2019届高考数学一轮复习配餐作业26平面向量的概念及其线性运算含解析理79

配餐作业(二十六) 平面向量的概念及其线性运算

(时间：40分钟)

一、选择题

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a|

B．a与λa的方向相同 D．|－λa|≥|λ|·a

2

解析 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小。故选B。

答案 B

2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )

A．a C．c

B．b D．0

解析 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na。又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0。故选D。

答案 D

→|MD|→3→3→

3．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则的值22→

|BM|为( )

1

A. 3C．1

1B. 2D．2

解析 ∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD， ∴四边形MAEC为平行四边形， →1→1→→∴MD＝ME＝(MA＋MC)。

22→3→3→

∵MB＋MA＋MC＝0，

223→→→→∴MB＝－(MA＋MC)＝－3MD，

2→→|MD||MD|1∴＝＝，故选A。 →→3|BM||－3MD|答案 A

1

→→→→→→

4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，→→→→

则AD＋BE＋CF与BC( )

A．反向平行 C．互相垂直

→→→→1→

解析 由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，

3→→

B．同向平行 D．既不平行也不垂直

BE＝BA＋AE＝BA＋AC， CF＝CB＋BF＝CB＋BA，

→→→→1→→→因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC＋BA)

31→→2→

＝CB＋BC＝－BC，

33

→→→→

故AD＋BE＋CF与BC反向平行。故选A。 答案 A

5．(2016·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边

→→→

1→3

→→→

1→3

→→→

上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝( )

2→1→A.AB－AD 331→2→B.AB－AD 332→1→C．－AB＋AD

331→2→D．－AB＋AD

33

解析 解法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，→→→→→1→→→→→2→→2?→1→?2→2→

所以BC＝GD＝AD－AG＝AD－AB，∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋?AD－AB?＝AB＋AD，于

2?3233?32→1→→→→1→→1?2→2→?→

是BF＝AF－AB＝AE－AB＝?AB＋AD?－AB＝－AB＋AD，故选C。

3?22?333

2

→→→→1→

解法二：BF＝BA＋AF＝BA＋AE

2→1?→1→→?＝－AB＋?AD＋AB＋CE?

22??→1?→1→1→?

＝－AB＋?AD＋AB＋CB?

23?2?→1→1→1→→→

＝－AB＋AD＋AB＋(CD＋DA＋AB)

2462→1→

＝－AB＋AD。故选C。

33答案 C

→→

6．(2017·天水模拟)A、B、O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关→

于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR＝( )

A．a－b C．2(a－b)

B．2(b－a) D．b－a

→→→→→→→→→

解析 PR＝OR－OP＝(OR＋OQ)－(OP＋OQ)＝2OB－2OA＝2(b－a)。故选B。 答案 B

7．(2016·日照模拟)在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，

c，若cAC＋aPA＋bPB＝0，则△ABC的形状为( )

A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形

D．等腰三角形但不是等边三角形

→→→→→→→→→

解析 如图，由cAC＋aPA＋bPB＝0知，c(PC－PA)＋aPA－bPC＝(a－c)PA＋(c－b)PC＝→→

0，而PA与PC为不共线向量，∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c。故选A。

→→→

答案 A

3

1??8．(2016·广东惠州三调)已知向量m＝?sinA，?与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，2??其中A是△ABC的内角，则角A的大小为( )

A.C.

π

6

π

3

B.D.π 4π 2

3

解析 ∵m∥n，∴sinA·(sinA＋3cosA)－＝0，

2∴

1－cos2A33

＋sin2A－＝0， 222

π?31?sin2A－cos2A＝1，sin?2A－?＝1。

6?22?π?π11π?∵A∈(0，π)，∴2A－∈?－，，

6?6?6?πππ

∴2A－＝，A＝，故选C。

623答案 C 二、填空题

→→→→→

9．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)。

1→→→→→→3?1?解析 由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－?a＋b?＝24?2?11

－a＋b。 44

11

答案 －a＋b

44

→→

10.(2017·包头模拟)如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若AM＝λAB→

＋μAC，则λ＋μ＝________。

1→1→1→→→→→→→→

解析 ∵AM＝(AB＋BH)＝[AB＋x(AB－AC)]＝[(1＋x)AB－xAC]，又∵AM＝λAB＋

2221→

μAC，∴1＋x＝2λ，2μ＝－x，∴λ＋μ＝。

2

4

1答案 2

→→→→

11．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是________。

→→→→→→→→→→→→

解析 因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝PB－PA，所以PC＝－2PA＝2AP，即P2S△PBCPC2

