精算师考试 - - 金融数学课本知识精粹
更新时间:2024-07-04 10:58:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第一篇:利息理论
第一章:利息的基本概念
a'(t)???=a(t)?t?tdr??01、有关利息力:?a(t)?e?n
??0A(n)?tdt?A(n)?A(0)??(p)i(m)md2、(1?)?1?i?v?1?(1?d)?1?(1?)?p?e?mp
i?单利率下的利息力: ?=t??1?it3、? ?但贴现下的利息力:??dt?1?id?
?严格单利法(英国法)?4、投资期的确定?常规单利法(欧洲大陆法)
?银行家规则(欧洲货币法)?
5、等时间法:t???stk?1nnkk?sk?1
k2
第二章 年金
?1+i) an?an?1?1?an?a(n1、?....?sn?s(1+i) sn?s?1
nn?1?....?van?am?n?am?2、?......m??van?am?n?amm
3、零头付款问题:(1)上浮式(2)常规(3)扣减式 4:变利率年金(1)各付款期间段的利率不同 (2)各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金 (1)付款频率低于计息频率的年金
?an???现值:sk1??.......永续年金现值:??期末付年金:snisk??终值:?sk????an???现值:?ak1??期初付年金:........永续年金现值:??iak?终值:sn??ak???
3
(2)付款频率高于计息频率的年金
n??(m)1?v现值:an?(m)??1?i?期末付年金:.......永续年金现值:(m)?ni??终值:s(m)?(1?i)?1?n?i(m)???(m)n..?1?v?现值:an??(m)?1?d........永续年金现值:(m)?期初付年金:?(m)n..d(1?i)?1??终值:sn?(m)??i??
(3)连续年金(注意:与永续年金的区别)
nn??1?vtan??vdt??0????nn?s?(1?i)n?tdt?(1?i)?1 ???n?0
4
6、基本年金变化
(1)各年付款额为等差数列
?an?nvn(现值)?V0?pan?Qi?..?na?na?nv?nn(Ia)?a??nn?ii?an?nvnn?an???(Da)n?nan?ii?
???n期末付虹式年金:V=(Ia)+v(Da)n-1?an?an0n????n?期末付平顶虹式年金:V0=(Ia)n+v(Da)n?an?an?1???(2)各年付款额为等比数列
1?kn1?()1?iV0?i?k?i?k:V0不存在?n?不存在?i?k:V0? 1?i???i?k:V0存在7、更一般变化的年金:
(1)在(Ia)n的基础上,付款频率小于计息频率的形式
V0=nn?vakkiskan
(2)在(Ia)n的基础上,付款频率大于计息频率的形式
5
?na?nv?每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia)(m)?n(m)n?i??.. ?nan?nv(m)?每个计息期内的m次付款额保持不变(I(m)a)n?(m)?i?(3)连续变化年金:
1:有n 个计息期,利率为i,在t 时刻付款率为t,其现值为 ○
??(Ia)n?an?nvn?n
2:有n 个计息期,利率为i,在t 时刻付款率为f(t) ,其现值为 ○
V(0)??f(t)vdt
0
第三章 收益率
tV(0)?v?Rt?0可求出 1、收益率(内部收益率) 由
t?0nt2、收益率的唯一性:
(1)若在0~n期间内存在一时刻t,t之后的期间里现金流向是
一致的,t之前的期内的现金流向也一致,并且这两个流向方向相反,则收益率唯一。
6
(2)若在0~n-1内各发生现金流的时刻,投资(包括支出及回收,
总称投资)的积累额大于0,则该现金流唯一。
3、再投资收益率:
(1)情形一:在时刻0投资1单位,t时刻的积累值: 1?isn (2)情形二:在标准金中, t时刻的积累值:
n?i(Is)n?1?n?i?sn?nj
4、基金收益率:A:期初基金的资本量 B:期末基金的本息和 I:投资期内基金所得收入 Ct:t时刻的现金流(0?t?1) C:在此期间的现金流之和C??Ct,
t(1)i?(2)i?(3)i?I
A??Ct(1?t)t2I(现金流在0-1期间内均匀分布)
A?B?II(其中k??t?(Ct/C))
kA?(1?k)B?(1?k)It注意:上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益率
i?(1?i1)(1?i2)?(i?im)?1
6、投资组合法:计算出一个基于整个基金所得的平均收益率,然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益
投资年法:按最初投资时间和投资所持续的时间,以及与各时间相
联
系
的
利
率
,
积
累
值
为
:
7
yyy??C(1+i1)(1?i2)?(1?ik)......k?m(m为投资年法的年数,?yyyy?m?1y?k).....(1+i).....k?m??C(1+i1)(1?i2)?(1?im)(1?i即若投资时间未满m年,利用投资年法计算收益;若超过部分按投资组合法计算收益率。在y年投资第t年收益率记为ity) 7、股息贴现模型
(1)每期末支付股息Dt,假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为:
p??Dn nn?1(1?r)?(2)每期末支付股息以公比(1+g)呈等比增长,假定该股票的收益率为r,-1
D1 r?g
8
第四章 债务偿还
1、分期偿还表(标准年金,贷款额an,年利率i,每期末还款额为1)
时刻 t 每次还款额 Rt 每次还款中所包含的自增利息It 每次还款中所包含的本金Pt 未偿还贷款余额 Bt 0 1 2 ┋ t ┋ n-1 n 总计 1 1 ┋ 1 ┋ 1 1 n ian=1-vn 1-vn-1 ┋ 1-vn-t+1 ┋ 1-v2 1-v 1- ian=vn vn-1 ┋ vn-t+1 ┋ v2 v an an-vn =an?1 an?2 ┋ an?t ┋ a1 0 n?an an
第k期偿还款中的利息部分记为Ik;本金部分为pk
Ik?1?v
n?k+1
pk=vn?k?1
2、连续偿还的分期偿还表
??p?Bt?an?tt时刻的余额???rt?Bt?an(1?i)?St?
