六年级奥数全（举一反三）

第一章 数与计算

第一单元 同余问题

1． 知识前提。

（1） 整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除

a。 （2） 乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即a?an个aa，

记做a。其中a叫做底，n叫做指数，a读做a的n次方。

（3） 幂的运算法则：

① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即

?nam?an?am。

nn② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 a??nm?anm。

③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即 ?ab??a?b。

nnn2． 同余

如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。 3． 规律、方法应用。

（1） 反身性规律：a和a对于m同余。

（2） 对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。

（3） 传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。

（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，

ac和bd对于m同余。 （5） 同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么a和b也对于m同余。

（6） 同余的连加规律：a1和b1对于m同余，a2和b2对于m同余，a3和b3对于m同余……an和bn对于m同余，那

么a1?a2?a3?nnan和b1?b2?b3?bn也对于m同余。

例1． 有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？ 拓展一 如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?

拓展二 自然数16520,14903,14177除以m的余数相同, m的最大值是多少?

拓展三 若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?

例2．求2003?59除以7的余数。

拓展一 求1897?253?1594除以13的余数。

1

拓展二 求2814?323?3875?2413?289?786除以11的余数。 拓展三 求1?2?3?4?5?6?7?8?9123456789的结果除以3的余数。

拓展四 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个A?1234例3．10100200020012002试求A除以9的余数。

被7除的余数是多少？

拓展一 21000除以13的余数是多少？ 拓展二 今天是星期日，过21991天是星期几？ 拓展三 求7355的末两位数是多少？

拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年

有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）

检测

1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（ ） Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．２

２．1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是( ) Ａ．23 Ｂ．13 Ｃ．17 Ｄ．18 3．16?17?37?38除以13的余数是（ ） Ａ．12 Ｂ．11 Ｃ．9 Ｄ．7 4．19991999除以3所得的余数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．3 5． 今天是星期二，再过992002天是星期（ ）

Ａ．三 Ｂ．四 Ｃ．五 Ｄ．六 6． 19981999的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．6 7． 111997?13995?171025的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．6 8． 3?4?5?7的个位数字是（ ）

Ａ．3 Ｂ．1 Ｃ．9 Ｄ．5

9． 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（ ）个。 Ａ．17 Ｂ．198 Ｃ．34 Ｄ．51

10．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（ ）。 Ａ．345 Ｂ．121 Ｃ．150 Ｄ．267

11．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（ ）。 Ａ．157 Ｂ．253 Ｃ．942 Ｄ．471

12．用1，9，8，8这四个数能排出（ ）个被11除余8的四位数。 Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 13．71427?19的积被7除的余数是（ ）。

2

50515253Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．5 二．解答题。 14．试证明：111111?112112?113113能被10整除。

15．求乘积34?37?41?43除以13所得的余数。 16．今天是星期五，再过36517．求397918．求1999131234364天是星期几？

除以39所得的余数。

323?3231999的个位数字。

141519．131?132?133除以13余几？ 20．试证明：31990?41990是5的倍数。

21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是

这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？

22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二） 23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？ 24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是

20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？ 25．设A是一个有35位循环节的循环小数A?0.a1a2a3a35，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：

如此继续下去，能否

A1?0.a2a4a6a8

再把A1的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：A2?0.a4a8an仍得到原来的循环小数？

第二单元 分数的大小比较

比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：

1． 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。

2． 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。

3． 交叉相乘法。分数

acac和，如果ad＞bc，那么＞。 bdbd4． 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。

5． 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。

6． 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作

适当的变形。

解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。 例1 比较

1541220、、、这四个分数的大小。 1992537拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。

3

1017，1219，1523，2033 拓展二 A?119928?19?98，B11?19982?1997?1998?19972。试比较A和B的大小。 拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。

25153，8，23，1017，1219 拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。

107、149、75、3523 例2 比较4443555766685554，6668，7779三个分数的大小。

拓展一 比较777777566666617777777和6666663的大小。

拓展二 比较218191654321和152347456789的大小。

拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。

1727，1931，2310138，161 例3 A?46810000005?7?9??1000001，试比较A与0.003谁大谁小。

拓展一 如果A?132?4?56?78??991100，试比较A与10的大小。

拓展二 用A表示下面的积：A?357199994?6?8??20000，问：A与0.01相比,谁大谁小?

拓展三 比较1?111112?4?8?116?32?1024与0.001的大小. 检测

1． 在○中填入“＞”或“＜”。

（1）

680791○432543 （2）117448○207808 （3）1123412345○3345634567○5567856789 （4）2399○23239999 （5）3333333○333333333 （6）23○47○311○415

（7）5556666○555566666 （8）71125○1312 （9）3433127934331281○5149691751496919

（10）1769○1567 （11）232230○31

2. 比较555553555555和666664666666的大小。

3. 把27、49、38和611按从小到大的顺序排列。

4. 在512，1219，1023，47，1522五个分数中，最大的分数是谁？

5. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。

211223、8489、13、2831、1415。

4

6. 比较

111111110222222221和444444443888888887的大小。

7. 把98765987698798766、9877、988、9899按从小到大的顺序排列。

8. 下面四个算式谁最大。

（1）??11?1??7?19???20 （2）??1?24?29???30 （3）??1?31?1?37???40 （3）??11??41?47???50 9. 下面两个算式谁大谁小？ 1995199319921994?19941995；1996199319921994?19931995 10. 把下面五个分数从大到小排列。

10519、14725、15776、21351088、1814。 11. 在4127、25、149300、59、2011814中，哪个分数最大？

12. 比较100000005800000003100000008、800000006的大小。

13. 222222220333333334444444441和，666666669谁大谁小？

14. 按下面各式值的大小，把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。A?1?110?111100?1000?10000 B?1?111110?100?1000?10000 C?1?111110?100?1000?10000 D?1?111110?100?1000?10000 E?1?10?100?1000?10000?0 15. 满足下面式子的n最小是多少？

111119491?2?2?3?3?4??n?(n?1)＞1998

16. 试比较

1111111和111111111的大小。 17. 如果127029＜＜2970，那么□中应填哪个自然数？

5

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