蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解（第9章 不确定性和个体行为）

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蒋殿春《高级微观经济学》 第9章 不确定性和个体行为

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1．以x代表收入（财富）水平，拥有下列效用函数的个体对待风险的态度是怎样的？

u?lnx u?ax?bx2?a,b?0?

u?x2 u?x12

u?100?6x u?1?e?x

解：个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数。由此

可以判断他们对待风险的态度分别为厌恶、厌恶、爱好、厌恶、中立和厌恶。

2．在9.1节中我们证明，如果u?x?是一个期望效用函数，那么其仿射变换

v?x??Au?x??B也是期望效用函数。证明：对任何彩票L??p;x,y?，以函数u?x?和v?x?计

算得到的风险升水相等。

证明：根据定义，按效用函数u???计算的风险升水r满足等式：

u???r??pu???x???1?p?u???y?

根据v?x??Au?x??B，所以有：

v???r??pv???x???1?p?v???y?

而这意味着r同时是以效用函数v???计算的风险升水。

因此，对任何彩票L??p;x,y?，以函数u?x?和v?x?计算得到的风险升水相等。

3．有三个人的效用函数分别是

；u2?x12和u3?x2 u1?c（c为正的常数）

有三种可选的彩票：

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L1??0.5;480,480?，L2??0.5;850,200?，L3??0.5;1000,0?

如果要三个人分别在上述彩票中挑一种，他们的选择分别是什么？

解：根据个体为风险厌恶（爱好）的充分必要条件是其期望效用函数为凹（凸）函数，可以判断出他们分别是风险中立、厌恶、偏好的。所以个体1选择L2，个体2选择L1，个体3选择L3。

4．考虑对大街上随地吐痰者进行罚款的制度。记吐痰后被逮获的概率为P，逮获后罚款金额为T，则一个人在街上吐痰后的“期望被罚金额”是PT。假设每个人都是风险厌恶的。保持期望被罚金额PT不变，有两种惩罚方案：（a）P较大T较小；（b）P较小而T较大。哪一种惩罚方案更为有效？

解：记C?PT为常数，在罚款制度下，路人吐痰的期望效用是：

U?E?u??Pu?W?T???1?P?u?W??Pu?W?CP???1?P?u?W?

于是，

?UC?u?W?CP??Xu??W?CP??u?W? ?PPC? u?WP将等式右端第一项按泰勒公式展式展开，有：

u?W?CP??u?W?????，代入前式，得： ?是位于W?CP和W之间的某一实数，所以W?CP?W其中W?UC????0 ?u??W?CP??u?W???PP??因此，在固定C?PT的前提下，提高P会提高个体的期望效用，这意味着较小概率P和

较高罚金T的组合效果更好。

5．证明：如果个体的期望效用函数形如

u?x??Ax?Bx2 A,B?0

则A-P绝对风险厌恶系数A?x?在区间??0,A2B?上是财富x的单增函数。 证明：因为绝对风险厌恶系数A?x???u???x?2B? u??x?A?2Bx所以在区间??0,A2B?上单调递增。

6．证明：

（1）A-P绝对风险厌恶系数A?x??c的充要条件是期望效用函数

u?x???Ae?cx A?0；

（2）A-P相对风险厌恶系数R?x??c?1的充要条件是

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u?x??Ax1?c?B A?0；

（3）A-P相对风险厌恶系数R?x??1的充要条件是

u?x??Alnx?B A?0

证明：（1）假设A?x???u???x????c，即： lnu??x???c，等价于???u??x?lnu??x???cx?d?u??x??e?cx?d?u?x??Ae?cx

其中，A??edc。 （2）假设R?x???xu???x??c，等价于： u??x??c?c????lnu??x?????c?lnx??lnu??x??lnx?d?u??x??ax

在c?1的情况下，上式等价于u?x??Ax1?c?B。

（3）根据（2）中的计算，R?x??c?1，那么u??x??ax?u?x??Alnx?B。

7．将A-P绝对风险厌恶系数的倒数定义为个体的风险容忍系数（risk tolerance）：

RT?x??u??x?1?? A?x?u???x?假设个体具有线性风险容忍系数：RT?x?????x，证明 （1）??0?u?a?be?x?；

（2）??0,??1?u?a?bx1???1??? ??1?； （3）??0,??1?u?a?blnx； （4）??0,???1?u?a?b???x? 其中a和b是任意常数，b?0。

