2007年高考物理专题复习五 - - 动 量

2007年高考物理专题复习五------动 量

【高考要求】

高考主要考察三类问题： （一）功应用当量定律内容解题

（二）物体在相互作用过程中的动量守恒定律 （三）动量、能量的综合应用 1．概念：

动量P?mv是矢量，其中v指物体的对地速度 动量的增量?P?Pt?P0是矢量

冲量I?Ft矢量，只适用于计算恒力的冲量 2．规律：

动量定理：F合t?Pt?P0，可以计算变力的冲量，应用时注意受力画好受力分析图和规定正方向． 动量守恒定律：

1．对象：相互作用的物体构成的系统；

2．条件:(1)不受外力或所受的合外力为零；(2)所受的合外力不等于零，但某个方向上不受力或所受的合外力为零；(3)相互作用的时间极短，合外力的冲量较小(即系统的动量变化很小)，可以忽略，满足以上任意一种就可以用动量守恒；

3．表达式：m1v1?m2v2???m1v1?m2v2??； 4．关键：能否选定系统及对系统进行正确的受力分析

??【复习过程】

一．动量和冲量

动量 冲量 公式 单位 量的性质 状态量、矢量 过程量、矢量 意义 运动效果 力的时间积累效果 P=mv kg?m/s N?s I?Ft 注意：

（1）尽管1N?s?1kg?m/s，但记录结果应该加以区分．

（2）．动量描方向与速度方向相同，恒力的冲量方向与力的方向相同，变力的冲量方向应从动量的变化量来确定。 例 放在水平桌面上的物体质量为m，用一个F的水平恒力推它t秒钟，物体始终不动，那么在t秒内，推力对物体的冲量应为 [ ]

A．0 B．Ft C．mgt D．无法计算 答 本题的正确选项是B． 二．动量定理

1．内容:物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化． 2．表达式:F合t?mvt?mv0或I合??p 3．应用动量定理的一般解题步骤

(1)确定研究对象(可以是单个物体，也可以是两个以上物体构成的系统)． (2)明确研究过程，进行完整的受力分析． (3)确定初末状态物体动量的大小和方向．

(4)选定正方向(一般可取初动量方向为正方向)，根据动量定理列方程求解． 例：应用动量定理求变力的冲量

在光滑的水平桌面上，细绳的一端拴一个质量为m的小球，绳长为L，另一端固定，使小球在水平桌面上做匀速圆

周运动，若小球做圆周运动的速度为v，则小球通过半个圆周的时间内细绳对小球的冲量大小为 [ ]

A．?mv B．2mv C．2?mv D．mv

分析 绳子的拉力提供了小球作圆周运动的向心力，尽管它始终指向圆心，但是对地观察者而言，其方向是不断改变的，因此是一个变力，计算变力的冲量不能用公式I?Ft，而应该根据动量定理，由于绳子的拉力是小球受到的合外力，其冲量等于小球动量的变化量，所以?p?pt?p0?2mv．

答 本题的正确选项是B．

演练 单摆摆球质量为m，摆线长为l，使摆线偏离竖直方向?角后，无初速释放小球，则小球摆到最低点过程中，合外力对小球的冲量多大，方向如何？

mgl(1?cos?)?mv2/2

I合??p=mv?0?m2gl(1?cos?)

方向沿着水平方向。

例 质量为1.0kg的小球从高20m处自由落到软垫上，反弹后上升的最大高度为5.0m．求：接触时间内小球受到合力的冲量大小．（空气阻力不计，g取10m/s）

分析 接触时间内小球受到合力的冲量大小等于小球动量的变化，为反弹时的速度，再根据动量定理计算．

解 如图所示，小球下落到地面附近时的速度大小为v0?为v1?此可以先求出小球落地时及

22gh1，

小球离开地面时的速度大小

2gh2，取竖直向下为正方向，则

30N?s．

I合??mvt?mv0??m(2gh2?2gh1)??30N?s，即冲量的大小为

发散 上述解法抓住了相互作用的过程研究，比较直观，容易理解和掌握．事实上也可以选择小球从高处下落，至上升到最高点的全过程来处理，这个过程中小球的动量变化量为零，其原因是合外力的冲量为零，即小球在空中运动时重力的冲量与接触时间内合力的冲量大小相等，方向相反．I合?mg(2h12h2?)?30N?s． gg思考：若小球与软垫的接触时间为1.0s，则软垫对小球的作用力多大？

