同济大学 线代 4 答案06

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第六章 线性空间与线性变换

1? 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间? 并写出各个空间的一个基? (1) 2阶矩阵的全体S1?

解 设A? B分别为二阶矩阵? 则A? B?S1? 因为

(A?B)?S1? kA?S1?

所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间?

?1???10??01????00????00??? ?2???? 3??? 4?? 00001001????????是S1的一个基.

(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2?

?a 解 设A????cb???de?B?? ???? A? B?S2? a?fd??因为

??(a?d)c?bA?B??a?d?c?a?kakb?kA?????S2? kcka?????S2? ?

所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间?

?1???10??01????00??? ?2???? 3?? 0?10010??????是S2的一个基?

(3) 2阶对称矩阵的全体S3.

解 设A? B?S3? 则AT?A? BT?B? 因为 (A?B)T?AT?BT?A?B? (A?B)?S3?

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(kA)T?kAT?kA? kA?S3?

所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.

?1???10??01????00??? ?2???? 3?? 001001??????是S3的一个基.

2? 验证? 与向量(0? 0? 1)T不平行的全体3维数组向量? 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间?

解 设V?{与向量(0? 0? 1)T不平行的全体三维向量}? 设r1?(1? 1? 0)T? r2?(?1? 0? 1)T? 则r1? r2?V? 但r1?r2?(0? 0? 1)T?V? 即V不是线性空间.

3? 设U是线性空间V的一个子空间? 试证? 若U与V的维数相等? 则U?V?

证明 设?1? ?2? ???? ?n为U的一组基? 它可扩充为整个空间V的一个基? 由于dim(U)?dim(V)? 从而?1? ?2? ???? ?n也为V的一个基? 则? 对于x?V可以表示为x?k1?1?k2?2? ??? ?kr?r? 显然? x?U? 故V?U? 而由已知知U?V? 有U?V?

4? 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间? a1? a2? ???? ar是Vr的一个基? 试证? Vn中存在元素ar?1? ???? an? 使a1? a2? ???? ar, ar?1? ???? an成为Vn的一个基?

证明 设r?n, 则在Vn中必存在一向量ar?1?Vr? 它不能被a1? a2? ???? ar线性表示? 将ar?1添加进来? 则a1? a2? ???? ar?1是线性

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无关的? 若r?1?n? 则命题得证? 否则存在ar?2?L(a1? a2? ???? ar?1)? 则a1? a2? ???? ar?2线性无关? 依此类推? 可找到n个线性无关的向量a1? a2? ???? an? 它们是Vn的一个基?

5? 在R3中求向量??(3? 7? 1)T在基?1?(1? 3? 5)T? ?2?(6? 3? 2)T?

?3?(3? 1? 0)T下的坐标?

解 设?1? ?2? ?3是R3的自然基? 则 (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?3)A? (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?3)A?1?

?3?163???26?1其中A??331?? A??5?158?520???928?15?????? ??

因为

?3??3???(?1, ?2, ?3)?7??(?1, ?2, ?3)A?1?7?

?1??1??????3??26?(?1, ?2, ?3)?5?158??928?15??33?(?1, ?2, ?3)??82??154??? ????3???7? ?????1?

所以向量?在基?1? ?2? ?3下的坐标为(33? ?82? 154)T?

6? 在R3取两个基

?1?(1? 2? 1)T? ?2?(2? 3? 3)T? ?3?(3? 7? 1)T? ?1?(3? 1? 4)T? ?2?(5? 2? 1)T? ?3?(1? 1? ?6)T?

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试求坐标变换公式?

解 设?1? ?2? ?3是R3的自然基? 则 (?1? ?2? ?1)?(?1? ?2? ?3)B? (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?1)B?1?

(?1? ?2? ?1)?(?1? ?2? ?3)A?(?1? ?2? ?1)B?1A? 其中

?121??351?A??237?? B??121?? ?131??41?6?????

设任意向量?在基?1? ?2? ?3下的坐标为(x1? x2? x3)T? 则

?x1??x1???(?1, ?2, ?3)?x2??(?1, ?2, ?3)B?1A?x2??

