江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式

专题3 不等式

一、填空题

例1 已知集合A＝{0，1}，B＝{a，2a}，其中a∈R.定义A×B＝{x|x＝x1＋x2，

2

x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中的最大元素为2a＋1，则a的取值范围是________．

解析 A×B＝{a2a，a＋1,2a＋1}．由题意，得2a＋1＞a＋1，解得0＜a＜2. 答案 (0,2)

例2 ．设a?log32,b?ln2,c?5?2则a,b,c三者的大小关系 解析 a=log32=

1212,22

11, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a

1,而5?2?log24?log23,所以c

例3 ．对于问题：“已知关于x的不等式ax＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)， 解关于x的不等式ax－bx＋c＞0”．给出如下一种解法：

解 由ax＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)，

即关于x的不等式ax－bx＋c＞0的解集为(－2,1)． 参考上述解法，若关于x的不等式则关于x的不等式1??1?x＋b?＜0的解集为?－1，－?∪?，1?，3??2?x＋ax＋c?

＋2

2

2

2

2

kkxbx＋1

＋＜0的解集为________． ax＋1cx＋1

1＋bx1??1?kxbx＋1k1?

解析 不等式＋＜0可化为＋＜0，所以有∈?－1，－?∪?，1?，

3??2?ax＋1cx＋111x?

＋a＋cxx 即x∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式(1,2)．

答案 (－3，－1)∪(1,2)

kxbx＋1

＋＜0的解集为(－3，－1)∪ax＋1cx＋1

1

?x?1?例4 ．设不等式组?x-2y+3?0所表示的平面区域是?1,平面区域是?2与?1关于直线

?y?x?3x?4y?9?0对称,对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B, |AB|的最小值等于

解析 由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域?1中的点到直线3x?4y?9?0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3x?4y?9?0的距离最小，故|AB|的最小值为

2?|3?1?4?1?9|?4。

5答案 4

例5 ．若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①ab?1； ②a?b?33 ④a?b?3； ⑤

2； ③ a2?b2?2；

11??2 ab解析 令a?b?1，排除②④；由2?a?b?2ab?ab?1，命题①正确；

2

11a?b2??2，命题⑤a2?b2?(a?b)2?2ab?4?2ab?2，命题③正确；??ababab正确。

答案 ①，③，⑤ 例6 ．对任意x>0，解析 ∵

x≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x＋3x＋1

2

xxx1??，

≤a恒成立，∴a≥?2＝≤?max而2

x＋3x＋1x＋3x＋11?x＋3x＋1?

x＋＋32x2

11x·＋3

x111＝(x>0)，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥. 5x51答案 a≥ 5

例7 ．若实数x，y满足x＋y＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． x＋y解析 由x＋y＋xy＝1，得(x＋y)－xy＝1，即xy＝(x＋y)－1≤

4

2

2

2

2

2

2

2

3

，所以(x＋

4

y)2≤1，

232323故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.

333答案

23 3

例8 ．已知?1?x?y?4且2?x?y?3，则z?2x?3y的取值范围是_______（答案用区间表示） 解析 画出不等式组???1?x?y?4表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直

?2?x?y?3线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8. 答案 （3，8）

例9 ．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4＋2的最小值为________． 解析 易知f(x)恒过点(2,1)．由于(2,1)在mx－y＋n＝0上，则2m＋n＝1.又4＋2＝2

mn2m mn3

＋2≥22答案 22

n2m＋n11

＝22，当且仅当m＝，n＝时等号成立．

42

例10 ．已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中 点M(x0，y0)满足y0＞x0＋2，则的取值范围是________．

??x0＋2y0＋1＝0，y0

解析 设＝k，则y0＝kx0.由题意，得?

x0??y0＞x0＋2，

y0

x0

1??x0＝－，1＋2k所以???k－1x0＞2，

1－k5k＋111y0

从而有＞2，即＜0，解得－＜k＜－.所以∈

1＋2k2k＋125x0

?－1，－1?.

?25???

1??1

答案 ?－，－?

5??2

?x?04例11 ．若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面积相等的两

?3?3x?y?4?部分，则k的值是 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?∴S?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4△ABC

y B 4y=kx+ 3D C A 144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 233O 1512交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

22235147∴?k??,k?。 22337答案 33nn－1

例12 ．若不等式(－1)(2a－1)＜()对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

2=

________．

4

x

解析 当n为奇数时，原不等式即为(2a－1)＜()，又对一切正整数n恒成立，所以2a 32n3n3n35

－1＜?a＜，当n为偶数时，原不等式即为－(2a－1)＜()，即2a－1＞－()24223n5

又对一切正整数n恒成立，所以2a－1＞－()，从而a＞－，所以a的取值范围是

82?－5，5?.

?84????55?答案 ?－，?

?84?

1＋cos x＋8sin 2

例13 ．已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝的最小值为________．

sin x1＋cos x＋8sin 2cos ＋8sin cos 4sin

22222

f(x)＝＝＝＋

sin xxxxx2sin cos sin cos

2222cos 4sin

22· xxsin cos

22

cos 4sin 22x1xπ

＝4，当且仅当＝，即tan ＝时取“＝”，因为0＜＜，所以存在xxx2222sin cos 22

2

2

xx2

x2

xxx解析

xx≥2

xxx1

使tan ＝，这时f(x)min＝4.