例 一个质量是64kg的人从墙上跳下，以7m/s的速度着地，与地面接触0.1s停下，地面对人的作用力多大？如果他着地时弯曲了双腿，用了1s钟才停下来，地面对他的作用力又是多大？（g取10m/s）

分析 人落地时受力情况如图所示，取竖直向下（初速度方向）为正方向，列出动量定理方程，可以解出地面对人的作用力．

解 据动量定理：(mg?F)t?0?mv0得F?mg?mv0，当t?0.1s代入时，F?5120N；当t?1s代入时

t2F?1088N．

发散 运用动量定理解决问题时，一个容易犯的错误是正负号出错，为此在定矢量的正方向，代入数据时，必须考虑动量和力的正负号．本题的计算表明，延长与地面的作用时间，从而起到缓冲的作用，以减小地面对脚的冲击力．

思考：跳伞运动员从飞机上跳下， 经过一段时间速度增大到收尾速度

列方程之前，必须先选人着地时弯曲双腿可以

50m/s，又经过一段

时间跳伞运动员才张开伞， 这时跳伞运动员受到很大的冲力．设张伞时间为1.5s， 张开伞后跳伞运动员速度变为

5m/s．跳伞运动员竖直向下运动， 则跳伞运动员张开伞期间受到空气对它的平均冲力大约是他体重的多少倍?

例 总质量为M的气球由于故障在高空以匀速v下降，为了阻止继续下降，在t?0时刻，从热气球中释放了一个

质量为m的沙袋，不计空气阻力，问：（1）经过多少时间气球停止下降？（2）气球停止下降时，沙袋的速度为多大？

分析与解答：如图所示，气球匀速下降，则浮力等于整体的

重力，即

生了向上的加速度，

F?Mg??(1)气球释放沙袋后，由于浮力不变，合力向上，产

根据牛顿第二定律得：F?(M?m)g?(M?m)a??(2)气球速度减为零，v?at??(3)，解得t?(M?m)v/mg；由于惯性，沙袋释放时具有速度v，释放后由于只受重力，加速度为g，作竖直下抛运动，末速度为vt?v?gt?Mv/m．

若用动量定理计算

F?Mg??①

对气球[F?(M?m)g]t?0?(M?m)v??② 对沙袋mgt?mv??mv??③

整体法应用动量定理0?t?(mv??0)?(M?m)v，即为动量守恒方程式 三．动量守恒定律及其简单应用

1. 内容和表达式

一个系统不受外力或者所受的外力之和为零，这个系统的总动量保持不变．其表达式有:p1?p2?p1?p2，或

????m1v1?m2v2?m1v1?m2v2，或?p1???p2,可根据具体情况选择不同形式的表达式．

2. 使用条件

(1)系统不受外力或所受的合外力为零．

(2)系统所受的合外力不等于零，但是在某个方向上不受力或所受的合外力为零，则这个方向上物体的动量是守恒的．

(3)物体所受的合外力不等于零，但相互作用的时间极短，使得合外力的冲量较小(即系统的动量变化很小，这种情况往往对应于内力大于大于合外力)，可以近似认为系统的动量守恒．炸弹爆炸、碰撞过程一般满足这一情况．

3．解题的一般步骤

4． 明确相互作用的过程，根据过程确定研究对象．

2．分析系统所受外力的情况，确定守恒条件是否成立． 3．分析过程中初末状态各个物体的动量大小和方向． 4．确定动量的正方向，列出动量守恒方程并求解．

说明：（1）中学阶段只要求一条直线上的动量守恒；（2）动量守恒定律中各个物体的速度必须对应于参考系，一般而言，在研究地面物体相互作用时，速度应取地面为参考系． 4．适用范围

动量守恒定律可以从牛顿定律推导得到，也可以从实验得出，牛顿定律只适用于低速宏观物体，从牛顿定律推出的动量守律，不仅适用于宏观物体之间的相互作用，也适用于微观粒子之间的相互作用，因此它是自然界中最重要、最普遍的客观规律之一．

5．简单应用

碰撞和炸裂的过程中的相互作用力是变力，用牛顿定律无法解决速度等量的计算，即使合外力不等于零,但由于作用时间较短(满足相互作用的内力大于大于合外力)，因此系统的动量变化是很小的，可以近似认为系统的动量守恒，列出动量守恒方程，便可计算有关物理量． 二．动量守恒定律和牛顿定律 1．从牛顿定律导出动量守恒定律

动量守恒定律可以根据牛顿第二、第三定律导出：设质量为m1和m2的相互作用的时间为t，相互作用力为F和F?，除此之外，物体不受其它外力的作用，作用前后的速度分别为v1、v2和v1、v2． 根据牛顿第二定律