证明：风险容忍系可以数改写为：

RT?x??u??x?11 ????A?x?u???x????lnu??x???2?（1）??0，RT?x???，上式等价于??lnu??x?????1?，于是：

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lnu??x???x??c?u??x??e?xa+c

从而得到u?a?be?x?。

（2）??0，RT?x???x，且??1，??1? ?那么??lnu??x?????1?x???x

lnu??x??lnx???lnb?u??x??bx?

从而得到u?a?bx1???1???。

（3）由??0,??1，RT?x??x，于是有：

??u??x??xu???x?，即??xu??x????0

从而得到u??x??bx，所以u?a?blnx。 （4）??0,???1，RT?x????x，于是：

???lnu??x?????1???x?

由于b?0，可以解得u?a?b???x?。

8．某人期望效用函数是单增的：u??g??0，并有1万元的初始财富；假设他有机会参股一项净收益为i的风险投资。如果他选择参股份额为??0???1?，他的随机收益是1??r。证明：

%（1）只要E?r??0，这个人的参股份额总是正值：??0； %（2）如果E?r??0，他的最优参股份额为0；

2（3）如果这个人一开始拥有的不是1万元确定的财富，而是另一项期望收益为1万元

的风险资产，但这项风险资产与他要参股的项目间的收益是独立的，问题（1）和（2）的结论有无变化？

证明：（1）考虑??0处的边际期望效用：

d%??%%%E?u?W?r?? ?u??1??r???0?u??1?E?r????0?E?d?%如果E?r??0，那么上式大于零，所以在初始不持有任何风险证券的情形下决定参股会

提高期望效用。

%（2）与（1）中相同考虑??0处的边际期望效用，如果E?r??0，那么式子小于零，

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参股只会降低期望效用，个体不会参股。

（3）若个体手中为另一种风险证券，则同时持有两种证券的期望效用形如：

%Eu?y??r???1???%?

??仍然考虑在??0处的边际期望效用

d%??%%E?u?Wy??ry???r?%y?????1???%????0?E??u??%?????0?E?u?d?

% ?E?y??y?%y???E??u??%?E?r?u??%?%%如果E?r无法保证上式结果是正值，从而无法保证个体一定会参股；如果E?r??0，??0，

上式必然小于零，所以个体仍然不会参股新项目。

9．某风险厌恶的投资者的初始财富是W0，有两种可供投资的资产：资产1是无风险的，

%，同时但也不产生任何利息，投资1元钱到期收回的也是1元钱；资产2的随机收益率是r政府对资产增值课税，税率为t（如果资产净收益为负值，政府对投资者进行补贴）。所以， 如果投资者对风险资产2投资x，余下的财富W0?x投资于安全资产1，他的随机收益是

%W??W0?x??x???1??1?t?r?

记投资者在风险资产上的最优投资额为x?，假设这是一个内点解，即0?x??W0。 （1）证明：如果税率t上升，投资者将提高对风险资产2的投资x?，使得?1?t?x?与税率上升前的水平相等；

（2）如何解释这一悖论？

%，记资产2的最优投资规模为x??x?t?，它证明：（1）将随机收益写为W?W0??1?t?r满足期望效用最大化的一阶必要条件：

%E???u??W??1?t?r??0

因为t?1，该条件又可改写为：

%E???u??W?r??0

两边同时对t求导，得：

%?0 Eu???W???x??t??1?t??x?t???r?从而得到x??t??1?t??x?t????x?t??1?t????0

??所以必然存在x?t??1?t??C。

（2）投资收益课税的效果实际上不同程度地“抹平”了收益的尖峰：收益越高税负越

重，而且在亏损的情况下税收变为按亏损比例的补贴。所以，这种税收政策事实上降低了投资风险。税率越高，风险降低效果越显著，风险厌恶的投资者自然会提高投资规模。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5clh.html