2016届河南省百校联盟高三4月教学质量监测数学(文)试题资料

2016届河南省百校联盟高三4月教学质量监测数学（文）试题

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1. i是虚数单位，复数

a?i?a?R?的实部与虚部相等，则a等于（ ） 1?iA．-1 B．0 C．1 D．2

2.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（ ） A．2400 B．2700 C．3000 D．3600

3.已知集合A?y|y?2x?1,x?R,B?x|y?lg?x?2?，则下列结论正确的是（ ） A．?1?A B．3?B C．A4.已知f?x?????B?B D．AB?B

a4??x?2?cosx2x为奇函数，则a的值为（ ）

A．-2 B．?11 C． D．2 225.等差数列?an?的通项为an?2n?1，其前n项和为Sn，若Sm是am,am?1的等差中项，则m的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8

x2y26.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F?c,0?，过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双

ab曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A,B．若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A．23 B．2 C．2 D．3 37.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a?（ ）

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A．2 B．

1 C．-1 D．以上都不正确 28.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E?ADD1的外接球的体积为36?，则正方体的棱长为（ ）

A．2 B．22 C．33 D．4

?y?2?9.已知变量x,y满足约束条件?:?x?y?1，若?表示的区域面积为4，则z?3x?y的最大值为 （ ）

?x?y?a?A．-5 B．3 C．5 D．7 10.已知函数f?x??sin??x?????1113????，且 ．若的最小值为，fa??,f???,x?R?????2246?2则函数的单调递增区间为（ ） A．?????????2k?,??2k??,k?Z B．???3k?,??3k??,k?Z ?2??2???52????52??C．???2k?,??2k??,k?Z D．???3k?,??3k??,k?Z

11. 如图所示为某几何体的三视图，其体积为48?，则该几何体的表面积为（ ）

A．24? B．36? C．60? D．78?

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12.已知函数f?x??x?bx?4，则下列说法正确的是（ ）

32A．当b?0时，?x0?0，使得f?x0??0 B．当b?0时，?x?0，都有f?x??0 C．函数f?x?有三个零点的充要条件是b??3

D．函数f?x?在区间?0,???上有最小值的充要条件是b?0

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知x与y之间的一组数据：

x 0 1 4m 3 y m 3 5.5 7 ??2.1x?0.85，则m的值为___________． 根据数据可求得y关于x的线性回归方程为y14.已知向量a??x,1?在b?1,3方向上的投影为3，则x? __________．

15.已知抛物线C:y?6x，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，交抛物线的准线于点B，若

2??FB?3FA，则点A到原点的距离为 __________．

16.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a?2,bcosC?ccosB?4,最大值为_____________．

?4?C??3，则tanA的

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知数列满足an?1?2an?n?1，且a1?1． （1）求证：?an?n?为等比数列； （2）求数列?an?的前n项和Sn． 18.（本小题满分12分）

如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，?ABC?60,AA1?AC?2,A1B?A1D?22，点E在A1D上．

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（1）证明: AA1?平面ABCD； （2）当

A1E为何值时，A1B//平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离． ED19．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取 了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表： 年龄（单位：岁） ?15,25? 频数 赞成人数 5 5 ?25,35? ?35,45? ?45,55? ?55,65? ?65,75? 10 10 15 12 10 7 5 2 5 1 （1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2?2列联表，判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关： 赞成 不赞成 合计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 （2）若从年龄在?55,65?的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率． 参考数据如下：

P?K2?k? 0.050 3.841 20.010 6.635 0.001 10.828 k n?ad?bc?2K?,?n?a?b?c?d?

?a?b??c?d??a?c??b?d?20.（本小题满分12分）

已知曲线E上的点M?x,y?到点F?2,0?的距离与到定直线x?（1）求曲线E的轨迹方程；

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255的距离之比为．

52（2）若点F关于原点的对称点为F?，则是否存在经过点F的直线l交曲线E于A、B两点，且三角形

F?AB的面积为

40，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 2112x??1?b?x． 221.（本小题满分12分） 已知函数g?x??alnx?（1）若g?x?在点1,g?1?处的切线方程为8x?2y?3?0，求a,b的值； （2）若b?a?1,x1,x2是函数g?x?的两个极值点，求证：g?x1??g?x2??4?0．

??请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，等边三角形ABC内接于圆，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D,AD交圆O于点E．

（1）求证：四边形ABDC为菱形；

（2）若DE?2，求等边三角形ABC的面积． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

1?x?4?t?2?已知直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

?y?3t??2曲线 C的极坐标方程为??2cos?．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程； （2）若直线???6与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求AB的值．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f?x??x?2?x?2,x?R．

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（1）求不等式f?x??6的解集；

（2）若方程f?x??ax?1恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 A 8 D 9 D 10 B 11 D 12 C 二、填空题

13．0.5 14．3 15．三、解答题 17．解：（1）因为

131 16． 22an?1?n?12an?n?1?n?1??2，

an?nan?n所以?an?n?是首项为2，公比为2的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）an?n?2?2n?1，an?2n?n，Sn?2??1?2n?1?2?n?n?1?， 2Sn?2n?1n2?n．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ??2．

218．解：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，?ABC?600，

（2） 当

A1E?1时，A1B//平面EAC， EDA1E?1，即点E为A1D的中点时， ED证明如下：连接BD交AC于O，当

连接OE，则OE//A1B，所以A1B//平面EAC．

直线A1B与平面ACE之间的距离等于点A1到平面ACE的距离，因为E为A1D的中点，可转化为D到平

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面ACE的距离，VD?AEC?VE?ACD，设AD的中点为F，连接EF，则EF//AA1，所以EF?平面ACD，且EF?1，可求得S?ACD?133，所以VE?ACD??1?3?．

