初中数学最新-九年级数学正弦和余弦的相互关系公式 精品

正弦和余弦的相互关系公式教案

教学目标

1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；

2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；

3．培养学生运用知识结构总结问题的能力. 教学重点和难点

公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c＞a，c＞b

答：（1）边的关系：②a+b＞c，…

③a2+b2=c2.

（2）角的关系：∠A+∠B=90°.

（3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，…

教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题）

二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程 1．复习特殊角三角函数值. （边问边按下列格式打出投影片

sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？

答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°. 2．从特殊到一般提出猜想.

猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，cosA=sinB. 3．证明猜想，形成公式.

（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.）

互为余角的正、余弦的相互关系：

（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB. （2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）.

（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 练习1（口答）

sin37°=cos ； cos62°=sin ；

cos18 sin47°-cos43°= ； = .

sin72?

4．应用公式，变式练习.

例1 （1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A.求cosB； （2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°；

（3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇.

分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式. 三、sin2A+cos2A=1的教学过程

1．从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式 （投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°. 复习：a+b＞c，a2+b2=c2.

a?baba2?b2a2b2?1,??1,2?2?1. 引导：>1，

cccc2cc发现：sinA+cosA>1，sinA+cosA=1.

由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角） （1）sinA+cosA>1，（了解） （2）sin2A+cos2A=1.（重点） 对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握.所以下面讲公式（2）的变形和应用.

2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形.

sin2A+cos2A=1， sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA）， sinA=1?cos2A， cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），

cosA=1?sin2A.

3．解公式成立的条件. 4．应用举例，变式练习.

练习2（口答）下列等式是否成立？

（1）sin230°+cos245°=1； （2）sin237°+sin253°=1； （3）cos256°+sin256°=1； （4）sin246°+cos246°=1； （5）sin2α+sin2（90°-α）=1.

12例2 已知∠A为锐角，且cosA=.求sinA的值.

1322

解：因为sinA+cosA=1，且∠A为锐角，所以

512 sinA=1?cos2A=1?()2=.

131322

教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求

sinA，同

样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简.

例3 化简：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A.（∠A为锐角）

分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到“sin2A+cos2A=1”这个公式. 解：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A = sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A

= sin2A+cos2A =1

例4 已知：△ABC中，∠C=90°，AC=25， BC=4，如图6-16. 求sinA，cosA，sinB，cosB.

解：AB=AC2?BC2=(25)?42=6，所以 sinA=

BC2AC5=，cosA==， AC3AB32 sinB=sin（90°-A）=cosA= cosB=cos（90°-A）=sina=

5， 32. 3这里求cosA，也可用cosA=1?sin2A来求.

四、小结（投影） 1．先提出以下问题：

（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？ （2）应用这两个公式时应注意什么问题？ 2．在学生回答的基础上教师总结指出： 至今为止，我们学习了四条性质： （1）（投影下述知识结构）

（2）注意：公式成立的条件均为锐角，在第三个公式中，还要注意两个角是互余关系；

在第四个公式中同角的条件，还要善于灵活变形应用. 五、作业（投影）

1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：

（1）sin32°； （2）cos75°； （3）sin54°19′； （4）sin41°53′. 2．填空：

（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′= . （2）已知：cos4°24′=0.997 1，则sin85°36′= . 3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条件求出∠A的正弦值和余弦值，然后说出∠B的正弦值和余弦值： （1）a=2，b=1； （2）a=3，c=4； （3）b=2,c=29； （4）a=45，b=8.

8，求cosA. 17 选作：已知：∠A和∠B（∠A>∠B）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA，sinB是方程4x2-2kx+k-1=0的两个实根. 求：（1）k的值；（2）∠A和∠B的度数.

4．设∠A 为锐角，且sinA=

略解：因为∠A与∠B互余，所以sinB=cosA，由根与系数关系：sinA+cosA=sinA·cosA=

k， 2k?12

.由sin2A+cos2A=（sinA+cosA）-2sinA·cosA=1得：k2-2k-2=0，4即k=1-3（舍），k=1+3，由∠A>∠B，所以∠A=60°，∠B=30°.

板书设计（略）

课堂教学设计说明

这份教案为1课时，讲授两个公式.互为余角的正弦、余弦的相互关系，是运用“归纳发现法”讲授的，而“sin2A+cos2A=1”则是运用“演绎发现法”讲授的.因为数学的发现不都是归纳发现，而演绎发现是大量存在的，特别是高年级更是如此.这样讲授，对培养学生从不同角度发现问题是有好处的.

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显然“sinA+cosA=1”也可用“归纳发现法”讲授，例如： sin230°+cos230°=? sin245°+cos245°=? sin260°+cos260°=? ……

猜想：sin2A+cos2A=1. 证明：……

运用何种方法讲授，要根据学生实际水平.一般地说，学生基础好，理解能力强，

可采用“演绎发现法”.反之，则采用“归纳发现法”.精品推荐 强力推荐 值得拥有

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