第二章 一元非线性方程的数值解法

第二章 一元非线性方程的数值解法

在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题．非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容． 本章主要讨论一元非线性方程

f(x) 0 (5.0.1) 的数值解法，其中x R，f(x)为x的非线性函数． 在方程(5.0.1)中，若函数f(x)是x的n次多项式，则称方程(5.0.1)为多项式方程或代数方程：

3x x x 2 0

8

6

3

；若函数f(x)是超越函数（自变量之间的

关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数），则称方程(5.0.1)为超越方程：例e tan 6x 0

使f(x) 0的x称为方程f(x) 0的根，又称为函数f(x)的

3x

*

零点．若f(x)可分解为

其中m为正整数，且g(x

f(x)

=(x x

*

)g(x)

*

m

，

．当m=1时，称x为方程f(x) 0

*

) 0

的单根，而当m 1时，则称x为方程f(x) 0的m重根，或

*

称x为f(x)的m重零点．设x为f(x)的m重零点，且g(x)充

*

*

分光滑，则

.

根的求解：对于n次多项式方程，当次数n 4时，

**

f(x) f (x) f

(m 1)

(x) 0

*

，f

(m)

(x) 0

*

多项式方程的根可用求根公式表示：n 1,2时方程的根是我们已经熟知的，n 3,4时虽然有求根公式，但已不适合用于数值计算；而次数n 5时，就不能用公式表示多项式方程的根了．因此，对于次数n 3的多项式方程和一般连续函数方程(5.0.1)，在实际应用时，通常并不需要得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度的数值近似根就可以了．

对于非线性方程f(x) 0，求其近似数值根一般分为四步：

(1) 判断根的存在性：判断方程f(x) 0是否有根？若有，有几个？

(2) 确定根的分布范围：分析并估计方程根的分布情况，并将每一个根用相应区间分隔开，即确定方程根的有根区间；

(3) 根的初始化：确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；

(4) 根的精确化：对根的某个初始近似值设法逐

步精确化，使其满足一定的精度要求． 由以上步骤可以看出，求非线性方程数

值近似根的方法一般为迭代法．

第一节 初始近似根的确定

一、有根区间的确定

设f(x)为区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b) 0，由闭区间上连续函数的性质（根的存在定理）可知，方程

f(x) 0f(x) 0

在(a,b)内至少存在一个实根，此时则称[a,b]为方程的有根区间(Rooted Inter-val)．

此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD, Mathematics, Matlab等)描绘出f(x)的图像，直观地了解方程f(x) 0根的分布情况．因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根的区间． 例5.1 试确定方程f(x) x解 由于f (x) 6x

5

6

x 1 0

的有根区间.

1

，当x

5

16

时f (x) 0，则f(x)为严

格单调增函数；而当x 减函数．又由于

16

时f (x) 0，则f(x)为严格单调，

f( ) 0

1

0f 6

，所以方程

f(x) x x 1 0

6

只有两个实根．

经进一步分析可知，f(1)f(2) 0，则方程在[1，2]内有一个实根；f( 1)f(0) 0，则方程的另一个实根在[-1，0]内.

下面介绍的几种求方程的根的常用数值解法，即二分法，牛顿迭代法，都是将方程的初始近似根逐步精确化的方法．

第二节 二分法

二分法也称为区间对分法，是解非线性方程最直观、最简单的方法．

为讨论方便，不妨设函数f(x)在[a,b]上连续，严格单调，且f(a)f(b) 0，则方程f(x) 0在区间[a,b]内有且仅有一个实根x．

二分法的基本思想：将方程的有根区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根小区间，而后再把有根的小区间一分为二，判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根．

二分法的具体计算过程如下： 1. 取区间[a,b]的中点x

12

(a b)

，计算区间中点函数

值f(x)，并判断：

若f(a)f(x若f(x

) 0

，则根x

[a,x0]

，令a

1

a,b1 x0

，则新的有

根区间为[a,b]；

1

1

) 0

，则x即为所求根x；

若f(a)f(x

) 00

，则根x

1

[x0,b]

