2015届高考数学总复习第九章平面解析几何第4课时圆的方程教学案(含最新模拟、试题改编)

第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程

对应学生用书（文）119～121页

第十章

（理）124～126页

2

2

1. 方程x＋y－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________． 答案：(3，0) 3

解析：(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.

2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________． 答案：(x－1)2＋(y－2)2＝25

→→→

解析：设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵ A、B是直径的端点，∴ PA·PB＝0.又PA＝

→→→

(－3－x，－1－y)，PB＝(5－x，5－y)．由PA·PB＝0(－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝

2222

0x－2x＋y－4y－20＝0(x－1)＋(y－2)＝25.

3. (必修2P111练习8改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．

1

－∞，∪(1，＋∞) 答案： 4

1

解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得mm＞1.

4

4. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．

答案：x2＋(y－2)2＝1

解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

5. (必修2P112习题8改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝

4内，则实数a的取值范围是________．

答案：(－1，1)

解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a＜1.

1. 圆的标准方程

(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为2＋(y－b)2＝r2． (2) 特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为 2. 圆的一般方程

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为

2222

x＋D ＋ y＋E ＝D＋E－4F. 2 2 4

22 (1) 当D＋E－4F>0时，方程表示以 －，－

，－ ； (2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点 (3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．

3. 确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) ；

(2) (3) ． 4. 点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1) 若M(x0，y0)222 (2) 若M(x0，y0) (3) 若M(x0，y0)

[备课札记]

题型1 圆的方程

例1 已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆． (1) 求实数m的取值范围； (2) 求该圆半径r的取值范围； (3) 求圆心的轨迹方程．

解：(1) 方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，即有4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4

＋9)

1

>0－<m<1.

7

16477m－2＋≤(2) 半径r－7 0<r. 7 777

x＝m＋3， 12

(3) 设圆心坐标为(x，y)，则 消去m，得y＝4(x－3)－1.由于－， 27 y＝4m－1，

20

7

20 故圆心的轨迹方程为y＝4(x－3)2－1 7 .

变式训练

已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.

(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；

(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由． 解：(1) 配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2

－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.

即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．

2

2

x＋y－4＝0，

(2) 整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令 －2x＋4＝0，

－2y＝0

x＝2， y＝0.

故圆C过定点(2，0)．

题型2 求圆的方程 例2 求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．

解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵ 圆心在y＝0上，故b＝0. ∴ 圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.

∵ 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点， （1－a）2＋16＝r2， ∴ 解之得a＝－1，r2＝20. 22

（3－a）＋4＝r，

∴ 所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.

(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵ 圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ 圆心C必在线

4－2

段AB的垂直平分线l上．∵ kAB＝＝－1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故

1－3

AB的垂直平分线l的方程为y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圆心在直线y＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴ 半径r＝|AC|＝（1＋1）＋420.故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d＝|PC|＝（2＋1）＋425>r.

∴ 点P在圆外．

备选变式（教师专享）

已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．

解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得b－1

1，

a＋2 a＝0，解得

b＝－1.b＋1a－2

＋1，22

|－4－11|

故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝3.

5

2

22 AB∵AB＝6，∴r＝d＋ 2＝18，

∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.

例3 在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.

(1) 求实数b的取值范围； (2) 求圆C的方程；

(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

解：(1) 令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2) 设所求圆的一般方程为x2＋ y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋ Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋ y2＋2x －(b＋1)y＋b＝0.

(3) 圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．

证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．

备选变式（教师专享）

已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、

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