????x?3??x3?故?在基?1? ?2? ?3下的坐标为

?x1???x1??x???B?1A?x?2?2????xx?3??3?

?1319181???4?x??63??1????9?13??x2? 2?x??99??3??710?4??

7? 在R4中取两个基

e1?(1?0?0?0)T? e2?(0?1?0?0)T? e3?(0?0?1?0)T? e4?(0?0?0?1)T? ?1?(2?1??1?1)T? ?2?(0?3?1?0)T? ?3?(5?3?2?1)T? ?3?(6?6?1?3)T? (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵? 解 由题意知

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?2?1(?1, ?2, ?3, ?4)?(e1, e2, e3, e4)??1??1031053216?6?? 1??3?从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为

?2?1A???1??1031053216?6?? ?1?3? (2)求向量(x1? x2? x3? x4)T在后一个基下的坐标? 解 因为

?x1?x??(e1, e2, e3, e4)?2x?3?x4??x1??x?1??(?1, ?2, ?3, ?4)A?2x??3??x4???? ??向量?在后一个基下的坐标为

?????y1??2y2??0???5y3??y4??61336?11211?0?1??3??1?x1??129?27?33??x1??x?1?112?9?23??x2?2?????? ??900?18xx?3?27???3?26??x4???7?39?x4? (3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令

?129?27?33??x1??x11?112?9?23??x2??x2?90??x???x0?1827???3??326??x4??x4??7?39???? ??

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?x1??1??x??1?解方程组得?2??k??(k

x1?3????1??x4?为常数)?

8? 说明xOy平面上变换T???1 (1)A???0??? 01??x??x???A??的几何意义? ?y??y?其中

解 因为

?10??x???x??x?T???????????? 01yyy????????所以在此变换下T(?)与?关于y轴对称?

0 (2)A???0??? 01??

解 因为

00??x??0??x?T???????????01y??y??y?????

所以在此变换下T(?)是?在y轴上的投影?

0 (3)A???1?1??? 0?

解 因为

T???x??01??x??y?????????? y??10??y??x??

所以在此变换下T(?)与?关于直线y?x对称?

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(4)A???01??. ?10?? 解 因为

?x?T????y??01??x???????10???y??y???? ?x??2所以在此变换下T(?)是将?顺时针旋转??

9? n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个

n(n?1)2维线性空间. 给出n阶矩阵P? 以A表示V中的任一元素?

变换T(A)?PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换?

证明 设A? B?V? 则AT?A? BT?B? T(A?B)?PT(A?B)P?PT(A?B)TP ?[(A?B)P]TP?(AP?BP)TP

?(PTA?PTB)P?PTAP?PTBP?T(A)?T(B)? T(kA)?PT(kA)P?kPTAP?kT(A)? 从而? 合同变换T是V中的线性变换?

10? 函数集合

V3?{??(a2x2?a1x?a0)ex | a2? a1? a0 ?R}

对于函数的线性运算构成3维线性空间? 在V3中取一个基

?1?x2ex? ?2?xex? ?3?ex?

求微分运算D在这个基下的矩阵.

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解 设

?1?D(?1)?2xex?x2ex?2?2??1? ?2?D(?2)?ex?xex??3??2? ?3?D(?3)?ex??3? 易知?1? ?2? ?3线性无关? 故为一个基. 由

?100?(?1, ?2, ?3)?(?1, ?2, ?3)?210??

?011???

知即D

?100?在基?1? ?2? ?3下的矩阵为P??210??

?011???

11? 2阶对称矩阵的全体

?xx?V3?{A??12?|x1,x2,x3?R}

?x2x3?对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基

10??01?A1????? A2???0010?????

00?A3????. 01??在V3中定义合同变换

10??11?T(A)????A??, 1101????求T在基A1? A2? A3下的矩阵. 解 因为

10??10??11??11?T(A1)????????????A1?A2?A3? 11000111????????

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故

10??01??11??01?T(A2)????????????A2?2A3? 11110112????????10??00??11??00?T(A3)????????????A3? 11010101????????

?100?(T(A1), T(A2), T(A3))?(A1, A2, A3)?110??

?121????100?A1? A2? A3下的矩阵A??110?.

?121???从而? T在基

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