????Ft?m1at?mv1?mv1??(2)，F?t?m2at?mv2?mv2??(3)根据牛顿第三定律F???F??(1)，由此可得??m1v1?m2v2?m1v1?m2v2．

2．牛顿定律的局限性与动量守恒定律的普遍性

牛顿定律只适用于低速宏观物体，从牛顿定律导出的动量守恒定律，不仅适用于低速宏观物体，也适用于高速微观粒子．动量定理和动量守恒定律的建立不仅解决了牛顿定律可以解决的问题，也为牛顿定律无法解决的问题提供了有效的理论基础和方法．

3．如何区分内力和外力？

内力和外力是相对的，两个物体相互作用，如果选择每个物体为研究对象，则相互作用力对每个物体来说都是外力，它参与每个物体运动状态的变化；若选择两个物体构成的系统（整体）为研究对象，则此时的相互作用力称为内力，由于它们作用在一个整体上，其动力学效果可以抵消，即相互作用力不能引起整个系统的状态发生变化．

内力不能引起系统的动量发生变化，因此在判定系统的动量守恒条件是否满足时，不必分析内力，只需分析系统受到的外力．如果系统受到的合外力不为零，则系统的动量将发生变化，并且系统所受合外力的冲量等于系统的动量的变化量，即动量定理对整个系统也是适用的． 【典型例题】

例1 汽车M拉着拖车m在平直的公路上匀速行驶，设阻力与重力成正比，比例系数为k；突然拖车与汽车脱钩，而汽车的牵引力不变，则在拖车停止运动前

A． 汽车的动量减小 B． 拖车的动量增加 C． 汽车和拖车的总动量守恒 D． 汽车和拖车的总动量不守恒 [ C ]

例2 如图所示，质量分别为m的物体视为质点，斜面的质量为M，底边长为 b，设斜面与地间无摩擦，当m由顶端从静止开始滑到底端时，两者水平位移各是多少？

分析 两个物体构成的系统水平方向不受力，所以水平动量守恒，竖直方向上由于m有向下的分加速度，所以有失重现象，使得系统对的重力大于地面对系统的支持力，所以竖直方向上合外力不等于零，动量不守恒。

解 设m向左移动的速度为v1，位移为s1，斜面向右移动的速度为v2，位移为s2，根据水平动量守恒，

mv1?Mv2??①

两边乘上时间t得ms1?Ms2??② 由于s1?s2?b??③ 解得s1?Mmb，s2?b

M?mM?m例3 总质量为M的气球由于故障在高空以匀速v下降，为了阻止继续下降，在t?0时刻，从热气球中释放了一个质量为m的沙袋，不计空气阻力，问：（1）气球停止下降时，沙袋的速度为多大？ （2） 经过多少时间气球停止下降？

分析 （1）气球和沙袋整体（系统）竖直方向上动量守恒（条件是沙袋尚未着地）Mv?mv1?(M?m)?0??①

所以vt?Mv/m

（2）隔离沙袋，由动量定理得mgt?mv1?mv??② 得t?(M?m)v/mg

例4 如图所示，在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B，已知mA?500g，mB?300g，有一质量为

mC?80g的小铜块C以25m/s的水平初速开始，在A表面滑动，由

铜块C最后停在B上，B和C一起以2.5m/s的速度共同前进，求：(2)C在离开A时速度。

于C与A、B间有摩擦，(1)木块A的最后速度；

分析 当C在A上滑动时，由于A与B之间的推力作用，A与B是一起运动的，所以动量守恒的系统应是A、B、C

三个物体构成；当C在B上滑动时，A将保持匀速直线运动，此时C和B构成了相互作用的系统，当然从相互作用的整个过程来看，三个物体构成的系统的总动量也是守恒的，表示上述作用过程中的典型状态如图所示。

解 （1）整个过程中三个物体构成的系统水平动量守恒：

mCvC?mAvA?(mB?mC)vBC??(1)代入数据得vA?2.1m/s。

（2）设C离开A时的速度为vC，此速度也是C与B开始直接作用时的速度，根据C与B构成的系统水平动量守恒：

??mCvC?mBvA?(mC?mB)vBC??(2)

代入数据得vC?4m/s。

?【习题训练】

一、动量与动量定理

动量P?mv是矢量，动量的增量?P?Pt?P0是矢量，冲量I?Ft是失量；根据牛顿第二定律，合外力的冲量等于物体动量的增量，即为动量定理：F合t?Pt?P0，应用时注意受力画好受力分析图和规定正方向．

