2011高考二轮复习文科数学专题三 1第一讲 等差数列与等比数列

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专题三 数

列

第一讲 等差数列与等比数列

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考点整合

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等差数列的概念及性质考纲点击 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能 用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.

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基础梳理 一、等差数列 1.等差数列的定义 数列{an}满足________(其中n∈N*,d为与n值无关且为常数)  {an}是等差数列. 2.等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1,公差为d,则an=a1+________= am+________(n,m∈N*). 3.等差中项 若x,A,y成等差数列，则A=________,其中A为x、y的等 差中项. 4.等差数列的前n项和公式 若等差数列首项为a1,公差为d,则其前n项和Sn=________ =na1+________.

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答案： 1.an+1-an=d 2.(n-1)dx+y 3. 2 n(a1+an) n(n-1)d 4. 2 2

(n-m)d

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整合训练 1.(2009年福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6, a1=4, 则公差d等于( ) A.1 B. 5 C.-2 D.33

答案：C

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等比数列的概念及性质 考纲点击 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能 用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

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基础梳理 二、等比数列 1.等比数列的定义 数列{an}满足________=q(其中an≠0,q是与n值无关且 不为零的常数，n∈N*){an}为等比数列. 2.等比数列的通项公式 若等比数列的首项为a1,公比为q,则an=a1·________ =am·________(n,m∈N*). 3.等比中项 若x,G,y成等比数列，则G2=________,其中G为x、y 的等比中项，G值有________个. 4.等比数列的前n项和 设等比数列的首项为a1,公比为q,则 Sn= a1(1-qn) 1-q = (q=1) (q≠1) .

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答案： 答案：an+1 - 1. a 2.qn 1 n 4.na1 qn-m

3.xy 两

a1-anq 1-q

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2.(2010年浙江卷)设Sn为等比数列{an

}的前n项和，8a2 S5 +a5=0,则 S2 =( ) A.11 B.5 C.-8 D.-11

答案：D 答案：

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高分突破

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有关等差数列的基本问题 (1)将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据以上排列的规律，数阵中第n行(n≥3)从左向右的 第3个数为________. (2)已知{an}是一个等差数列，且a2=1,a5=-5. ①求{an}的通项an; ②求{an}的前n项和Sn的最大值.

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思路点拨：(1)将该数阵中各行的数排成一行，则成一个 思路点拨： 正整数数列，再注意数阵中第n行有n个数，所以可求该数阵 前n-1行共有多少个数，从而可求第n行的第3个数； (2)由a2及a5的值，可求出等差数列{an}的首项a1及公差d, 从而求出通项公式an,再由Sn的公式可求出Sn的表达式，利用 二次函数求最值即可求出Sn的最大值. 解析： 解析：(1)从三角数阵可知，第n行从左向右的第3个数应 为该正整数列的第1+2+3+…+(n-1)+3个数，该数的值 为： 2n(n-1) n -n+6 1+2+3+…+(n-1)+3= 2 +3= . 2 (2)①设{an}的公差为d,由已知条件得： a1+d=1 a1=3 ,解上式得： , a1+4d=-5 d=-2

∴通项an=a1+(n-1)d=-2n+5.

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n(n-1) ②法一：依题意有：Sn=na1+ 2 d

=-n2+4n=-(n-2)2+4. ∴当n=2时，Sn有最大值4. 法二： 法二：∵an=-2n+5. ∴该数列为递减数列，设其前n项和最大，则有 an≥0 -2n+5≥0 ,即 , an+1<0 -2(n+1)+5<0

3 5 ∴2<n≤2.又∵n∈N*,∴n=2, ∴{an}的前2项和最大，最大值 2×1 S2=2a1+ 2 d=2×3-2=4. n2-n+6 答案：(1) (2)见解析 2

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跟踪训练 1.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn, S4=2S2+4,bn= 1+an . an (1)求公差d的值； (2)若a1=- 5 ,求数列{bn}中最大项和最小项的值.2

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解析：(1)∵S4=2S2+4, 4×3 ∴4a1+ 2 d=2(2a1+d)+4. 解得d=1. 5 (2)∵a1=-2. 7 ∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)×1=n-2. 1 1 ∴bn=1+a =1+ 7. n n-2 ∵函数f(x)=1+ 7 7 在 -∞,2 和 2,+∞ 上分别是单调减函数， 7 x-2 1

∴b3<b2<b1<1;当n≥4时，1<bn≤b4. ∴数列{bn}中的最大项是b4=3,最小项是b3=-1.

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有关等比数列的基本问题 设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn. (1)证明：当b=2时，{an-n·2n-1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式. n

为非零常数即可 或转化为an+1-(n+1)·2n=(an-n·2n-1)q,q为非零常数. (2)当b=2时，由(1)可求出{an-n·2n-1}的通项公式， 从而得到{an}的通项公式；当b≠2时，构造新数列，求其通 项公式. 解析： 解析：∵ban-2n=(b-1)Sn, 令n=1得ba1-2=(b-1)a1,∴a1=2. 又ban-2n=(b-1)Sn,① ∴ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1.②

an+1-(n+1)·2 思路点拨： 思路点拨：(1)只需证明 an-n·2n-1

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②-①得：ban+1-ban-2n=(b-1)an+1. 即an+1=ban+2n.③ (1)当b=2时，由③得an+1=2an+2n, ∴an+1-(n+1)·2n=2an+2n-(n+1)·2n =2(an-n·2n-1n). a -(n+1)·2 即 n+1 =2,又∵a1-1·21-1=1≠0, n-1an-n·2

∴{an-n·2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列. (2)当b=2时，由(1)知，an-n·2n-1=2n-1, ∴an=(n+1)·2n-1. 当b≠2时，由③知：

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1 n+1 1 n+1 b·2n an+1- 2 =ban+2n- 2 =ban- 2-b 2-b 2-b

an- 1 2n . =b 2-b 2 n-1 2(1-b) n-1 1 n a1 - ∴an- ·2 = 2-b ·b = 2-b b , 2-b 1 - ∴an= [2n+(2-2b)bn 1], 2-b ∵a1=2适合上式，∴an=n-1

1 - [2n+(2-2b)bn 1]. 2-b

(b=2) (n+1)·2 综上知an= 1 . n n-1 2-b[2 +(2-2b)b ] (b≠2)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5cdi.html