球与各种几何体切、接问题专题（一）

球与各种几何体切、接问题

近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

一、球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1、 球与正方体

（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?a.

（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?2a.

2

（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?3a.

图3

例 1 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱

AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

A．2 2 B．1 C．1?2 2D．2 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AA1DD1截面所得圆面的半径

AD12R??,得知直线EF被球O截得的线段就是球的截面圆的直径.

22

2、 球与长方体

例2 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求

MA2?MB2?MC2的值．

结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．

例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.

3、 球与正棱柱

（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

二、 球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1、正四面体与球的切接问题

（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R?h?6a； 3

例4 正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．

【解析】 如图正四面体A－BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝＝6a. 12

61a，又VA－BCD＝4VO－BCD，（）∴R＝h34

（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R?3h?6a；（可用

正四面体高h减去内切球的半径得到） 例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。

设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，

则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝从而SO1＝SA2－AO21＝11－＝3

2， 3

236－R)2＋()2，解得R＝. 3343

， 3

在Rt△AOO1中，由勾股定理得R2＝(

结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点3

此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正41

四面体高的.

4

（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有

4R?3h?2a,h?例6

6a. 3

例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．

（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？

2.其它棱锥与球的切接问题

（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这

样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.

（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.

结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

例8 正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：VP?ABC?VO?PAB?VO?PAC?VO?PBC?VO?ABC，得到R?23?6?2．

23?3

例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.

点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．

例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，?ABC是边长为1的正三角形，SC是球O的直径，且SC?2；则此棱锥的体积为（ ） A.

2322 B. C. D. 6632思路分析：?ABC的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O到面ABC的距离.由SC为球O的直径?点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积.

练习：

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