1．质量为m的钢球自高处落下，以速率v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地时的速率为v2，在碰撞过程中，钢球受到的合外力的冲量大小和方向为 【 】

A． m(v1?v2) 竖直向下 B． m(v1?v2) 竖直向下

C． m(v2?v1) 竖直向上

D． m(v1?v2) 竖直向上

2．质量为1.0kg的小球从高20m处自由落到软垫上，反弹后上升的最大高度为5.0m．小球与软垫的接触时间为

1.0s，在接触时间内小球受到合力的冲量大小为（空气阻力不计，g取 10m/s2 ）

【 】

A．10Ns B．20Ns C．30Ns D．40Ns

3．物体A和B用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动，如图1所示，A的质量为m，B的质量为M，当连接A、B的绳子突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，在这一段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为【 】

A．mv B．mv?Mu C．mv?Mu D．mv?mu

4．一宇宙飞船以v?1.0?10m/s的速度进入密度为??2.0?10?9Kg/m3的微陨石中，如果飞船垂直于运行方

24向上的最大截面积为S?5m，且近似地认为微陨石与飞船碰撞后都附在飞船上，则飞船受到的平均阻力为 【 】 A．

11N B．1N C．?104N D．1?104N 335．一个质量为m的小球自高h处自由落下，与水平地面碰撞后弹起 的最大高度为h/2．小球与地面碰撞过程中受到的总冲量大小是 【 】

A．mgh B．m2gh C．(2?1)mgh D．(2?1)mgh

6．一质量为100g的小球从0.80m的高处自由下落到厚软垫上，若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.2s，则这段时间内软垫对小球的冲量为____．（不计空气阻力，g取10m/s）

7．两物体的质量为m1和m2，它们分别在恒力F1和F2的作用下由静止开始运动，经过相同的位移，动量的增加量相同，则两恒力的比值F1:F2?______．

8．某消防队员质量为m，从一平台上落下，下落2m后双腿触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身的重心又下降了0.5m才停止下来，在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为多少？

9．如图2所示，一个质量为m的铁锤，从距离木桩顶部高度为H处自由落下，铁锤与木桩的作用时间为?t且没有反弹，则铁锤对木桩的平均作用力多大？

10．用质量为0.5kg的铁锤把钉子敲进木头中， 铁锤打到钉子时的速度是4.0m/s， 打击钉子后铁锤未弹起， 打

2

击的时间是0.01s， 求铁锤敲打钉子时的平均作用力．

11．一根质量不计的细绳长1m， 能承受的最大拉力为14N， 一端固定在天花板上， 另一端系一质量为1kg的小球， 整个装置处于静止状态， 如图3所示， 若迅速水平敲击一下小球将细绳拉断， 作用在球上的水平瞬时冲量至少多大?

12．从地面以v1的速率竖直上抛一小球，由于空气阻力的作用，小球回到地面的速率为v2，若空气阻力与速率成正比，则小球从抛出到落地所经历的时间是多少？

二、动量守恒定律

1．对象：相互作用的物体构成的系统；

2．条件:(1)不受外力或所受的合外力为零；(2)所受的合外力不等于零，但某个方向上不受力或所受的合外力为零；(3)相互作用的时间极短，合外力的冲量较小(即系统的动量变化很小)，可以忽略，满足以上任意一种就可以用动量守恒；

3．表达式：m1v1?m2v2???m1v1?m2v2??； 4．关键：能否选定系统及对系统进行正确的受力分析．

1．如图1所示，质量为M的斜面体放在光滑水平面上，将质量m的物体放在M上由静止开始自由下滑，则下列说法中正确的是 【 】 A．M和m组成的系统动量守恒 B．M和m组成的系统动量不守恒 C．M和m组成的系统水平方向动量守恒

D．M和m组成的系统竖直方向动量守恒

2．如图2所示，质量为m的人，站在质量为M的车的一端，开始时均相对于地面静止 ．当车与地面间的摩擦可以不计时，人由一端走到另一端的过程中 【 】 A．人在车上行走的平均速度越大,则车在地上移动的距离越小 B．不管人以怎样的平均速度走到另一端，车在地上移动的距离都一样 C．人在车上走时，若人相对车突然停止，则车沿与人行速度相反的方向

D．人在车上行走突然停止时，则车也突然停止

3．向空中发射一物体，不计空气阻力，当此物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂成a、b两块，若质量较大的