9
???I??Btt时刻偿还的本金利息?????pt?1?I?1??Bt3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表 (1)若偿还期计息k次(偿还频率小于计息频率)
时刻 还款s 0 k 2k ┋ tk ┋ n-k n 总计 额Rs 1 1 ┋ 1 ┋ 1 1 n/k 还款额中的利息部分 Is [(1+i)k-1]an/sk=1- vn 1- vn-k ┋ 1-vn-(t-1)k ┋ 1- v2k 1- vk n/k-an/sk 还款额中的本金部分Ps
贷款余额 Bs an/sk B0-Pk=an?k/sk Rk-Ik=vn vn-k ┋ vn-(t-1)k ┋ v2k vk an?2k/sk ┋ an?tk/sk ┋ ak/sk 0 an/sk
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(2)若每计息期偿还嗲款m次(偿还频率大于计息频率)
(m)表(4-4)an的分期偿还表 时刻 s 0 1/m 还款额 Rs 1/m 还款额中的利息部分Is i(m)1B0?(1?vn) mm1n?1m(1?v) m还款额中的本金部分Ps R1/m–I1/m =1贷款余额 Bs (m) an1nv m(m)B0?P1/m?an?1/m 2/m ┋ t/m ┋ n-1/m 1/m ┋ 1/m ┋ 1/m 1n?mv m┋ ?11n?tmv m(m) an?2/m┋ t?1n?1(1?vm) m┋ (m) an?t/m┋ 21(1?vm) m11(1?vm) m┋ ┋ (m) a1/m1mv m2n 总计 1/m n 1mv m(m) an10 (m)n-an
11
4、偿债基金表
每次总支时刻 0 1 2 3 ┋ t ┋ n 总计 利息Li Li Li Li ┋ Li ┋ Li nLi 基金D D D D ┋ D ┋ D nD 出额Li+D Li+D Li+D Li+D ┋ Li+D ┋ Li+D n(Li+D) 支付 存款 基金利息收入 SFIt 0 j Ds1j= D[(1+j)-1] D[(1+j)2-1] ┋ D[(1+j)t-1-1] ┋ D[(1+j)n-1-1] D(snj?n)=L-nD 偿债基金余额 SFBt Ds1j Ds2j Ds3j ┋ Dstj ┋ Dsnj=L 净贷款 余额NBt L=Dsnj L-Ds1j L-Ds2j L-Ds3j ┋ L-Dstj ┋ L-Dsnj=0
第五章 债券及其定价理论
1、债券价格
p:债券的价格 N:债券的面值 C:债券的赎回值r:票利率 Nr:票息额 g:修正票息率g=Nr/C(N=C时,g=r)i:收益率 n:票息到期支付次数 K=CvnG:基础金额G=Nr/it1:所得税率(1) 所得税后的债券价格:
12
?基本公式:p?Nr(1?t1)an?Cvn??溢价、折价公式:p?c?[Nr(1?t1)?Ci]an??基础金额公式:p=G(1-t1)+[C-G(1-t1)]vn?
