数?e3c1改写为C.适当地进行改写，使解的形式更为简便.

（2）可化为可分离变量的方程

222? 【例12.5】求满足方程xy?1dx?2xdy?0且过点?1,2?的积分曲线.

??解 不能直接分离变量，令xy?u, 则 du?ydx?xdy. 原方程化为

u?du?dx??0, ?u?1?dx?2x??x??2即

du?u?1?2??dx.2x

积分得 ?11??lnx?Cu?12

11lnx??C2xy?1

回代得方程的通解

再代入x?1,y?2,得C??1.故所求积分曲线为

11lnx???1.2xy?1

? 【例12.6】求方程y??1?x?y?2的通解.

解 不能直接分离变量，令x?y?u，则y?x?u, 且 代入原方程，得

dydu?1?, dxdxdu1duu2?11??,?2

dxu2dxuu2du?dx， 分离变量，得 2u?1即 ?1???1??du?dx. 2u?1?积分，得 u?1u?1ln?x?C1， 2u?1x?y?1?Ce2yx?y?1

将u?x?y回代，即得通解

2.齐次方程 一般形式

dy?y????? dx?x?解法(变量替换): 令u?ydydu?u?x，于是，原方程?y?ux, dxdxx?u?xdududx???u?(记住)?分离变量? ?两边积分dx??u??uxydudxu?积分后再用回代，便得通解. ?????u??u?xxdyy?yln的通解. dxxdyyyy?ln, 此方程为齐次方程,令u?,则y?xu,方程化为 解 方程变形为

dxxxx【例12.7】求xdu??x?u?x??xulnu,

dx??整理且分离变量得

dudx?.

u?lnu?1?x积分得 ln?lnu?1??lnx?lnC .

Cx?1即 lnu?1?Cx,u?e,

通解为 y?xeCx?1.

3. 一阶线性微分方程 一般形式 解法 常数变易法 1o

求出

dy?P?x?y?Q?x? dxdydy?P?x?y?Q?x?所对应的齐次方程?P?x?y?0的通dxdx?P?x?dx解:y?Ce?.

?P?x?dxdydC?x???P?x?dx?.e?C?x?e??P?x?dxP?x? 2o常数变异法令y?C?x?e?, ?dxdxP?x?y

代入原方程中?dC?x???P?x?dxP?x?dxdC?x??Q?x?e?e?Q?x（记住） , 即. ?dxdxP?x?dx3o解出C(x)?Q?x?e??dx?C.

4o代回C?x?得通解，y??Q?x?e?P?x?dxdx?C?e??P?x?dx

??????P?x?dx?P?x?dxdx?Ce??P?x?dx. ???e?Qxe?

4. 伯努利方程

dy?P?x?y?Q?x?yn ?n?0,n?1? dx1?n解法: 变量替换法令z?y例

,化为一阶线性微分方程.

【例12.8】 微分方程y??ytanx?cosx的通解为 . 解 设P?x??tanx,Q?x??cosx，所以所求微分方程的通解为

?tanxdx??tanxdxdx?C??cosxx?C. y?e?cosxe???????【例12.9】解下列方程 （1）

dy1sinxdy?y??y?5. . （2）?tanx?dxxxdx2（3）xdy?ydx?y2eydy. （4）1?ydx??arctany?x?dy.

??1sinx,Q?x?? xx?p?x?dx??p?x?dxQ?x?dx?C? e方程的通解为 y?e??????11??dx?dxsinx???ex??exdx?C?

x??解 （1）公式法 在方程中，P?x??1??cosx?C?. xdy1cc?y?0，的通解lny?ln或者y?. 常数变易法 对应的齐次方程

dxxxxc?x?令y?，并代入原方程得，c??x??sinx,c?x???cosx?c,代入得原方程的通解

x1为 y???cosx?c?.

x（2）将方程化为标准形式y??ycotx?5cotx,这里P??cotx,Q?5cotx，所以

?方程的通解为

?p?x?dx??p?x?dxQ?x?dx?C? y?e?e?????cotxdx???cotxdx? ?e?e5cotxdx?C??????sinx??5cscx?C?.

即原方程的通解为 y?Csinx?5.

（3）将y看作自变量,将x看作y的未知函数,方程改写成 一阶线性方程.对应的齐次方程方程的通解 x?cy?ye.