，令a

1

x0,b1 b

，则新的

有根区间为[a,b]．

1

图5.2 二分法示意图

2. 对有根区间[a,b]施行同样的操作，即取中点

1

1

x1

12

(a1 b1)

，再将[a,b]分为两个子区间[a,x]和[x,b]，计

1

1

1

1

1

1

1

算f(a)和f(x)，若

1

f(a1)f(x1) 0

[x1,b1]

则x

[a1,x1]

，令a

2

a1,b2 x1

；否则x

2

，令a

2

x1,b2 b1

．这

1

样又确定了一个有根区间[a度的一半．

,b2]

，其长度是区间[a,b]长

1

如此反复，便得到一系列有根区间

[a,b] [a,b] [a,b] [a,b]

1

1

2

2

n

n

显然，区间[a

n

,bn]

的长度为

2

b a2

n

bn an

bn 1 an 1

(5.2.1)

当n 时，上式的极限为0，区间[a

k

,bk]

最终必收敛于一

点, 该点就是所求方程(5.0.1)的根x． 我们取二分后的最后的有根区间[a为方程(5.0.1)的根x的近似根

n

,bn]

的中点x作

n

xn

an bn

2

，x

n

[an,bn]

，

其误差估计式为 |x当n 时，取|x

**

xn|

bn an

2bn an

2

b a2

n 1

(5.2.2)

n

xn|

0

，即x

x

*

．

对预先给定的精度 0(即指定的绝对误差限 )，可以用以下方式结束二分法： 当|b取x

n 1

an 1|

时，必有|x

xn|

，结束二分法计算，

xn

；

二分法的计算步骤如下：

(1) 输入有根区间的端点a,b及预先给定的精度 ； (2) x: (a b)/2； (3) 若

f(a)f(x) 0

，则b: x，转向(4)；否则a: x，转

向(4)；

(4) 若b a ，则输出方程满足精度的根x，结束；否则转向(2)．

二分法的优点： 1、是算法简单；

2、对函数的性质要求较低(只要连续即可)； 3、收敛性可保证． 二分法的缺点： 1、收敛速度很慢；

2、不能求偶数重根，原因在于当方程(5.0.1)有偶数重根时所分区间端点处函数值同号，而将该区间舍去造成失根现象．

因此．在实际应用时，可用它求方程根的初始近似值．

例5.2 用二分法求方程f(x) x(取 10)．

3

3

x 1 0

2

在[0,1]上的根

解(1) 这里a 0,b 1， f(0) 1 0,

[0,1]

f(1) 1 0

，得有根区间

；

(2) 计算x(3) 计算x

0 122

0.5,f(0.5) 0.125 0

，得有根区间[0.5,1]；

得有根区间[0.75,1]；

0.5 1

2

0.75,f(0.75) 0.01563 0 xk 1 10

3

如此继续，直到x

5.1：

k

时停止，计算结果见表

表5.1

由表5.1知

x9 x8 0.00098 10

3

．

所以原方程在[0,1]内的根x

*

x9 0.75489

第三节 牛顿迭代法及其收敛性

迭代法在数学的各个分支都有着重要的应用．本节主要讨论迭代法在非线性方程求根的应用． 一、迭代法的基本思想

迭代法的基本思想是：将方程(5.0.1)中f(x) 0化为下列等价形式

x g(x)

(5.3.1)

若要求x满足f(x

*

*

) 0

，则只需求出x

*

g(x)

*

即可；反之

也是如此，则称x为函数g(x)的一个不动点，求函数f(x)

*

的零点就等价于求函数g(x)的不动点．在有根区间内选一个初始近似值x，然后按(5.3.1)构造公式

x

k 1

g(xk),k 0,1,2,

(5.3.2)

可得到一个数列 x

k

,x1,x2, ,xk,

称 x 为迭代序列，而称(5.3.1)式中的g(x)为迭代函数．如果迭代序列 x 是收敛的，且收敛于x，则当g(x)

*

k

连续时，在(5.3.2)式两边取极限即得x

f(x) 0

*

*

g(x)

