2019年全国版高考数学（理）一轮复习必刷题：第五单元 导数的概

第五单元 导数的概念与计算、定积分 与微积分定理

考点一 导数的计算

1.(2016年四川卷)设直线l1,l2分别是函数f(x)= -ln??,0

ln??,??>1

P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ).

A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解析】

由图象易知P1,P2位于f(x)图象的两段上,不妨设P1(x1,-lnx1)(01), 则函数f(x)的图象在点P1处的切线l1的方程为y+lnx1=-(x-x1),

1??1

即y=-+1-lnx1. ①

????1

则函数f(x)的图象在点P2处的切线l2的方程为y-lnx2=(x-x2),即y=-1+lnx2. ②

1??2????2

由l1⊥l2,得-3=-1,

1??11??2

∴x1x2=1.

由切线方程可求得A(0,1-lnx1),B(0,lnx2-1), 由①②知l1与l2交点的横坐标xP=2?ln??1-ln??2

11+??1??2

=??

2

. +1??2

∴S△PAB=23(1-lnx1-lnx2+1)3??

22

=1. +??12??1+

??1

1

2

1+??2

=??

又∵x1∈(0,1),∴x1+>2,

1??1

∴0<2

??1+??1<1,即1

0

【答案】A

2.(2015年天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为 .

【解析】f'(x)=a ln??+??· =a(1+lnx). 因为f'(1)=a(1+ln1)=a,又f'(1)=3,所以a=3. 【答案】3

1??

考点二 导数的几何意义

3.(2016年山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( ).

A.y=sinx B.y=lnx C.y=e

xD.y=x

3

【解析】若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则

f'(x1)2f'(x2)=-1.

对于A:y'=cosx,若有cosx12cosx2=-1,则存在x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立; 对于B:y'=,若有2=-1,则存在x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1; 对于C:y'=e,若有e??12e??2=-1,则存在e??1+??2=-1,显然不存在这样的x1,x2;

x1??

1??11??2

2222

对于D:y'=3x,若有3??123??2=-1,则存在9??1??2=-1,显然不存在这样的x1,x2.

2

综上所述,故选A. 【答案】A

4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .

3

【解析】∵f'(x)=3ax+1,∴f'(1)=3a+1.

2

又f(1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).

∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.

【答案】1

5.(2016年全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .

【解析】设x>0,则-x<0,f(-x)=e+x.

x-1

-x-1

∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=ex-1+x(x>0). ∵当x>0时,f'(x)=ex-1+1, ∴f'(1)=e1-1+1=1+1=2.

∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),

即2x-y=0. 【答案】2x-y=0

6.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .

【解析】求得(lnx+2)'=,[ln(x+1)]'=1??1. ??+1设曲线y=lnx+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2), 则k==11

,所以

??1??2+1x2+1=x1.

又y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1)=lnx1, 所以k=??1-??2??1-??2

=2,

所以x1==,y1=ln+2=2-ln2, 所以b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2. 【答案】1-ln2

11??212

考点三 定积分及其应用

7.(2014年江西卷)若f(x)=x+2 0

2

1

f(x)dx,则 0

1

f(x)dx=( ).

A.-1 B.- C. D.1

1313

【解析】∵f(x)=x+2 0

2

1

f(x)dx,∴ 0

1

f(x)dx= 3??3+2x 0??(x)d?? | 0=+2 0??(x)d??,

3

11

1

11

∴ 0

1

f(x)dx=-3.

1

【答案】B

8.(2014年山东卷)直线y=4x与曲线y=x在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).

3

A.2 2 B.4 2 C.2 D.4

【解析】令4x=x,解得x=0或x=±2,∴S= 0

3

2

4x-??3)= 2??2- 0=8-4=4,故选D.

??44

2

【答案】D

9.(2014年陕西卷)定积分 0

A.e+2 B.e+1

1【解析】 0

1

(2x+e)dx的值为( ).

xC.e D.e-1

(2x+e)dx=(x+e) =e.故选C.

0

x2

1

x【答案】C

10.(2015年天津卷)曲线y=x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .

2

【解析】

如图,阴影部分的面积即为所求. ??=??2,由 得A(1,1). ??=??,

故所求面积为S= 0【答案】 16

1

(x-x)dx= ??2-??3 0=.

2

1213

11

6

11.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【解析】

建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=x-2,抛

2

225

物线与x轴围成的面积S1= -5量比为S2∶S1=1.2.

【答案】1.2

5

2?

2240

?? dx=,梯形面积253

S2=(6+10)×2

=16.故原始的最大流量与当前最大流2

高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.

命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.

§5.1 导数概念及其运算

一 导数的概念

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:

定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

f(x0+??x)-f(x0)Δ??==??????为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y' ??=??.

??x0Δ??→0??x→0Δ??

lim

几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点 处的 .相应地,切线方程为 .

)-??(??)

2.函数f(x)的导函数:lim=??(??+Δ??.

Δ??Δ??→0

二 基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex f'(x)= f'(x)= f'(x)= f'(x)= (a>0) f'(x)= 1 ??ln??f(x)=logax f'(x)=f(x)=lnx f'(x)= 1??

三 导数的运算法则

1.[f(x)±g(x)]'= ;

2.[f(x)2g(x)]'= ;

??(??)??'(??)??(??)-??(??)??'(??)3. ?? '=(g(x)≠0). 2(??)

[??(??)]

四 复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.

? 左学右考

1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“3”.

(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同. (2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)的导数为3(x-a).

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. (4)若f(x)=sinα+cosx,则f'(x)=cosα-sinx.

2 若f(x)=x2e,则f'(1)等于( ).

xA.0 B.e C.2e D.e

3 曲线y=sinx+e在点(0,1)处的切线方程是( ).

x2

A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0

4 若y=ln(2x+5),则y'= .

π2

π4

5 设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f' sinx+cosx,则f' = .

6 已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.

知识清单

一、1.(x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 二、n2x cosx -sinx alna e

n-1

xx三、1.f'(x)±g'(x) 2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 四、y'u2u'x y对u u对x 基础训练

1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数. (2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x-a).

2

2

(3)正确.

(4)错误,f'(x)=-sinx.

【答案】(1)3 (2)√ (3)√ (4)3 2.【解析】f'(x)=e+xe,则f'(1)=2e.

xx【答案】C

3.【解析】y'=cosx+e,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.

x【答案】C 4.【解析】y'=2

. 2??+5

【答案】

2 2??+55.【解析】因为f'(x)=f' cosx-sinx,所以f' =-1,所以f' =f' -=- 2.

224222【答案】- 2

6.【解析】设切点P(m,ln(m+a)),又y'=1

所以 ??+??1, ??+??πππ 2π 2解得a=1ln2.

2

ln(??+??)=2??-1,

=2,

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