（4）将y看作自变量,将x看作y的未知函数,方程变形为 这是一阶非齐次线性方程,它的通解是

11??1?y2dy?arctany?1?y2dyx?eedy?C? ??2???1?y??arctany[?arctany?earctanydarctany?C] ?e?dxx???yey， 这是dyydxx??0的通解是 x?cy, 然后用常数变异法得原dyydxxarctany?? 22dy1?y1?yy分部积分求出原方程的解为 x?arctany?1?Ce?arctany. （5）求伯努利方程

【例12.10】求下列方程的通解.

dyyy2?x32?6?xy； （2）y??（1）. dxx2xydy6?y??xy2，此方程是伯努利方程. dxx6?2dy?y?1??x. 两边除以y2，得 ydxxdzdy??y?2令z?y?1， 则 dxdxdz6?z?x， 方程变为

dxx解 （1）化为标准形式

cx2这是一阶线性微分方程.解得 z?6?

x8还原y得原方程的通解

1cx2x6x8?6?或者??c. yx8y8yx2?1?y，此方程是伯努利方程. （2）方程化为标准形式y??2x212x2y?. 以y乘两端，得 yy??2x2122令z?y，得 z??z?x，这是一阶线性微分方程，

x?x2?解得 z?x??C?.

?2?将z?y代回，得原方程的通解为

2?x2?y?x??C?.

?2?25．全微分方程

【例12.11】求下列方程的通解.

（1）x?ydx??x?2y?dy?0. （2）(1?e)dx?e(1?)dy?0.

2??xyxyxy32（3）?y?1?dx??x?y?2?dy?0. （4）ydx?x?3xydy?0.

??2（5）xdy?ydx?1?xdx?0

??解 （1）方法一 设 P?x2?y,Q?x?2y,因为P,Q在全平面连续可微, 且

?Q?P??1,知原方程为全微分方程. 由公式，得 ?x?y u?x,y??????x0x0xP?x,0?dx??Q?x,y?dy2y?0?dx???x?2y?dy00y

?所以此方程的通解是

13x?xy?y2 313x?xy?y2?C. 32方法二 设 P?x?y,Q?x?2y,因为P,Q在全平面连续可微,且方程为全微分方程. 用不定积分求解.

因为

?Q?P??1,知原?x?y?u?P?x,y??x2?y ?x对上式两边对x积分，得

u?x,y???P?x,y?dx???x2?y?dx???y?

13x?xy???y?. 3?u??1??Q?x,y? ,?x3?xy???y???x?2y 又因为 ?y?y?3?2 故??y???y. ???y???2y，?从而 u?x,y??所以此方程的通解是

13x?xy?y2. 313x?xy?y2?C. 3

（2） 设P?1?e, Q?e(1?xxyxyx). y?Qx?P所以此方程为全微分方程. ??2ey??xy?y

方法一 （用公式计算）设此方程的通解为u?x,y??c,在平面上取一确定点?0,1?,

则 u?x,y???Q?0,y?dy??P?x,y?dx

10y1x?x??0?ye?1??dy???1?e?dx0??

?y???x??ydy???1?e?dx0?? ??x0yyx????y1?x?ye?1.

因此方程的通解为 x?ye?C.

方法二 （用分项组合法求解） 将方程各项重新组合为 dx?edy?yed? dx?edy?e?xyxyxyxyxyxyxy?x???0, ?y??ydx?xdy???0y??

积分，得 d(x?ye)?0， 故通解为 x?ye?C.

（3）在方程?y?1?dx??x?y?2?dy?0中， 设P?x,y??y?1,Q?x,y??x?y?2，易知 现将方程写成

ydx?xdy?dx?ydy?2dy?0，

xy?P?Q??1，此方程为全微分方程. ?y?x?12?y??0. 2??12积分得通解 xy?x?2y?y?C1,

22或 2xy?2x?4y?y?C.

或 d?xy??dx?2dy?d??P?Q?1?1?9x2y2?,所以此方程不是全微分方程.?y?x原方程改写为 ydx?xdy?3x3y2dy?0 (1),

11（4）设P?y,Q?x?3x3y2, 因为取

?xy?3为积分因子.方程(1)两端同乘以

?xy?

3,原方程变为

ydx?xdy?xy?3?3dy,y?1?即 d????d?3lny??0,

?2?xy?2???1积分，得原方程的通解为 ?3lny?C. 22?xy?（5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式

xdy?ydx,乘以函数

1111,,,中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时x2y2xyx2?y21,将原方程变成全微分方程x2使后面一项也成为全微分,可取积分因子??x,y??xdy?ydx?1?2,积分得到原方程通解??1dx?0y?x?1?Cx. ?2?2x?x?6. 可降阶的高阶微分方程

n1) y???f?x?型

解法: 对方程两边连续积分n次,便可得到其含有n个任意常数的通解. 2) y???f?x,y??型(无y项)

解法: 令y??P?x?,y???P??x?,代入原方程y???f?x,y??,则有P??f?x,P?,设其解为P???x,C1?,则y????x,C1?,得通解y???x,C1?dx?C2.