??作匀速直线运动

a块的速度方向仍沿原来的方向，则 【 】

A．b的速度方向一定与原速度方向相反

B．从炸裂到落地的这段时间里，a飞行的距离一定比b大 C．a、b一定同时落地

D．在炸裂过程中， a、b受到的爆炸力的冲量大小一定相等

4．汽车拉着拖车在平直的公路上匀速行驶，突然拖车与汽车脱钩，而汽车的牵引力不变，各自受的阻力不变，则在拖车停止运动前 【 】 A．汽车的动量减小

B．拖车的动量增加 C．汽车和拖车的总动量守恒

D．汽车和拖车的总动量不守恒

5．在匀速前进的船上，分别向前、后抛出两个质量相等的物体，抛出时两个物体相对地面的水平速度大小相等，物体抛出后船的速度 【 】

A．大小不变 B．减小 C．增大 D．不能确定

6．甲、乙两船漂浮在静止的水面上，甲船上的人通过轻绳牵引乙船，水的阻力不计，在乙船靠近甲船的过程中 【 】

A．两船的位移大小不一定相同 B．两船受的冲量大小不一定相同 C．两船的动量变化大小相同 D．两船的末动量大小相同

7．如图3所示，在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车（和单摆）以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短．在此碰撞过程中，下列哪个或哪些说法是可能发生的？【 】

A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足 (M?m0)v?Mv1?mv2?m0v3

B．摆球的速度不变，小车和木块的速度变为v1和v2，满足

C．摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v1，满足D．小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足

Mv?Mv1?mv2 Mv?(M?m)v1

(M?m)v?(M?m0)v1?mv2

8．一门旧式大炮水平射出一枚质量为10kg的炮弹，炮弹飞出的速度（对地）是600m/s，炮身的质量2t，则大炮后退的速率为______m/s；若大炮后退中所受的阻力是它重力的30%，则大炮能后退的距离为________m．

9．质量为M的金属块和质量为m的木块用细线系在一起，以速度v在水中匀速下沉，某一时刻细线断了，则当木块停止下沉的时刻，金属块下沉的速率为_________．(设水足够深，水的阻力不计)

10．质量为10t的炮车，以560m/s的速度（对地）发射质量为10kg的炮弹，设炮弹对地速度方向与地面成60°角，求炮车的后退速度．

11．如图4所示，一个质量为m的玩具蛙，蹲在质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上，若车长为l，细杆高为h，且位于小车的中点，试求：当玩具蛙跳出时的水平速度v满足什么条件时，它才能落到桌面上？

12．如图5所示，长为L，质量为M的木板A静止在光滑的水平桌面上，有一质量为m的小木块B以水平速度v0滑入木板A的左端．木块B与木板A之间的动摩擦因数为?，木块B的大小不计，问：(1)A与B的加速度各是多少?方向怎样?(2)如果最后B恰好到达A木板的右端不落下来，则v0的大小应是多大?

【参考答案】

动量与动量定理

1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．0.60Ns 7．m2:m1

8．5mg 9．mg?m2gH/?t 10．200N 11．2Ns 12.(v1?v2)/g 动量守恒定律

1．BC 2．BD 3．CD 4．C 5．C 6．ACD 7．BC 8．3，1.5 9．(M?m)v/M 10．0.28m/s 11．v?Mlg

2(M?m)2h2?gL(M?m)

M12．aA??mgM水平向右，aB??g水平向左，v0?动量（2）

例1 两个质量相同的小车位于同一水平光滑轨道上，A车上站着一个人，两车都静止，如图所示．当这个人自A车跳到B车上又立即跳回A车并在A车上站稳时，下面说法中正确的是 [ ] A．两车又都恢复到静止状态

B．两车都在运动，它们的速率相等，方向相反 C．两车都在运动，A车的速率大于B车的速率

D．两车都在运动，A车的速率小于B车的速率

解答：当人跳离A车时，人和A车系统水平动量守恒，人和车B结合系统水平动量守恒；当人又跳回A车时，人和B车系统动量守恒，人和A车系统水平动量守恒。

所以可以将全过程（A车、B车和人）作为研究的过程，三物体作为系统，水平动量守恒：

0?mvB?(M?m)vA，由此可知答案D是正确的。 例2 质量为M的小船以速度v0行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止站在船头和船尾。现小孩a沿水平方向以速率v（相对于静止的水面）向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率v（相对于静止水面）向后跃入水中，求小孩b跃出后小船的速度。

