2022-2022学年度学业水平考试数学(文科)试题

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绝密★启用前

揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试

数学(文科)

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）集合

，

，，则等于

（A ） （B ）

（C ）

（D ）

（2）设复数满足

，则等于

（A ） （B ） （C ） （D ）

（3）“

”是“

”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （4）平行于直线且与圆

相切的直线的方程是

（A ）或 （B ）

或 （C ）或

（D ）

或

（5）给出平面以及直线

，其中为共面直线，下列命题中正确的是

（A ）若，，则 （B ）若，，则 （C ）若、与所成的角相等，则 （D ）若

，

，则

（6）函数

的部分图象如图1示，则

的解析式可以是

（A ） （B ）

（C ） （D ） 图1 （7）已知等比数列

满足

，则数列

的前6项和为

（A ） （B ） （C ）

（D ）

121

o y

x

π

-π

2 / 9 否 输出lg S 是 k =k +1 开始

结束 输入k =1,S =1

S =S ×k 图2 （8）已知实数、满足条件，则的最大值为 （A ） （B ） （C ）

（D ） （9）右面程序框图2是为了求出

的常用对数值， 那么在空白判断框中，可以填入

（A ） （B ） （C ）

（D ）

（10）记函数

的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一 个数x ，则x A 的概率是

（A ） （B ） （C ） （D ）

（11）已知双曲线

（、均为正数）的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为

（A ） （B ） （C ） （D ）

（12）自原点向曲线

引切线，切点为；点、分别在轴、轴上，满足，则

的面积为 （A ） (B) (C) (D)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

（13）若向量，且//,则的值为 .

（14）如图3，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，记圆柱

O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则 的值是 . 图3

（15）设函数

，则以下结论: ①

的一个周期为 ②的图象关于直线对称 ③为偶函数 ④

在单调递减 其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上）

3 / 9 D C B A P E D C B A （16）某单位用5万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保

养费用为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在

中,内角、、所对的边分别为、、，已知． （Ⅰ）求角

的大小； （Ⅱ）已知的周长为，面积为,求最长边的长度．

（18）（本小题满分12分）

从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ）， 得到如图4的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．

根据茎叶图给出的数据：

（Ⅰ）分别估计甲、乙两种棉花纤维长度的中位数；

（Ⅱ）分别估计甲、乙种棉花纤维长度不低于33.1mm

的概率；

（Ⅲ）对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出一个

不同于（Ⅰ）的统计结论.（只需写出统计结论，不需说明 理由）

图 4

（19）（本小题满分12分） 如图5（1）所示，平面多边形中，

AE=ED ，AB=BD ，且

，， ，

，，现沿直线 5（2） 将折起，得到四棱锥，如图5（2）示． （Ⅰ）求证：； 图5（1） （Ⅱ）若图5（2）中，已知三棱锥P-ABD 的体积为，求棱锥的体积． （20）（本小题满分12分）

已知椭圆

的两个焦点的坐标分别为、，并且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）记椭圆左、右顶点分别为、，给出轴上两点和

（均不与原点重合），且满足直线和的交点在椭圆上，试问轴上是否存在一个定点

，使得？若存在，求出点的坐标；否则，说明理由．

（21）（本小题满分12分）

设函数

，其中a 为非零实数． （Ⅰ）讨论函数

的极值点的个数； （Ⅱ）若仅有一个极值点，解关于的不等式

．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数，）；现以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）设和的交点为、，求的值．

（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数，

（Ⅰ）设，求a的取值范围；

（Ⅱ）当时，试比较与的大小．

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参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题

题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 B C B A D C B C A B A D 解析：（12）设点P的坐标为，依题意得，故，由题意知，又，得OP的方程为，所以，又，得，所以=，选（D）.

题序13 14 15 16

答案①②④1000

解析（16）设一共用了n天，日平均费用为y元，则，当即时y取得最小值.