?3) y???f?y,y??型（无x项） 解法: 令y??P?y?,则y???dPdPdydP??P, dxdydxdy有PdP?f?y,P?——自变量为y,函数为P的微分方程.设其解为P???y,C1?代回原dy变量,y????y,C1?变量分离得通解

（ⅰ）y?f(x)型

ndy???y,C1??x?C2.

【例12.11】求微分方程y????x?cosx的通解. 解 两边积分，得 y???两边再积分，得 y??12x?sinx?C1, 213x?cosx?C1x?C2, 6C14x?sinx?1x2?C2x?C3. 两边再积分，得通解 y?242n（ii）y?f(x,y?)型

?xy???y?lny??【例12.12】解初值问题?y?1??0.

???y?1??edyd2ydp?解 令y??p?x??, , 代入方程,则原方程化为

dxdx2dxdpx?plnp, dxCx这是可分离变量方程,解出 p?e1,

1Cx于是原方程的通解为 y??p?x?dx?Ce1?C2,由初值条件

1?1?y?1???C1eC1x?C2??0,

??x?11C得到 Ce1?C2?0,

1再由初值条件 y??1??eC1xC1x?1?e

又得到 y??1??e?e,

于是 C1?1,C2??e.

所求特解为y?ex?e.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.

（iii）y???f(y,y?)型

?dy?1???d2y?dx?的通解.

【例12.13】求微分方程2?dx2ydyd2ydpdydpdp1?p2,则2?解 令p?p?y??,代入原方程，得p ??p?，dxdxdydxdydy2y是一阶线性齐次微分方程. 分离变量

22pdpdy?, 21?py2积分得 ln1?p?lny?lnC1

???dy?即 1????C1y,

?dx?dy分离变量 ?dx

?C1y?12两端积分 ，得 ?C1y?1?x?C2,

C142化简得通解 2?C1y?1???x?C2?.

C12

7. 线性微分方程解的理论

1) 设y1,y2是二阶齐次线性方程y???p?x?y??q?x?y?0的解,则C1y1?C2y2也是它的解.

2) 二阶齐次线性方程y???p?x?y??q?x?y?0一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.

(n?1)(n?1)3) 设y1为y(n)?P??? ???Pn?1(x)y?f1(x)的解,y2为y(n)?P1(x)y1(x)y(n?1)Pn?1(x)y?f2(x)的解,则y1?y2为y(n)?P???P1(x)yn?1(x)y?f1(x)?f2(x)的解.

4)设y*为y???p(x)y??q(x)y?f(x)的一个特解,y为对应的齐次方程y???p(x)y??

q(x)y?0的通解，则y*?y为y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解.

8. 二阶常系数线性方程

1) 二阶常系数齐次线性方程y???py??qy?0. 特征方程??p??q?0的两个根r1,r2 两个不等的实根r1?r2 两个相等的实根r1?r2 一对共轭复根r1,2???i?

2）n阶常系数齐次线性方程 y?n?2方程y???py??qy?0的通解形式 y?C1er1x?C2er2x y??C1?C2x?er1x y?e?x?C1cos?x?C2sin?x? ?p1y??n?n?1??p2y?n?2????pn?1y??pny?0

微分方程通解种对应的项 特征方程r?p1r单实根r ?n?1????pn?1r?pn?0的根 Cerx

单复根r1,2???i? e?x?C1cos?x?C2sin?x? erx?C1?C2x???Ckxk?1? k?1e?x?C?Cx???Cx??cos?x12k?k重实根r 一对重复根r1,2???i? ??D1?D2x???Dkxk?1?sin?x??

3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

y???py??qy?f?x?通解为y?y*?Y.其中Y为对应齐次方程的通解,y*为该方程的

一个特解.

4) 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 1°f?x??ePm?x?型

?x特征方程r?pr?q?0的两个根r1,r2 2方程y???py??qy?ePm?x?的特解形式 ?x??r1,r2 y*?Qm?x?e?x ??r1,??r2 y*?xQm?x?e?x y*?x2Qm?x?e?x ??r1?r2 ?x2°f?x??e??Pl?x?cos?x?Pn?x?sin?x??型 (其中m?max?l,n?)