解答：船和两个小孩组成的系统水平动量守恒

(M?2m)v0?mv?mvv?Mv? 得v??(M?2m)v0

M也可以分成两个过程（两个系统）应用动量守恒定律：

小孩a沿水平方向以速率v向前跃入水中：(M?2m)v0?(M?m)v1?mv??①

小孩b沿水平方向以同一速率v向后跃入水中：(M?m)v1?Mv2?mv??②

①+②得(M?2m)v0?Mv2?mv?mv??③即为三个物体两个过程总系统的动量守恒定律。

例3 一导弹离地面高度为h水平飞行，某个时刻导弹的速度为v，突然爆炸成质量相同的两块A和B，两块物体同时着地，两落地点间距为4v2h/g，两落地点与爆炸前导弹速度在同一平面内，不计空气阻力，已知爆炸后瞬间，A的动能为EA大于B的动能，试计算两物体的动能的比值。

解答：设爆炸后两块的水平速度同向，分别为vA和vB，由于EA?EB，所以vA?vB 由于水平方向动量守恒2mv?mvA?mvB??①

(vA?vB)2h/g?4v2h/g??②

解得vA?3v，vB??v（与假设方向相反，即与v反向） EA?9EB

例4 一列火车在牵引力F作用下水平直轨道上做匀速直线运动，总质量为M，速度为v，某时刻有质量为m的一节车厢脱钩，司机并未发觉，又继续行驶了一段距离s，这期间机车的牵引力保持不变，并且火车各部分所受的阻力跟速度无关。当司机发现后，后面脱钩的车厢的速度已减为v/3，此时刻火车前面部分的速度多大？

解答：站在整个火车（车和脱钩车厢）的角度来看，系统在水平方向上脱钩后所受的合外力仍等于零，故水平方向上系统的动量守恒：Mv?m?v/3?(M?m)v???①得v??3M?mv

3(M?m)拓展 一列火车在牵引力F作用下水平直轨道上做匀速直线运动，总质量为M，速度为v，某时刻有质量为m的一节车厢脱钩，司机并未发觉，又继续行驶了一段距离s，这期间机车的牵引力保持不变，并且火车各部分所受的阻力跟速度无关，与车的质量成正比，当司机发现后，立即撤去牵引力，问两车停下时相距多远？

解答：如果在车厢脱钩的同时撤去牵引力，则两个停下时相距多远？ 为什么停下时会拉开距离？（牵引力多做了FS的功）

FM(M?m)?s 得?s?s MM?m例5 人和冰车的总质量为M，另有一木球，质量为m，M:m?31:2，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦均可不计，空气阻力

由此F?s?也忽略不计．设球与挡板碰撞后，球被反向弹回，速率与碰前相等，人接住球后再以同样的速度v（相对地面）将球沿冰面向正前方推向挡板，则人推球多少次后不能再接到球？

第一次推出球：Mv1?mv??① 小车的速度为v1?mv M

第一次接到球：mv?Mv1?(M?m)v1??②

第二次抛出球：(M?m)v1??mv?Mv2??③ 小车速度为v2?第二次接到球：mv?Mv2?(M?m)v2??④

第三次抛出球：(M?m)v2??mv?Mv3??⑤ 小车的速度为v3?由数学归纳法可知第n次抛出小球后，小车的速度为vn???3mv M??5mv M(2n?1)mv，当vn?v时，小车上的人将无法接到小球，

M代入数据得n?8.25，取n?9。

本题的另一种解法即是对系统应用动量定理。小球和小车的动量逐渐变大，其原因是小车和小球组成的系统在整个过程中受到墙壁的冲量，每次墙壁对小球的冲量（也是对系统的冲量）等于2mv，当抛出小球n次后，小球与墙壁碰撞了n次，根据动量定理，2nmv?mv?Mvn，当vn?v时，小车上的人将无法接到小球，代入数据得n?8.25，取n?9。

例6 如图所示，一排人站在x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n(n?1,2,3?)。每人只有一个沙袋，

x?0一侧的每个沙袋质量为m?14kg，x?0一侧的每个沙袋质量为m??10kg。一质量为M?48kg的小车以某初

速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此沙袋之前的瞬间速度大小的2n倍（n是此人的序号数）

（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 分析 （1）设第n?1次抛过后的速度的速度为vn，由动量守恒定律得：

