人教版高数必修五第10讲：不等关系与不等式（教师版）

不等关系与不等式

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教学重点： 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用 教学难点： 理解不等式性质的证明范围

1. 不等式

（1） 用数学符号\?\?\?\?\?\ 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。 （2） 含有不等号的式子，叫做不等式。 2. 实数的大小关系

（1） 实数集与数轴上的点集一一对应；

（2） 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；

（3） 对于任意两个实数a和b，在a?b,a?b,a?b三种关系中有且仅有一种关系成立； （4） 在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较

a?b?0?a?ba?b?0?a?b

a?b?0?a?b3. 不等式的性质

（1） 对称性：如果a?b，那么b?a；如果 b?a，那么a?b； （2） 传递性：如果a?b且b?c，则a?c； （3） 加法法则：如果 a?b，则a?c?b?c；

（4） 乘法法则：如果a?b,c?0，则ac?bc；如果a?b,c?0，则ac?bc

1

类型一： 不等式表示不等关系及实数的大小比较 例1.用不等号表示下列关系 （1）a与b的和是非负数 （2）实数x不小于3

解析：（1）a?b?0 （2）x?3 答案：（1）a?b?0 （2）x?3 练习1.（1）实数m小于5，但不小于-2

（2）x与y的差的绝对值大于2，且小于或等于6 答案：（1）?2?m?5 （2）2?x?y?6

练习2.已知a,b分别对应数轴上的A,B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是（）

A.a?b?0 B.a?b?0 C.a?b D.a?b?0 答案：D

2例2.比较x?2x与x?2的大小

解析：

?x2?2x???x?2???x??1?x??2当

?x?1?0x?2?0 或

?x?1?0x?2?0 即x?1或x??2时，

?x?1??x?2??2，当?2?x?1时，此时x?2x?x?2 0此时x2?2x?x?2；?x?1??x?2??0，

22答案：x?1或x??2时，x?2x?x?2；当?2?x?1时，x?2x?x?2

练习3.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小

abba答案：ab?ab

a2?b2a?b练习4.已知a?b?0，则2 _________ （填?,?,?） 2a?ba?b答案：?

类型二： 不等式性质的证明应用 例3.已知a?b?0,c?d?0,求证

ab? dc解析：?c?d?0,??c??d?0又a?b?0,??ac??bd?0,?ac?bd又

c?d?0,?cd?0?答案：见解析

acbdab?,即? cdcddc2

练习5.已知c?a?b?0,求证

ab? c?ac?b?c?a?b?0,?c?a?0,c?b?0,?a??b,?0?c?a?c?b答案： 11ab???0,?a?b?0,??c?ac?bc?ac?b练习6.已知a?b?0,c?d?0,求证3答案：

a3b ?dc11ababab?c?d?0,?c??d?0?0????,a?b?0?????0,?3??3?,?3?3 cddcdcdc类型三： 利用不等式的性质求取值范围 例4.已知1?a?b?5,?1?a?b?3 （1） 求a,b的范围； （2） 求3a?2b的范围。

11a?b?a?b,b?????a?b???a?b?????????1?a?b?5,?1?a?b?3, 2?2?1?0??a?b???a?b??8,?2??a?b???a?b??6,?0???4 ?a?b???a?b????21?1???3,?0?a?4,?1?b?3 ?a?b???a?b????2解析：（1）a?（3） 设3a?2b?m?a?b??n?a?b???a?b?5??1?1?a?b?3,??2??m?n?3m?n??2?m?115??52?3a?2b??a?b???a?b?

22?n?215?a?b???a?b??10, ??2?3a?2b?10 22答案：（1）0?a?4,?1?b?3（2）?2?3a?2b?10 练习7.已知?,?满足?1?????1,1???2??3 （1） 求?的范围 （2） 求??3?的范围

答案：（1）0???4 （2）1???3??7 练习8.若?,?满足?答案：???,

?2??????2,则2???的取值范围____________

?3?2??? 2?3

练习9.设变量x,y满足答案：??3,3? 练习10.已知?答案：??

??1?x?y?1?1?x?y?1则2x?3y的取值范围_____________

?2??????2 则

???2的取值范围是___________

???,0? 2??

1. 实数m不超过2，是指( )

A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2 答案：D

2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )

A．M>N B．M＝N C．M

3. 已知a＝2－5，b＝5－2，c＝5－25，那么下列各式正确的是( ) A．a4. 已知a、b、c、d均为实数，有下列命题

cd

①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；

abcd

②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；

abcd

③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.

ab其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 答案： C

5. 若a

1111A．> B．2a>2b C．|a|>|b| D．()a>()b

ab22答案：B

6. 设a＋b<0，且a>0，则( )

A．a2<－ab4

7. 已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )

A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a C．－a＞a2＞a＞－a2 答案：B

D．a2＞－a＞a＞－a2

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基础巩固

1. 已知a0 C．b2－4ac<0 答案：A

1

2. 已知P＝2，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为( )

a＋a＋1A．P>Q C．P≤Q 答案：C

1

3. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为( )

a＋1A．

1

<1－a a＋1

1B．>1－a

a＋11D．≤1－a

a＋1B．P

D．b2－4ac的正负不确定

1C．≥1－a

a＋1答案：C

4. 若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( ) bb＋1A．>

aa＋111

C．a＋>b＋ ba答案：C

cd

5. 已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>aD．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个

ab能成立的不等式命题________．

5

11

B．a＋>b＋

ab2a＋ba

D．>

a＋2bb

①?①?②????????①中任选两个即可． 答案：?③，?②，???②?③?③?