是AC边上的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝。

3S△ABCAC3

2

答案 3

→→→→→

12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________。

→→→→→→→→→解析 OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC， →

OB－OC＝CB＝AB－AC，

→→→→∴|AB＋AC|＝|AB－AC|。 →→

故AB⊥AC，△ABC为直角三角形。 答案 直角三角形

(时间：20分钟)

1．(2016·石家庄一模)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点

→→→→

O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )

A．(0,1) C．(1，2]

B．(1，＋∞) D．(－1,0)

→→→

→→→→→→→→→λ→

解析 设OC＝mOD(m>1)，因为OC＝λOA＋μOB，所以mOD＝λOA＋μOB，即OD＝OA＋

mμ→λμ

OB，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B。

mmm答案 B

1→S△ABD→→

2．(2016·安徽十校联考)已知A、B、C三点不共线，且AD＝－AB＋2AC，则＝( )

3S△ACD2

A. 3C．6

3B. 21D. 6

1→→→→

解析 如图，取AM＝－AB，AN＝2AC，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN。

3

5

1→→→

此时AD＝－AB＋2AC。

3

1

由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，

2而S△AMD＝S△AND， ∴

S△ABD＝6，故选C。 S△ACD答案 C

→→→

3．(2016·蚌埠质检)已知AC⊥BC，AC＝BC，D满足CD＝tCA＋(1－t)CB，若∠ACD＝60°，则t的值为( )

A.

3－1

2

B.3－2 D.

3＋1

2

C.2－1

解析 由题意，知D在线段AB上，如图，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足→→→

为F，设AC＝BC＝a，则由CD＝tCA＋(1－t)CB，得CE＝ta，CF＝(1－t)a。

因为∠ACD＝60°，所以∠DCF＝30°，所以＝，即＝cos60°cos30°1

2得t＝

3－1

。故选A。 2

CECFta－ta，解32

答案 A

→→→

4．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD(m，

mn∈R)，则的值为________。

n→→→→→→1→→

解析 设AB＝a，AD＝b，则EF＝ma＋nb，BE＝AE－AB＝b－a，由向量EF与BE共线可知

2

6

m＝－λ，??1→→

存在实数λ，使得EF＝λBE，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则?1

2n＝λ，??2

所以＝－2。

答案 －2

mn5.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两

xy→→→→

点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为________。

x＋y

2xy1

解析 利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝y＝，则＝。

3x＋y3

答案

文原⑿门众⑾又玄⑩谓异出同者两⑨徼所⑧眇其观以⑦欲故⑥母⑤有；始之物万④无③名。②恒非，①也可道文译语言就那辞文果如通普非并明说也径化变切悉洞形达到门总又般一不它远深、玄为都异称同相源者两这与倪端会体妙奥道悟领察观去中从常要此因名命原本生产物万宙宇是则，有而；况状的际之开未沌浑地天述表来用以可无。释注出得言犹思意述表说解动二。等律规真则、理为申引质实和原本宙宇的指，词名是道个一第①。通普，的般一：恒②思意明说动二。态形的道指，词是名个一第③。形指：名无④。形指：名有⑤。源根，体：母⑥。常经：恒⑦。思意的微，妙通：）m（眇⑧思意的倪端申引。界、际边：）（徼⑨指为此。称：谓⑩。义含的远妙，色黑深：玄⑾。道原唯物万宙宇喻比来用此，径总的化变妙奥切一之：门⑿读阅伸延》注经德道《弼王。名常非，可道。不故也常其非形造事指名，之道可。母物万有；始之地天，名无又玄所知不而成以道言也母毒亭育长其及。物万为则时之名形未故，无於始皆有凡；妙其观以，欲无常故其观以可虚空欲常故生无成后而於始物万。也极之微，者妙。徼其观以，欲有常物其观可常故济后而道适本所欲；用无以必利为之有凡。也终归，徼门妙众又玄之谓。名异而出同，者两此门从皆妙众又矣远失是已一乎定以取曰言故而得、有无然默冥终之谓则首在可不施所名异玄於出同。也母与始，者两读阅伸延》解子老《辙苏。常非，可道能變皆彼在如為以然之此智禮義仁夫今耳後惟，常不者可而。也道非莫。常非，可名矣常同直曲方圓則立既。也者其皆凡？乎之名得況而，可不道徼妙其觀以欲常。母物萬有；始之地天，名無遍精繳留神粗則知行夫若徼至妙觀將常衆於入用下以人聖也甩體之道者故載勝可不育物萬播有。矣立始位地天為而形，名無其自。玄之謂名異而出同，者兩此出從加可盡焉在心猶然門妙衆寄常子老故又色者極至所遠凡玄也之本異雖名其哉一不嘗未復為運知安。矣兩信則，無有言而形以1

3

章一第

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