22

答案 4

x2＋s＋tx＋st＋1

例14 ．已知实数x，t，满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值x＋t为________．

x2＋s＋tx＋st＋1

解析 设x＋t＝m，则

x＋tx2＋8x＋10tx＋8x＋9tt＋19x＋t2＋1＝＝

x＋tx＋t

5

9m＋111＝＝9m＋.因x＞－s，即x＞－(8x＋9t)，所以x＋t＞0，即m＞0，所以9m＋

2

mmm11

≥6，当且仅当m＝，即x＋t＝时等号成立．故所求最小值为6.

33答案 6

例15．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＜0，则关于x

的不等式f(mx)－2f(x)＞f(mx)－2f(m)(0＜m＜2)的解集为________． 解析 由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx)＋f(2m)＞f(mx)＋

2

2

2

2

f(2x)，

得f(mx＋2m)＞f(mx＋2x)，即mx＋2m＞mx＋2x，也即(x?2

2

2

2

2)(x－m)>0. m2

又0＜m＜2，所以x＜m，或x＞. m答案 ?xx?m或x???2?? m?aba＋b,a例16．若实数a，b，c满足2＋2＝2解析 ∵2

a＋babab2＋2＋2＝2

bca＋b＋c，则c的最大值为________．

＝2＋2≥22·2＝22)－4×2

bca＋ba＋b(当且仅当a＝b时取等号)，

a＋b∴(2

a＋b2

≥0，∴2

a＋b≥4或2

c≤0(舍)． ·2，

c 又∵2＋2＋2＝2 ∴2＝a＋b(22－1

caa＋b＋c，∴2

a＋b＋2＝2

a＋b2

a＋ba＋b≥4)．

又∵函数f(x)＝

1

＝1＋(x≥4)单调递减， x－1x－1

x444c ∴2≤＝，∴c≤log2＝2－log23.

4－133答案 2－log23

二、解答题

例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物

6

每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝

kk， 3x＋5

40

再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用C1(x)＝6x.

3x＋540800

故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋5 (2)由f(x)＝2(400400

?3x?5?5)≥2(2400－5)＝70，当且仅当＝3x＋5，

3x＋53x?5 即x＝5时等号成立，得f(x)min＝70.

当隔热层修建为5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

例18．设函数f(x)＝x＋2ax＋bx＋a，g(x)＝x－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.

(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；

(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1

解 (1)f′(x)＝3x＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.

由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，

???8＋8a＋2b＋a＝0，?a＝－2，?由此得 解得??12＋8a＋b＝1，?b＝5.??

2

3

2

2

所以切线l的方程为x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x－4x＋5x－2， 所以f(x)＋g(x)＝x－3x＋2x.

依题意，方程x(x－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程

7

2

3

2

3

2

x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－.

又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)0，x1x2＝2－m>0.故00， 所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0. 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，

所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.

于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

?1?综上所述，m的取值范围是?－，0?. ?4?

例19．已知函数f(x)＝sin x＋cos x和g(x)＝2sin x·cos x.

π

(1)若a为实数，试求函数F(x)＝f(x)＋ag(x)，x∈[0，]的最小值h(a)；

2π1

(2)若对任意x∈[0，]，使|af(x)－g(x)－3|≥恒成立，求实数a的取值范围．

22解 (1)F(x)＝f(x)＋ag(x)＝sin x＋cos x＋2asin xcos x.

设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t－1，所以φ(t)＝t＋a(t－1)＝at＋t－a， π

由x∈[0，]，得t∈[1，2]．

2

1?211? 若a＝0，则h(a)＝φ(1)＝1；若a＞0，则φ(t)＝a?t＋?－a－，因为t＝－

4a2a?2a?＜0，

所以φ(t)在[1，2]上单调递增，所以h(a)＝φ(1)＝1；

11＋211＋2

若a＜0，则当－≤，即a≤1－2时，h(a)＝φ(2)＝a＋2；当－＞，

2a22a2 即1－2＜a＜0时，h(a)＝φ(1)＝1.

2

2

2

1

4

?1， a＞1－2，

综上所述，h(a)＝?

?a＋2，a≤1－2，

11

(2)由|af(x)－g(x)－3|≥，得|a(sin x＋cos x)－2sin xcos x－3|≥.

22

8

?π?2

设t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t－1，且由x∈?0，?，得t∈[1，2]．

2??

111222

所以|at－t－2|≥恒成立，即t－at＋2≤－或t－at＋2≥恒成立．

222

1552

由t－at＋2≤－，得a≥t＋，因为t∈[1，2]，且t＋在[1，2]上递减，

22t2t577132

所以t＋≤，所以a≥.由t－at＋2≥，得a≤t＋.因为t∈[1，2]，

2t2222t3

所以t＋≥22tt·＝6，当且仅当t＝，即t＝时等号成立，所以a≤6. 2t2t2

336

7

综上所述a≤6或a≥. 2

例20．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan 1.20，

请据此算出H的值．

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的 距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若 电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α—β最大？ 解 (1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，

tan αtan βtan β得

＋＝，

tan αtanβtan β

β

＝

HhHHhHhtan α4×1.24

解得H＝＝＝124.

tan α－tan β1.24－1.20

因此，算出的电视塔的高度H是124 m. (2)由题设知d＝AB，得tan α＝. HdH－h由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝，所以tan(α

tan βtan βd－β) ＝

Hh

tan α－tan β 1＋tan αtan β

9

＝

hh≤.

HH－h2HH－hd＋dHH－h，即d＝HH－h d当且仅当d＝＝125×125－4＝555时，上式取等号，所以当d＝555时tan(α－β)最大． ππ

因为0＜β＜α＜，则0＜α－β＜，所以当d＝555时，α－β最大．

2故所求的d是555 m. 2

10

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