为vn?1，第n次抛完后

[M?(n?1)m]vn?1?2nmvn?1?[M?nm]vn??①

得vn?[M?(n?1)mvn?1?2nmvn?1[M?(n?2)m]vn?2?2(n?1)mvn?2??② vn?1???③

M?nmM?(n?1)m?小车反向的条件是vn?0，vn?1?0可得2?n?4，即车上有3个球时车将反向。

（2）设车反向运动到0点的首速度为v0（为第三个球与之结合后的速度），设第k?1次抛过后的速度为vk?1，第k次抛完后的速度为vk，由动量守恒定律得：

[M??(k?1)m?]vk?1?2kmvn?1?[M?km?]vk??④

得vk?[M??(k?1)m?vk?1?2km?vk?1[M??(k?2)m?]vk?2?2km?vk?2??⑤ vk?1???⑥

??M?kmM??(k?1)m?车不再向左滑行的条件是vk?0，vk?1?0，用M??M?3m代入，可得8?k?9，取k?8，即车上最多有11

个球。

习 题

1．在光滑的水平面上有两个质量不等的物体，用细线连着，它们之间夹着一个被压缩的弹簧.当这两个物体以一定的速

度在水平面上运动时，烧断细线，在弹簧恢复到原长的过程中 【 】

A．任何时刻两个物体加速度的大小都相等 B．任何时刻两个物体动量的大小都相等 C．任何时间两个物体速度的大小都相等 D．弹簧对两个物体作用的冲量大小相等

2．静止在湖面的小船上有两人分别朝相反方向水平抛出质量相同的小球，甲向左抛，乙向右抛，甲先抛，乙后抛，【 】

A．两球抛出后，船的速度为零，抛球的过程中，人对甲球的冲量数值比人对乙球的冲量数值大 B．两球抛出后，船的速度为零，抛球的过程中，人对两球的冲量数值相等

C．两球抛出后船以一定的速度向左运动，乙球受到的冲量数值比甲球受的冲量数值大 D．两球抛出后船以一定的速度向右运动，甲球受到的冲量数值比乙球受的冲量数值大

3．在光滑水平面上，动能为E0，动量的大小为P0的小钢球1与静止小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向【 】

A．E1?E0 B．P1?P0 C．E2?E0 D．P2?P0

4．半径相等的两个小球甲和乙，在光滑水平面上沿同一直线相向运动，若甲球的质量大于乙球的质量，碰撞前两球动能相等，则碰撞后两球的运动状态可能是 【 】

A．甲球的速度为零而乙球的速度不为零 B．乙球的速度为零而甲球的速度不为零 C．两球的速度均不为零

D．两球的速度方向均与原来方向相反，两球的动能仍相等

5．在光滑水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线，2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v0射向它们，

抛出时两小球相对于岸的速度大小相等，则下列说法中正确的是

相反，将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为E1、P1，球2的动能和动量的大小分别记为E2、P2，则必有

如图1所示，设碰撞中不损失机械能，则碰撞后三个小球的速度可能值是 【 】

A．v1?v2?v3?v0/3 B．v1?0 v2?v3?v0/2 C．v1?0 v2?v3?v0/2 D．v1?v2?0 v3?0

6．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质

量分别为m和2m，当两球

心间距离大于l（l比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F，设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图2所示，欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？

7．相隔一定距离的A、B两球，质量相等，假设它们之间存在恒定斥力作用，原来两球被按住，处在静止状态．现突然松开两球，同时给A球以初速度v0，使之沿两球连线射向B球，B球的初速度为零，若两球间的距离从最小值（两球未接触）到恢复到原始值所经历的时间为t0，求B球在斥力作用下的加速度．

8．一宇航员连同装备的总质量为M?100kg，在距飞船

s?45m处与飞船相对静止的空间站维修仪器.他带着装

?4有m?0.5kg氧气的贮气筒，筒上有一个可使氧以v?50m/s速度喷出的喷嘴.待他维修毕后，必须朝着跟飞船反向喷出氧气才能回到飞船.但在返回途中必须保留一部分氧气供其呼吸，已知宇航员呼吸的耗氧率为2.5?10在返航时释放m1?0.15kg的氧气，能否安全抵达飞船?

kg/s.试问他

9．甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M?30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg，游戏时，甲推着一个质量为m?15kg的箱子，和他一起以大小为v0?2m/s的速度滑行，乙以同样的速度迎面滑来，如图3所示，为了避免碰撞，甲突然将箱子沿着冰面推给乙，问甲至少用多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙碰撞？

10.人和冰车的总质量为M，另有一木球，质量为m，M:m?31:2，人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v（相对地面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板，球与冰面、车与冰面的摩擦均可不计，空气阻力也忽略不计．设球与挡板碰撞后，球被反向弹回，速率与碰前相等，人接住球后再以同样的速度v（相对地面）将球沿冰面向正前方推向挡板．则人推球多少次后不能再接到球？