6. 实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d

7. 设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________． 答案：m≥n

8. 若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________．

答案：a<0且a≠－1

9. 某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．

答案：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意，得

?10×6x＋6×8y≥360?0≤x≤4?0≤y≤7?x∈N?y∈N

x＋y≤9

?5x＋4y≥30?0≤x≤4，即?0≤y≤7

?x∈N?y∈N

x＋y≤9

ab

10. (1)已知c＞a＞b＞0.求证：＞. c－ac－b

a＋ma

(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：＞. b＋mb答案：(1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，

11

?由a＞b＞0?＜?ab??c＜c

ab

c＞0???

c－ac－b

＜ab

c－a＞0 c－b＞0

??ab

??c－a＞c－b. ??

a＋mam?b－a?

(2)证法一：－＝，

b＋mbb?b＋m?

m?b－a?a＋ma

∵0＜a＜b，m＞0，∴＞0，∴＞.

b?b＋m?b＋mba＋ma＋b＋m－ba－bb－a

证法二：＝＝1＋＝1－＞

b＋mb＋mb＋mb＋m

6

b－aa1－＝. bb

a＋ma证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证＞，

b＋mb只需证(a＋m)b＞a(b＋m)， 只需证ab＋bm＞ab＋am， 只要证bm＞am，

要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a， ∴原不等式成立.

能力提升

11. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？( ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

答案：C

12. 如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是( )

A．a＞4b

??a＞4bC．?

??a＋4??b＋4?＝200?

B．(a＋4)(b＋4)＝200

??a＞4b

D．?

?4ab＝200?

答案：C

13. 已知a、b为非零实数，且aππ

14. 若－<α<β<，则α－β的取值范围是( )

22

A．(－π，π) B．(0，π) C．(－π，0) D．{0}

7

11ba

2<2 D．< ababab

答案： C

15. 已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( ) A．一定大于0 C．等于0 答案：B

11ba

16. 若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有( )

ababA．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B

17. 若a>0，b>0则a＋b________a＋b(填上适当的等号或不等号)． 答案：>

b＋ma＋nba

18. 设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是________________．

aba＋mb＋n答案：p＜r＜s＜q

19. 若a>b，则a3与b3的大小关系是________．

答案：a3>b3

20. 若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________． 答案：x＜y

21. 已知a、b为正实数，试比较答案：解法一：(

ab

＋与a＋b的大小． baB．一定小于0 D．正负都有可能

a－bb－a?a－b??a－b?abab

＋)－(a＋b)＝(－b)＋(－a)＝＋＝ bababaab

?a＋b??a－b?2

＝.

ab

∵a、b为正实数，∴a＋b>0，ab>0，(a－b)2≥0. ?a＋b??a－b?2∴≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．

ab∴

ab

＋≥a＋b，当且仅当a＝b时取等号． baab2a2b2

解法二：(＋)＝＋＋2ab，

baba(a＋b)2＝a＋b＋2ab，

2

a3＋b3－ab?a＋b?ab2b22a∴(＋)－(a＋b)＝＋＋2ab－(a＋b＋2ab)＝

baabba?a＋b??a2－ab＋b2?－ab?a＋b?

＝

ab?a＋b??a－b?2＝.

ab

8

?a＋b??a－b?2

∵a、b为正实数，∴≥0，

ab∴(

ab

＋)2≥(a＋b)2. baab

＋>0，a＋b>0， ba

又∵∴

ab

＋≥a＋b，当且仅当a＝b时取等号 ba

22. 设f(x)＝1＋logx 3，g(x)＝2logx 2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小． 答案：f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2

3x

＝logx(3x)－logx4＝logx. 4

43x

(1)当x>时，logx>0，故f(x)>g(x)；

3443x

(2)当x＝时，logx＝0，故f(x)＝g(x)；

3443x

(3)当1

34所以f(x)

3x

(4)当00，

4所以f(x)>g(x)．

4

综上知：当x>或0g(x)；

34

当1

34

当x＝时，f(x)＝g(x)．

3

x

23. 如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．

y答案： 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；

∴－18＜x－2y＜10；

11130x42

∵30

24y1624y165x21

即＜＜. 4y8

24. 已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an1b＋abn

－

－

－

－

－

－

－1

的大小．

答案：(an＋bn)－(an1b＋abn1)＝an1(a－b)＋bn1(b－a)＝(a－b)(an1－bn1)，

－

(1)当a＞b＞0时，an1＞bn1，∴(a－b)(an1－bn1)＞0，

－

－

－

－

(2)当0＜a＜b时，an1＜bn1，∴(a－b)(an1－bn1)＞0，

－

－

－

－

9

∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an1－bn1)＞0.∴an＋bn＞an1b＋abn1.

－

－

－

－

25. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

答案：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，

3134

则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，

4445134

y1－y2＝x＋xn－xn

445111n

＝x－xn＝x(1－)． 42045

当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.

因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

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课程顾问签字： 教学主管签字：

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