?Makeham公式:p=K+g(1?t1)(C?K)?i?(2) 所得税、资本增益税后(当购买价格低于赎回值)的债券价格:
(1?t2)K?(1?t1)(g/i)(C?K)p?p?t2(c?p)v???p?1?t2K/C''n'
(3) 如果债券的购买时间不是付息日,则债券的全价(tp)
NrNrNr?Ctp???w1?wn?1?w (1?i)(1?i)(1?i)
2、溢价与折价
本金调整:溢价摊销或折价积累 期次 票息 利息收入 0 1 2 ? 本金调整 (g?i)vn (g?i)vn?1 ? 账面值 1?p?1?(g?i)ani 1?(g?i)an?1i 1?(g?i)an?2i ? g g g ? i[1?(g?i)ani] i[1?(g?i)an?1i] ? 13
t g i[1?(g?i)an?t?1i] (g?i)vn?t?1 1?(g?i)an?ti ? ? ? ? ? n-1 g i[1?(g?i)a2i] (g?i)v2 1?(g?i)a1i n g i[1?(g?i)a1i] (g?i)v1 1 合计 ng ng-p (g?i)ani?p
3、票息支付周期内债券的估价 f债券的平价:Bt?k 扣除应计票息后的买价称为市价:公式:Bfmmft?k?Bt?k+Nrk或Bt?k=Bt?k-Nrk ??Bft?k=Bt(1?i)k?1)理论法:??Nr(1?i)k?1?k?Nri ?k?m(1?i)?Bk?1t?k?Bt(1?i)?Nri?Bft?k=Bt(1?ki)2)实务法:??Nrk?kNr?BB ?mt?k?t(1?ki)?kNr?Bft?k=Bt(1?i)k3)混合法:??Nrk?kNr??Bm?Bk t?kt(1?i)?kNr
Bmt?k
(((14
4、收益率的确定
由p?C?C(g?i)an k?P?C可导出 Ckkg?g?nn?1ni?i?1(2n=1/2) n?1或
1?k1?k22n?i?g(溢价发行):赎回日尽可能早4、可赎回债券计算收益率时: ??i?g(折价发行): 赎回日尽可能晚5、系列债券:
mgm系列债券的价格?pt??Kt?(?Ct??Kt)
it?1t?1t?1t?1mmg?Nr/C其中:?Kt:所有现金流现值之和
t?1mm?C:所有现金流之和tt?1
第二篇 利率期限结构
第六章:利率期限结构理论
1、远期利率:(1?fi,j)?(1?yi?j)i?j(1?yi)
15
2、Macaulay久期与修正久期:N??久期Dmac??ti?wtii?1??修正久期D?D/(1?y)modmac?Fti 其中wti?:第i次现金流的现值在现金流总和中所占的比例p(1?y)ti?w=1tii?1N
3、Macaulay凸度与修正凸度:?Dmod??凸度Cmac??y??1?修正凸度Cmod??p?
p+?p-?有效久期:D=E?2p0??4、??有效凸度:C?p+?p-?2p0E2?p(?)0?其中p0、p+、p-表示债券期初价格、收益率在 初始收益率基础上增加和减少?时对应的价格ti(1?ti)Cti?(1+y)ti?2i?1N
第七章 随机利率模型
rsds)1、t时刻银行账户的价值?t?e?0(tt
rsds)?02、随机折现因子D(t,T)=e(?
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3、连续复利收益率B(t,T):T时刻到期的零息债券1单位面值在t时刻的价格R(t,T):连续复利收益率R(t,T)(T?t)?eB(t,T)?1??-R(t,T)(T?t)B(t,T)?e??
4、远期单利Fl(t,T,S)与远期复利Fe(t,T,S),t时刻期限为[T,S] 1B(t,T)?F(t,T,S)=(?1)?lS?TB(t,S)? ??F(t,T,S)=1lnB(t,T)e?S?TB(t,S)??lnB(t,T)5、远期瞬时利率f?t,T????TT-?f?t,u?du?t零息债券价格:(Bt,T)?e? ?1T?连续复利收益率:R(t,T)=f?t,u?du?tT?t?6、Ho-Lee模型的应用短期利率满足:rt?1?rt?a(t)?t????t随机变量?在u出现时取+1,在d出现时取-17、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程
?drt?u(t,rt)dt??(t,rt)dWt? ??B?B?1?2B2?B?dB??u(t,r)??(t,r)dt??(t,r)dW?tt?tt2??t?t2?r?t???其中u(t,rt):漂移项 ?(t,rt):波动项 Wt:标准布朗运动B=B(t,T)=B(t,T,,rt)
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8、利率风险市场价格(?t)用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合?然后选择适当的头寸?使得?的风险为零?m(t,T)?rt??????B(t,T1,rt)?B(t,T2,rt)tv(t,T)???0??r?r??1??B?B1?2B2其中m(t,T)=??u(t,rt)??(t,r)t?B??t?t2?r2?v(t,T)?1?B?(t,rt)B?t?=B(t,T1,rt)??B(t,T2,rt)
9、Vasicek模型及其下的债券定价模型:drt??(u-rt)dt??dWt???、u、?为正的常数模型的解为:rt?r0e??t?u(1?e??t)???e??(t?u)dWu0t零息债券的价格:B(t,T)?ea(?)?b(?)rt其中:?=T?t,b(?)?1?e??t
????2???2?2?2??a(?)?b(?)(u??)?(u??)??(1?e)3??2?2?24?9、CIR模型及其下的债券定价模型:drt??(u-rt)dt??rtdWt???、u、?为正的常数 该模型下风险的市场价格为:?(t,rt)??rt?