单元综合训练

01.质量为2kg的物体在光滑水平面上受到与水平方向成30角的拉力F?3N的作用，经过10s钟（取

g?10m/s2） 【 】

A.力F的冲量为153Ns B.物体的动量的变化是30kg?m/s C.重力的冲量是零 D.弹力的冲量是181Ns

2.如图1所示，质量为M的小车静止在光滑的水平地面上，车上有n个质量均为m的小球．现用两种方式将小球以恒定的速度（相对于地面）v向右抛出，第一种方式是将n个小球一起抛出；第二种方式是将小球一个一个地抛出，

比较上述不同方式抛完小球后小车的速度，则有 【 】 A.第一种较大

B.第二种较大 C.两种一样大 D.不能确定

3.在光滑的水平面上沿同一直线运动的两物体，动量相同，下列说法正确的【 】 A.因为它们动量相同，所以不能发生碰撞

B.因为它们动量相同，所以相碰后都静止

C.可能发生碰撞，但碰撞后它们的动量不可能仍相同 D.若发生碰撞，它们的动量改变量大小必相等

4.在静水中匀速航行的船上站有一个人，手中拿一个小球，人用如下两种方式将小球抛出，第一次沿船航行方向抛出，人对球的冲量大小为I1；第二次沿船航行的反方向抛出，人对球的冲量为I2，若两次球抛出后对地速率相等，不计水的阻力．则两次抛球过程相比较 【 】 A.I1?I2 B.I1?I2 C.I1?I2 D.无法比较

5.A、B两物体的质量mA?mB，具有相同的初动量，分别在阻力fA、fB的作用下，经过相等的时间停下，发生的位移分别为SA和SB，则 【 】

A.fA?fB且SA?SB B.fA?fB且SA?SB C.fA?fB且SA?SB D.fA?fB且SA?SB

6.在光滑水平面上，A、B两球沿同一直线运动，碰后粘在一起，碰前它们的动量分别是PA?12Kg?m/s，

PB?28Kg?m/s，碰后A球的动量增加12Kg?m/s,则可得碰前两球的速度之比是______．

0 7.如图2所示，质量为m的小球，以初速度v0水平抛出，恰好与倾角为30的固定斜面垂直碰撞，小球被弹回时的速度大小为2v0，方向仍与斜面垂直，则小球与斜面碰撞过程中所受合外力的

冲量大小是________，小球从抛出到与斜面碰撞过程中重力的冲量大小

是___________．

8.总质量为M的热气球由于故障在高空以速度v匀速下降，为了阻止继续下降，在t?0时刻，从热气球中释放一个质量为m的沙袋，不计空气阻力，当t?________时，热气球停止下降，这时沙袋的速度为____________（设此时沙袋尚未落地）

9. A、B两个小球，A球的质量为m，B球的质量为2m，A位于x轴上的原点处，B位于x轴上离原点为L处．假设两球间存在着大小为K的恒定相互作用力，起初两球都处于静止状态，现轻轻释放两球，因相互吸引使两球发生碰撞，碰撞处离原点的距离为______，刚要发生碰撞时A球的速度为_______，B球的速度为______．

10.载人气球离地高为h，恰好悬浮在空中，气球质量为M，人的质量为m，人要从气球下挂着的软梯上安全到达地面．软梯的长度至少为多长?

11.甲乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速率均为6m/s，甲车上有质量均为1kg的小球若干个，甲和他的小车及所带的小球的总质量为50kg，乙和他的小车的总质量为30kg，甲不断地将小球以16.5m/s的对地速度水平抛向乙，且被乙接住，问甲至少抛出多少个小球才能保证两车不相撞？

12.如图3所示，在光滑水平地面上放置一质量为M的小车，在小车的平台上有一质量可以忽略不计的弹簧，一端固定在平台上，另一端用质量为m的小球，将弹簧压缩一定距离后用绳子捆住．用手将小车固定在地面上，烧断绳子后小球落在小车的A点，OA?S；如果小车不固定，烧断绳子后小球落在小车上的何处？（设小车足够长，球不会落到车外．）

参考答案

习题

1．D 2．A 3．ABD 4．AC 5．D 6．v0?8．能安全抵达飞船 9．5.2m/s 10．9次 v3F(l?2r) 7．0

m2t0

单元练习

1.D 2.C 3.CD 4.C 5.D 6. 8.

(M?m)vmg，Mvm 9. 12. M?mMS

2:7 7. 2L4KL3，3m，KL3m4mv0 3mv0 M?mmh 11. 15个

10.

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