*

，即

从而x便是方程(5.0.1)的根．但实际计算当然不可能

*

做无穷多步，实用上，当k充分大时，若

x x

k

k 1

就取x作为原方程的近似根．这种求根法称为不动点

k

迭代法，或称逐次逼近法(Picard迭代法)．(5.3.2)就是一个不动点迭代公式．当迭代公式(5.3.2)产生的迭代序列 x 收敛时，就称迭代法或迭代公式(5.3.2)

k

是收敛的，否则就称为是发散的．

二、不动点迭代法的构造

我们使用迭代法求解非线性方程(5.0.1)时需要解决如下四个问题：(1) 迭代函数的构造；(2) 初始近似根的选取；(3) 迭代序列收敛性分析；(4) 收敛速度和误差分析． 三、牛顿迭代法及其收敛性

设x是一元非线性方程f(x) 0的根，函数f(x)在x的

*

某邻域内连续可微，

f (xk) 0

k

xk

是某个迭代近似根，且

k

．把f(x)在点x处进行一阶泰勒展开，可得

f(xk) f (xk)(x xk)

f(x)

则方程f(x) 0可近似表示为 f(x

) f (xk)(x xk) 0

(5.3.3)

这是一个线性方程，求解得

x x

k

f(xk)f (xk)

k 1

将其右端项作为新的迭代值x，则可得迭代公式

xk 1 xk

f(xk)f (xk)

k 0,1,2,

(5.3.4)

这就是牛顿迭代法(Newton’s Method)，(5.3.4)称为牛顿迭代公式.

如图5.3所示，曲线y f(x)与x轴的交

点x就是方程f(x) 0的根．设x是方程

图5.3 切线法示意图

f(x) 0的一个近似根，过曲线y f(x)上的

k

点P(x

k

k

,f(xk))

作切线，切线与x轴的交点为x,切线的方

k 1

程为

y

f(xk) f (xk)(x xk)

k

设切线点与x轴的交点为(x牛顿迭代公式(5.3.4)

xk 1 xk

k 1

,0)

，若f (x

) 0

，则可得

f(xk)f (xk)

,k 0,1,2,

因此，牛顿迭代法又称为切线法(Tangent Method)． 牛顿迭代法的几何意义：用曲线y f(x)在点(x

k 1

k

,f(xk))

处

的切线与x轴的交点的横坐标x来代替曲线y f(x)与x轴交点的横坐标x．

牛顿迭代法的计算步骤为：

(1) 给出初始近似根x及精度 ；

(2) 计算x

(3)

1

: x0

f(x0)f (x0)

；

1

对于给定的允许误差 ，若x

x0

, 转向(4)；

否则x

: x1

,转向(2)；

1

(4) 输出满足精度的根x，结束． 例5.3 用牛顿迭代法求方程xe根，精度为 10．

8

x

1 0

在x 0.5附近的

解 这里f(x) xe式为

x

1

,f (x) e

x

xe

x

，相应的牛顿迭代公

表5.3k 0,1,2, 取x 0.5，迭代结果见表5.3，易见

|x x| 0.00000001 10 0

xk 1 xk

xkee

xk

xk

1

xk

xke

xk

xk e

xk

1 xk

,

8

43

故 x

x4 0.567143290

迭代了4次就得到了较满意的结果． 例5.4 用牛顿法计算3． 解 令x

3

2

f(x) x

，则x

3 0

2

3 0

，即求3等价于求方程

的正实根．因为f (x) 2x，由牛顿迭代公式得

xk 1 xk

xk 32xk

2

12

(xk

3xk

)

，k 0,1,2,

(5.3.5)

取初值x

1.5

，得

x1

1212121212(x0

3x03x13x23x33x4

) 1.75

，

，

x2 (x1

) 0.732142857

x3 (x2

) 1.732050815

x4 (x3

) 1.732050808

x5 (x4

) 1.732050808

3 1.732050808

这个迭代公式的意义在于通过加法和乘除法实现开方运算，这是在计算机上作开方运算的一个方法．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5dj1.html