第三篇 金融衍生工具定价理论
第八章 金融衍生工具介绍
?F=S0ert?1、远期的定价?F?S0e(r?q)t...........q:连续复利率
?rtF?(S?I)e.......I:离散红利0?2、t时刻持有远期合约的价值:(0?t?T)?ft?(Ft?F0)e?r(T?t) ??r(T?t)rt?-(S0?I)e??中间收入I:ft?Fet如果有中间收入???r(T?t)(r?q)t提供红利q:f?Fe-Se?tt0??18
3、远期利率平价公式i、i*:本币和外币的利率(假定借款利率=贷款利率)St:外币的以本币标价的即期汇率(St本币/外币)外币远期的价格为F(t,T)?F(t,T)1?iT?(一般不超过一年故采用单利)*St1?iT
F(t,T)1?iT若:?(持有本币所得利息低于外币,持有外币有利)*St1?iT4、远期利率协议 (1)结算时金额:?=N|S-F|?T
1?S?T 其中:S:目标利率;F:远期价格,T:远期期限 (2)远期价格F?ft,t?T
满足:(1?rtt)(1?ft,t?TT)?[1?rt?T(t?T)] 5、期货合约的盈亏:?=nN0|Zt?1?Zt|
期货合约保证金账户盈亏代数和为:N0|St?Z0| 无论盈亏都只需交N0Z0 6、利率期货
(1)短期利率期货:(欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月) 1 若果价格变动一个基点(小数点后第二位变动一个数,如 ○
94.79?94.80或94.78),则一份合约的买方或卖方将支付25远。 对于本金100万而言,一个季度每个基点的价值为:
100万?0.01%?1?25(美元) 4r2T2?rT112远期利率f满足(1?rT)(1?0.25f)?(1?rT)?f?4?○ 11221?rT13套期保值原理(N:被保资产金额D:保质期限S存款利率变动○
的基点n:合约的份数)
19
n?ND??S 面值90(2)长期利率期货 1国债期货: ○
点数价值:价格波动一个最小值时,一份合约买卖双方盈亏金额 2转换因子:指如果名义债券平价发行,那么一单位面值的该债○
券的价格。如:若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%,剩余期限为2年,则付息日的转换因子为:
CF?[333100?3???]/100 (1?4%)(1?4%)2(1?4%)3(1?4%)4(3)交割债券的选择(最廉价交割债券)
卖方在债券的现货市场上可以以P+A价格买到债券(P:债券净价,A:应计利息);在期货交割时卖方将收到买方现金CF?Z?A(Z:债券期货的价格),同时支付债券。显然A不影响卖方的成本,卖方的净交割成本为:P?CF?Z
(4) 国债的定价类似于:F?(S0?I)ert.
例题:假设某国债期货党的CTD债券的票息率为12%;CF=1.4. 假定在270天后交割,债券每半年计息一次;当前时刻距上次付息以过了60天,利息力为r=0.1;债券报价为120;可按如下方法计算期货的价格Z:
解:(1)债券的全价=净价+应计利息之和(每100元面值的利息) 120+60?6=121.978 182 (2)计算期货的现金价格:
20
(121.978-6?e?132?0.1365)?e270?0.1365?125.095
(3)计算以CTD债券为基础资产的期货价格: 125.095?6?148?120.242 183 (4)利用转换因子CF计算国债期货的价格: Z?120.242?85.887 1.4(5)国债期货套期保值原理
基点价值bpv:收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。 如:面值为10万美元、期限为3年,票利率为10.75%,若当前市场利率为10%,则该债券的bpv为:
31075010000010750100000bpv?(??)?(?) ?t3t3(1?10%)(1?10%)(1?10.01%)(1?10.01%)t?1t?137、看涨看跌期权平价公式
ct?Ke?r(T?t)?pt?St
其中ct:t时刻的看涨期权的价格 K:看涨期权的执行价格
pt:t时刻的看跌期权的价格 St:t时刻的基础资产价格
8、期权价值的影响因素
(1)基础资产价格St:对看涨期权St越大,价格越高
对看跌期权St越大,价格越低
(2)执行价格K:对看涨期权K:越大,价格越高
对看跌期权K:越大,价格越低
(3)到期期限T:对美式而言,T越长,价格越高 对欧式而言,不一定
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