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）由得

-------------------------------2分

，

即，----------------------------------------------4分

∵∴；----------------------------------------------------6分

（Ⅱ）在中，因C最大，故最长边为

由，得，-----------------------------------8分

由余弦定理得，

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∴，--------------------------------------------10分

把代入上式得，解得，

即△ABC最长边的长为7．------------------------------------------------------------12分

（18）解：（Ⅰ）由所给的茎叶图知，甲种棉花25根棉花的纤维长度按由小到大排序，排在第13位的是

30.7mm，即样本的中位数为30.7mm，故可估计甲种棉花纤维长度的中位数为30.7mm；-------2分

同理，因乙种棉花样本的中位数为31.8mm，故可估计乙种棉花纤维长度的中位数为31.8mm.--4分（Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度不低于33.1的比率分别为：

，--------------6分；，---------------------------------------------------8分

故估计甲、乙种棉花纤维长度不低于33.1的概率分别为0.16和0.24.-------------9分

（Ⅲ）以下结论供参考：①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

③乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（35.2）外，也大致对称，其分布较均匀．

【注：依题意写出一个合理的统计结论给3分】

（19）证明：（Ⅰ）取的中点，连、，---------------1分

∵，，即，

∴且，------------------------------------------3分

又，

∴平面，---------------------------------------------------5分

而平面，

∴；-----------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）设三棱锥P-ABD的顶点P到底面ABD的距离为h，

∵,----------------------7分

由，得,-----------------9分

∵,-------------------------------10分

∴=.---------------12分

（20）解：（Ⅰ）依题意得，

由椭圆的定义得，，-----------------------------------2分

又得--------------------------------------------------------------------------------3分

故所求椭圆的方程为；----------------------------------------------------------------4分

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【其它解法请参照给分】

（Ⅱ）法1：依题意可知直线、的方程分别为：

-------①------------5分, ，------------②------------6分设AM与BN 的交点为，代入①②并相乘可得

又点Q 在椭圆上有，

得，整理得，---------------------------------------------------------9分假设存在点符合题意，

由可得，即，解得，----------------11分故满足题意的定点存在，其坐标为或．----------------------------------12分

【法:2：依题意可知直线、的方程分别为：

-------①------------5分, ，------------②------------6分解①②联立组成的方程组可得AM与BN 交点坐标为，--------7分

代入椭圆的方程得，

整理得，------------------------------------------------------------------------------------9分

假设存在点符合题意，

由可得，即，解得，-----------------11分故满足题意的定点存在，其坐标为或．--------------------------------12分】

【其它解法请参照给分】

（21）解：(Ⅰ)的定义域为，

，---------------------------------------------------1分记，，显然与的符号相同，

∵方程根的判别式

当，即时，恒成立，单调递增，极值点个数为；----2分

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当，即时，记的两个零点分别为和（不妨设），

则有、，

若，则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，极值点个数为1；----------------------4分

若，则，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，当时，，

单调递增，极值点个数为2；----------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵仅有一个极值点，由（Ⅰ）知，，且，

∴满足，，--------------------------------------------7分

，----------------------------------------------8分由，得，

由于，得，即，∴，-------------------------------9分

把代入，得，

解得．------------------------------------------------------------------------------------12分

选做题

（22）解：（Ⅰ）由曲线的参数方程知，是以原点O 为圆心，为半径的圆的上半圆，----2分其极坐标方程为；-----------------------------------------4分

（Ⅱ）联立方程，,得，-----5分于是，，--------------------------------------------------------6分

解得或，即的值为------------------------8分

所以．--------------------------------------------------------10分

（23）解：（Ⅰ）--------------------------------------------------------1分

①当时，得，无解；--------------------------------------------2分

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②当时，得，解得，所以；---------3分

③当时，得，恒成立；-----------------------------------------------4分

综上知，a 的取值范围为．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ），---------------------------------------------6分当时，，，-------------------7分

，---------------------------------------9分所以．------------------------------------------------------------------------------10分

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