33713，∴S?AECd?（d表示点D到平面ACE的距离），233又AE?2,AC?2,CE?2,S?AEC?d?221221，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 77

19．解：（1）2?2列联表如下： 赞成 不赞成 合计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 10 10 20 27 3 30 37 13 50 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

50??10?3?10?27?所以K2??9.98?6.635

?10?10??27?3??10?27??10?3?所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设?55,65?中不赞成“使用微信交流”的人为A,B,C，赞成“使用微信交流”的人为a,b，则从5人中选取2人有：AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个结果，其中两人都赞成“使用微信交流”的有1个结果，

所以2人中至少有1人不造成“使用微信交流”的概率为P?1?219．．．．．．．．．．12分 ?．

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20．解：（1）根据题意可得?x?2?2?y25?x2?25． 5x2化简整理可得?y2?1，

5x2所以曲线E的轨迹方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ?y2?1．

5（2）由题意可得F???2,0?，

若直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x?2，此时AB?25，F?到直线x?2的距离为4，三角5形F?AB的面积为45，不满足题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 5若直线l的斜率存在时，根据题意设直线l的方程为：y?k?x?2?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，

?x2?y2?1?联立方程组：?5，消去y可得：?1?5k2?x2?20k2x?20k2?5?0，

?y?k?x?2??20k220k2?5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 x1?x2?,x1x2?1?5k21?5k2则AB?1?k2x1?x2?1?k2?x1?x2?4k1?k22?4x1x2?25?1?k2?1?5k2，

设点F?到直线l的距离为d，则d?，

所以S?F?AB25?1?k2?45k1?k24k11， ??d?AB????222221?5k1?5k1?k根据题意可得：45k1?k21?5k2?40295，解得k??2或k??， 2159295．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ?x?2?满足题意．

59a?x??1?b?． x所以存在直线y??2?x?2?或y??21．解：（1）根据题意可求得切点?1,?，由题意可得g??x???5??2?第页 8

55??1g1??1?b?????所以?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 2，即?22，解得a?1,b??1．

??g??1??4?a?1?1?b?4?（2）证明 ：因为b?a?1，所以g?x??alnx?12x?ax， 2ax2?ax?a则g??x???x?a?，

xx根据题意可得x2?ax?a?0在?0,???上有两个不同的根x1,x2，

?a?2?0?2即?a?4a?0，解得a?4，且x1?x2?a,x1x2?a，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ?a?0??所以g?x1??g?x2??alnx1x2?令f?x??xlnx?1212x1?x2?a?x1?x2??alna?a2?a， ??2212x?x?x?4?，则f??x??lnx?1?x?1?lnx?x， 21令h?x??lnx?x，则当x?4时，h??x???1?0，所以h?x?在?4,???上为减函数，

x即h?x??h?4??ln4?4?0，f??x??0，所以f?x?在?4,???上为减函数，即

f?x??f?4??8ln2?12．

所以g?x1??g?x2??8ln2?12．

又因为8ln2?12?4?8ln2?8?8?ln2?1??8ln因为ln2， e22．．．．．．12分 ?0，所以8ln?0，即8ln2?12?4?0，所以g?x1??g?x2??4?0．

ee22．解：（1）因为三角形ABC为等边三角形，所以OA?BC，

又因为BD,DC分别为以B，C为切点的圆的切线，所以BD?DC，且DO?BC，所以O、A、D三点共线，因为?A?600，所以?BOC?1200，又因为B、D、C、O四点共圆， 所以?BDC?600，所以三角形BDC为等边三角形，

所以可得?CBD??ACB?60,?BCD??ABC?60，所以AC//BD,AB//CD，

所以四边形ABDC为平行四边形，又因为BD?DC，所以四边形ABDC为菱形．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为DB是圆O的切线，根据切割线定理可得：BD?DEAD，

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200在直角三角形ABE中，?BAE?300，所以AE?23AB， 3又因为AB?BD，所以AE?23BD， 32?23?因为AD?AE?DE，所以BD?DE?AE?DE??DE?，

?3BD?DE????即BD2?43BD?4?0，解得BD?23， 3所以AB?23，所以三角形ABC的面积为33．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．解：（1）根据题意可得??2cos?可化为??2?cos?，

根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x?y?2x，所以曲线C的直角坐标方程为x?y?2x．

222221?x?4?t?2?直线l的参数方程?（t为参数）化普通方程为y?3x?43，

?y?3t??2即3x?y?43?0，化为极坐标方程为?cos???（2）根据题意可得，将??将??????．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ??23．

6??6代入??2cos?，可求得OA?3，

?6代入?cos?????????23，可求得OB?43， 6?根据题意可知O、A、B三点共线，且AB?OB?OA， 所以AB?33．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

??2x,x??2?24．解：（1）根据题意可得：f?x???4,?2?x?2，

?2x,x?2?因为f?x??6，结合图象可解得?3?x?3，

所以不等式f?x??6的解集为??3,3?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）

画出函数y?f?x?与y?ax?1的图象如图所示，

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根据图象可求得点A??2,4?,B?1,0?， 因为y?ax?1关于直线x?1对称，

所以结合图象可知a??

?4?,2?3??．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ?2,???．

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