特征方程r?pr?q?0的两个根2y??py??qy?e?x??Pl?x?cos?x?Pn?x?sin?x??的特解形式 r1,r2 r1,2???i? r1,2???i? ?1??2?y*?e?x?Rxcos?x?R???x?sin?x?mm?? ?1??2?y*?xe?x?Rxcos?x?R???x?sin?x?mm?? 【例12.14】 已知y1?1,y2?x,y3?x2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 .

2解 y2?y1?x?是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方1,y?3?y1?x12程的通解为y?C1?x?1??C2x?1?1.

??【例12.15】 微分方程y???2y??2y?ex的通解为 . 解 原方程相应的齐次线性方程为y???2y??2y?0.其特征方程为

r2?2r?2?0.

x特征根为r1,2?1?i.故齐次方程的通解为Y?e?C1cosx?C2sinx?.

因 ??1，不是特征根，从而设其特解为y*?aex，把它代入原方程，得a?1，由此原方程的通解为Y?ex?C1cosx?C2sinx??ex.

【例12.16】设?为实数,求方程y????y?0的通解. 解 此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为

r2???0,

可以分三种情况讨论:

(1) ??0,此时特征方程有一对复根r??i?,因此方程的通解为

y?C1cos?x?C2sin?x

(2) ??0,此时特征方程有两个相等的重根r1?r2?0,于是方程的通解为

y?C1?C2x.

(3) ??0,此时特征方程有两个单实根r????,于是方程的通解为

y?C1e??x?C2e?2??x,?C1,C2?R?.

【例12.17】求方程y???y??2x?1的通解.

?x解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是P型（其中xe??m2P,??0）.与所给方程对应的齐次方程为 y???y??0,它的特征方程为 m?x??2x?1r2?r?0. 有两个实根r1?0,r2??1,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为

Y?C1?C2e?x.

因为??0是特征方程的一个单根,所以应设特解为

y*?x?ax2?bx?c?.

把它代入所给方程，得

3ax2??2b?6a?x??c?2b??2x2?1.

比较两端x的同次幂的系数,得

?3a?2??2b?6a?0, ?c?2b?1?解此方程组，得 a?2,b??2,c?5.于是求得一个特解为 3y*?23x?2x2?5x. 3?x从而所求的通解为 y?C1?C2e?23x?2x2?5x. 3?2x【例12.18】求方程y???4y??4y?e满足初始条件y?0??0,y??0??1的特解.

?x解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是Pm?x?e型（其中

P,???2）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为 m?x??1y???4y??4y?0.

它的特征方程 r?4r?4?0

有两个重根r1?r2??2，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为Y??C1?C2x?e由于???2是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为

?2x2.

y*?ax2e?2x.

把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 a?1, 2因此求得一个特解为 y?*12?2xxe 212?x2xe. 2代入初始条件y?0??0,y??0??1，得C1?0,C2??1.

?2x从而原方程的通解为 y??C1?C2x?e?原方程所求的特解为 y??xe12?2xxe. 2【例12.19】求微分方程y???y?x?cosx的通解.

?2x?解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.

y???y?x （1）

y???y?cosx （2）

所给方程对应的齐次方程 y???y?0 它的特征方程 r?1?0, 特征根为 r??i, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:

2Y?C1cosx?C2sinx.

?设方程y???y?x的特解y1,因为??0不是特征根，所以该方程具有形如?y1?ax?b的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 a?1,b?0, ?所以方程（1）的特解为 y1?x

?设方程y???y?cosx的特解为y2,因为??i是特征根,所以该方程具有形如?y2?x(acosx?bsinx)的特解, 将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得

11*a?0,b?,所以方程（2）的特解为 y2?xsinx.

22从而原方程的通解为

1xsinx. 22【例12.20】求三阶常系数非齐次线性微分方程y????4y???4y??x?1的通解.

y?C1cosx?C2sinx?x?解 这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是Pm?x?e型（其中

?x2P,??0）.所给方程对应的齐次方程为 m?x??x?1y????4y???4y??0.

它的特征方程为 r3?4r2?4r?0,

特征根为 r，所以对应齐次线性微分方程的通解为1?0,r2?r3?2Y?C1??C2?C3x?e2x.

2?C因为??0是方程的特征根，所以其特解设为 y??xAx?Bx，

??代入方程，解得A?因此方程的通解为

111111,B?,C?.于是y??x3?x2?x. 1248124813121. x?x?x1248y?C1??C2?C3x?e2x?

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